2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何专题突破14不规则建系及可不建系问题（附解析）

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（1） 证明：.
解：证明:如图，
因为 底面， 平面，所以.又，, 平面，,所以 平面.又 平面，所以平面 平面.
过点 作 于点.因为平面 平面， 平面，所以 平面.
因为点 到平面 的距离为1，所以.
在 中，,.设，则.
因为,,为直角三角形，且，，，，所以，解得，所以，所以.
（2） 已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
[答案]
因为,，,所以，所以.
过点 作，交 于点，则 为 的中点.由直线 与 的距离为2，得.
作 交 于点，则四边形 为矩形.在 中，，，则.
又点 到平面 的距离也为1，所以 与平面 所成角的正弦值为.
2. [2022年新高考Ⅱ卷]如图，是三棱锥的高，，，是的中点.
（1） 证明：平面.
解：证明：如图，连接 并延长交 于点，连接，.
因为 是三棱锥 的高，所以 平面，, 平面，所以，.
又,所以,即,所以.
又,即 ,所以 , .
所以,所以,即，所以 为 的中点.
又 为 的中点，所以.
又 平面, 平面,
所以 平面.
（2） 若 ，，，求二面角的正弦值.
[答案]
过点 作,建立平面直角坐标系.
因为,,所以.
又 ,所以,则,.
所以,所以,,,,所以,1,.
则,1,,,.
设平面 的法向量为,则

令,则,,所以.
设平面 的法向量为,则

令,则,,所以.
所以,.
设二面角 的大小为 ，则
,.
所以，即二面角 的正弦值为.
3. [2023年全国乙卷]如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，，点在上，.
（1） 证明：平面.
解：证明：如图1，连接,.设，则，.
图1
因为，所以，解得，则 为 的中点.由,,,分别为,,,的中点，得.又 平面, 平面，所以 平面.
（2） 证明：平面 平面.
证明：易得,，则，因此，则.由（1）知，则.又,，, 平面，所以 平面.
又 平面，所以平面 平面.
（3） 求二面角的正弦值.
[答案]
（方法一）设二面角 的平面角为 .由于，，则 ,则，.
所以二面角 的正弦值为.
（方法二）如图2,过点 作 交 于点，设.
图2
由，得，且.
由（2），知，则 为二面角 的平面角.
因为,分别为,的中点，所以 为 的重心，即有,.
又，所以.
，解得.同理,得.
又,,
所以，即有.
因为,,
所以.
所以二面角 的正弦值为.