专题05不等式与不等式组（4个概念1个性质4个解法2个应用专练）（人教版）（原卷版+解析版）

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专题05不等式与不等式组（4个概念1个性质4个解法2个应用专练） 4个概念【考查题型一】不等式（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．【例1】．（2024春•西安校级月考）在下列数学表达式中，不等式的个数是（　　）①﹣3＜0；②a+b＜0；③x＝3；④x≠5；⑤x+2＞y+3．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】“由不等号（＞，＜，≥，≤，≠）连接的式子叫不等式”．【解答】解：不等式有：①﹣3＜0；②a+b＜0；④x≠5；⑤x+2＞y+3；所以共有4个．故选：C．【点评】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．【变式1-1】．（2024春•碑林区校级月考）梁老师在黑板上写了下列式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x＝3；④x2+x；⑤x≠4；⑥x+2＞x+1．其中是不等式的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据不等式的定义，依次分析即可．【解答】解：∵用不等号表示大小关系的式子叫做不等式，其中常用不等号有：“＞”或“＜”或“≥”或“≤”或“≠”，∴属于不等式的为：①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠4；⑥x+2＞x+1，共有4个，故选：C．【点评】本题主要考查不等式的定义，熟知用“＞”或“＜”或“≥”或“≤”号表示大小关系的式子，用“≠”号表示不等关系的式子叫做不等式是解题的关键．【变式1-2】．（2024春•浑南区期中）一袋牛奶的包装盒上标重（200±2）g，则这袋牛奶的实际重量x满足（　　）A．x＝200g B．x＝202g C．x＝202g或198g D．198g≤x≤202g【分析】“（200±2）g”的字样表示在200上下2g的范围内．【解答】解：∵一袋牛奶的包装盒上标重（200±2）g，∴（200﹣2）g≤x≤（200+2）g，即198g≤x≤202g．故选：D．【点评】此题考查不等式的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【变式1-3】．（2023秋•澧县期末）网课期间，琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，让同学们猜价格．甲说：“至少20元”，乙说“至多18元”，丙说：“至多15元”．琪琪说：“你们都猜错了．”则这个支架的价格为（　　）A．15元 B．18元 C．19元 D．20元【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得手机支架的价格，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，甲、乙、丙的说法都是错误的，甲的说法错误，说明手机支架的价格少于20元，乙、丙的说法错误，说明手机支架的价格高于18元，又因为琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，所以手机支架的价格是19元，故选：C．【点评】本题考查的是不等式的定义，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到手机支架的价格．【考查题型二】一元一次不等式（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．【例2】．（2024春•顺义区校级月考）下列是一元一次不等式的有（　　）x＞0，1x＜−1，2x＜﹣2+x，x+y＞﹣3，x＝﹣1，x2＞3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据一元一次不等式的定义逐一分析即可．【解答】解：x＞0，是一元一次不等式；1x＜−1，未知数的次数是﹣1次，不是一元一次不等式；2x＜﹣2+x，是一元一次不等式；x+y＞﹣3，含有两个未知数，不是一元一次不等式；x＝﹣1，是等式，不是一元一次不等式；x2＞3，未知数的次数是2次，不是一元一次不等式；所以是一元一次不等式的有2个．故选：B．【点评】此题考查了一元一次不等式，解题的关键是理解含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．【变式2-1】．（2024春•蚌埠月考）下列各式中是一元一次不等式的是（　　）A．4x﹣1＞0 B．3＞﹣1 C．2x﹣1＞y+1 D．2a+1＜1a【分析】根据一元一次不等式的定义逐一判断即可．【解答】解：A、4x﹣1＞0是一元一次不等式，故符合题意；B、3＞﹣1中不含未知数，不符合一元一次不等式定义，故不符合题意；C、2x﹣1＞y+1有两个未知数，不符合一元一次不等式定义，故不符合题意；D、2a+1＜1a分母含有未知数，不符合一元一次不等式定义，故不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查一元一次不等式的定义，关键是一元一次不等式定义的熟练掌握．【变式2-2】．（2024春•海安市期中）如图，将两个关于x的一元一次不等式的解集表示在同一数轴上则这两个不等式的公共解集为（　　）A．x≥﹣1 B．x＞3 C．﹣1≤x＜3 D．x＜3【分析】找出两个不等式解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．【解答】解：根据数轴得：不等式组的解集为x＞3，故选：B．【点评】此题考查了在数轴表示不等式的解集，弄清不等式组取解集的方法是解本题的关键．【变式2-3】．（2024•凉州区二模）若（m﹣2）x|m|﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　．【分析】由一元一次不等式的未知数的最高次数为1次且一次项系数不为零，可得关于m的方程与不等式；接下来根据一元一次方程的解法解方程、根据一元一次不等式的解法解不等式，即可得到m的值．【解答】解：（m﹣2）x|m|﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，由一元一次不等式的定义可得：m﹣2≠0且|m|﹣1＝1．解m﹣2≠0，得m≠2，由|m|﹣1＝1，得m＝±2，所以m＝﹣2．故答案为：m＝﹣2．【点评】本题主要考查一元一次不等式的定义，解答本题的关键是需要掌握一元一次不等式的定义．【考查题型三】一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．（2）概念解析形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个．【例3】．下列不等式组：①x＞−2x＜3；②x＞0x+2＞4；③x+1＞0y−4＜0；④x+3＞0x＜−7；⑤x2+1＜xx3+2＞4，其中是一元一次不等式组的个数（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．【解答】解：①x＞−2x＜3是一元一次不等式组；②x＞0x+2＞4是一元一次不等式组；③x+1＞0y−4＜0含有两个未知数，不是一元一次不等式组；④x+3＞0x＜−7是一元一次不等式组；⑤x2+1＜xx3+2＞4，未知数是3次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，故选：B．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．【变式3-1】．下列不等式组：①x＞−2x＜3，②x＞0x+2＞4，③x2+1＜xx2+2＞4，④x+3＞0x＜−7，⑤x+1＞0y−1＜0．其中一元一次不等式组的个数是（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后再计算个数即可．【解答】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组；③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组．故有①②④三个一元一次不等式组．故选：B．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．【变式3-2】下列各式不是一元一次不等式组的是（　　）A．x−1＞3x−3＜2 B．a−1＜0b+2＞0 C．3x−5＞04x+2＜0 D．3x＜52x−1＜9【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答．【解答】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；B、该不等式组中含有2给未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确；C、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．【变式3-3】．（2022春•潍坊期中）写出一个解集为﹣1≤x＜2的一元一次不等式组 　 　．【分析】根据“大小小大中间找”构造不等式组则可．【解答】解：当解集为﹣1≤x＜2时，构造的不等式组为x+1≥0x−2＜0．答案不唯一【点评】本题考查了一元一次不等式解集与不等式组之间的关系，解不等式组的简便求法就是用口诀求解，构造已知解集的不等式是它的逆向运用．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．【考查题型四】不等式（组）的解或解集（1）不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．（3）解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式．（4）不等式的解和解集的区别和联系不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．【例4】．（2024春•砀山县月考）不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　）A．a＜0 B．a＜12 C．a＜−12 D．a＞−12【分析】这是一个含有字母系数的不等式，仔细观察，（2a﹣1）x＜2（2a﹣1），要想求得解集，需把（2a﹣1）这个整体看作x的系数，然后运用不等式的性质求出，给出的解集是x＞2，不等号的方向已改变，说明运用的是不等式的性质3，运用性质3的前提是两边都乘以（或除以）同一个负数，从而求出a的范围．【解答】解：∵不等式（2a﹣1）x＜2（2a﹣1）的解集是x＞2，∴不等式变号，∴2a﹣1＜0，∴a＜12．故选：B．【点评】含有字母系数的不等式是近年来中考的热点问题，解题的关键是根据原不等式和给出的解集的情况确定字母系数的取值范围，为此需熟练掌握不等式的基本性质，它是正确解一元一次不等式的基础．【变式4-1】．（2024春•霍邱县月考）不等式−6＜x−1＜6的整数解的个数有（　　）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】先化简不等式，得−6+1＜x＜6+1，再根据2＜6＜3，得出x的范围，最后取整数解，即可作答．【解答】解：∵−6＜x−1＜6，∴−6+1＜x＜6+1，∵4＜6＜9，∴2＜6＜3，−3＜−6＜−2，则−2＜−6+1＜−1，3＜6+1＜4，∵−6+1＜x＜6+1，∴﹣1≤x≤3，∵x为整数，∴x＝﹣1，0，1，2，3，故选：C．【点评】本题考查了不等式的解集，关键是无理数的估算以及解不等式．【变式4-2】．（2024春•竞秀区期中）关于x的不等式组x＞5x＜m无解，那么m的取值范围为（　　）A．m＝5 B．m＞5 C．m＜5 D．m≤5【分析】由不等式组无解可得m与5的大小关系，即可求解．【解答】解：∵x的不等式组x＞5x＜m无解，∴m≤5，故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式的解集，正确记忆相关知识点是解题关键．【变式4-3】．（2024春•鼓楼区校级期中）已知a，b为非零实数，下面四个不等式组中，解集有可能为﹣1＜x＜2的是（　　）A．ax＜1bx＜1 B．ax＞1bx＜1 C．ax＜1bx＞1 D．ax＞1bx＞1【分析】根据不等式的解集﹣1＜x＜2，推出﹣x＜1和x＜2，然后从选项中找出有可能的不等式组．【解答】解：∵﹣1＜x＜2，∴x＞﹣1和x＜2，从而得出−x＜112x＜1，与四个选项中的不等式组比较知，A选项的不等式组符合题意．故选：A．【点评】本题考查了不等式组的解集，找到解集是解题的关键．1个性质【考查题型五】不等式性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．【例5】．（2024春•文山市月考）如果a＞b，则下列式子正确的是（　　）A．a﹣3＜b﹣3 B．3a＜3b C．﹣a＞﹣b D．a3＞b3【分析】利用不等式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：A、如果a＞b，那么a﹣3＞b﹣3，故本选项错误，不符合题意；B、如果a＞b，那么3a＞3b，故本选项错误，不符合题意；C、如果a＞b，那么﹣a＜﹣b，故本选项错误，不符合题意；D、当a＞b时，那么a3＞b3，故本选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【变式5-1】．（2024春•文山市月考）若不等式ax＞a可化为x＜1，则a的取值范围是（　　）A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a≤0【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变可得答案．【解答】解：∵不等式ax＞a可化为x＜1，∴a＜0．故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质，关键是掌握不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变．【变式5-2】．（2024春•利辛县月考）下列说法：①若a﹣3＞b﹣3，则a＞b；②若a2＞a，则a＞1；③若a＞b，则a（a﹣b）＞b（a﹣b）；④若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d．其中正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用不等式性质进行判断即可．【解答】解：若a﹣3＞b﹣3，两边同时加上3得a＞b，则①正确；若a＝﹣1，那么a2＞a，则②错误；若a＞b，那么a﹣b＞0，故a（a﹣b）＞b（a﹣b），则③正确；若a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d，则④正确；综上，正确的有3个，故选：C．【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．【便是5-3】．（2024春•南岸区期中）已知x＜y，则下列各式中一定成立的是（　　）A．x﹣y＞0 B．xm2＜ym2 C．x2−1＜y2−2 D．﹣3x＞﹣3y【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可．【解答】解：A、∵x＜y，∴x﹣y＜0，故A选项错误；B、当m＝0时，xm2＝ym2，故B选项是错误；C、∵x＜y∴x2＜y2，∴x2−1＜y2−1，故C选项错误；D、∵x＜y，∴﹣3x＞﹣3y，故D选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．4个解法【考查题型六】一元一次不等式的解法根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．【例6】．（2024春•南岗区校级月考）解下列不等式：（1）2﹣5x≥8﹣2x； （2）x+52−1＜3x+22．【分析】（1）先移项、再合并同类项，然后把x的系数化为1，即可得出答案；（2）先去分母，再移项，然后合并同类项，把x的系数化为1，即可得出答案．【解答】解：（1）2﹣5x≥8﹣2x，﹣5x+2x≥8﹣2，﹣3x≥6，x≤﹣2；（2）x+52−1＜3x+22，x+5﹣2＜3x+2，x﹣3x＜2﹣3，﹣2x＜﹣1，x＞12．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．【变式6-1】．（2024春•惠阳区校级期中）解不等式2x+1＜﹣3，并把解集在数轴上表示出来．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：移项，得：2x＜﹣3﹣1，合并同类项，得：2x＜﹣4，系数化为1，得：x＜﹣2，将解集表示在数轴上如下：．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式6-2】．（2024春•郸城县期中）关于x，y的二元一次方程组3x+y=1+3ax+3y=1−a的解满足不等式x+y＞﹣2，求a的取值范围．【分析】将两方程相加可得4x+4y＝2+2a，即x+y=a+12＞−2，解之可得答案．【解答】解：将两方程相加可得4x+4y＝2+2a，则x+y=a+12，由x+y＞﹣2可得a+12＞−2，解得a＞﹣5，所以a的取值范围为：a＞﹣5．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的能力，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式．【变式6-3】．（2024春•南岗区校级月考）对于任意实数a、b约定关于⊗的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如：（﹣3）⊗2＝2×（﹣3）+2＝﹣4．（1）若x满足（x+2）⊗3＞7，求x的取值范围；（2）若x⊗（﹣y）＝5，且2y⊗x＝7，求x+y的值．【分析】（1）根据新运算，得到（x+2）⊗3＝2x+7，解不等式2x+7＞7，即可求解，（2）根据新运算，得到x⊗（﹣y）＝2x﹣y，2y⊗x＝4y+x，解二元一次方程组2x−y=54y+x=7，代入x+y，即可求解．【解答】解：（1）（x+2）⊗3＝2×（x+2）+3＝2x+7，∵（x+2）⊗3＞7，∴2x+7＞7，∴x＞0；（2）x⊗（﹣y）＝2x+（﹣y）＝2x﹣y，2y⊗x＝2•2y+x＝4y+x，∵x⊗（﹣y）＝5，2y⊗x＝7，∴2x−y=54y+x=7，解得：x=3y=1，∴x+y＝4．【点评】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，解二元一次方程组，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．【考查题型七】一元一次不等式组的解法（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．【例7】．（2024春•道里区校级月考）阅读材料，解决问题．解一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①3x−6＞02x+4＞0或②3x−6＜02x+4＜0．解不等式组①得x＞2，解不等式组②得x＜﹣2．所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2．（1）直接写出不等式（2x+8）（2﹣x）＜0的解集是 　 　；（2）求不等式5x+106−3x＞0的解集．【分析】（1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案；（2）根据有理数除法法则直接列不等式组求解即可得到答案．【解答】解：（1）∵（2x+8）（2﹣x）＜0，∴2x+8＞02−x＜0或2x+8＜02−x＞0，解得：x＞2或x＜﹣4，∴一元二次不等式（2x+8）（2﹣x）＜0的解集是x＞2或x＜﹣4；（2）∵5x+106−3x＞0，∴5x+10＞06−3x＞0或5x+10＜06−3x＜0，解得：﹣2＜x＜2或无解，∴一元二次不等式（2x+8）（2﹣x）＜0的解集是﹣2＜x＜2．【点评】本题考查解不等式组：根据题意有理数乘法法则列不等式组求解是关键．【变式7-1】．（2024•中卫模拟）解不等式组：3x+5≥2(x+1)x+12＜2，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：3x+5≥2(x+1)①x+12＜2②，解①得：x≥﹣3，解②得：x＜3，所以此不等式组的解集为﹣3≤x＜3，将不等式组的解集在数轴上表示如下：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式7-2】．（2024春•市中区校级期中）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．（1）2x−13＜1−2x+12；（2）解不等式组5x+2≥3(x−1)1−2x+53＞x−2．【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可；（2）先求出每一个不等式的解集，再去两个解集的公共部分即可作答．【解答】解：（1）2x−13＜1−2x+12，2（2x﹣1）＜6﹣3（2x+1），4x﹣2＜6﹣6x﹣3，4x+6x＜2+6﹣3，10x＜5，x＜12，数轴上表示如图1：（2）5x+2≥3(x−1)①1−2x+53＞x−2②，解不等式①，得：x≥−52，解不等式②，得：x＜45，即不等式组的解集为：−52≤x＜45，数轴上表示如下：．【点评】本题考查了求解不等式（组）的解集，以及将所得的解集表示在数轴上的知识，掌握不等式的解集求解方法是解答本题的关键．【变式7-3】．（2024春•南岗区校级月考）关于x，y的方程组x+y=m+1x−y=3m−1的解为非负数，求m的取值范围．【分析】先利用加减消元法得出x=2my=1−m，再由题意得出2m≥01−m≥0，解不等式组即可．【解答】解：x+y=m+1①x−y=3m−1②，由①+②得：2x＝4m，解得：x＝2m，将x＝2m代入①得：2m+y＝m+1，解得：y＝1﹣m，∴原方程组的解为x=2my=1−m，∵关于x，y的方程组x+y=m+1x−y=3m−1的解为非负数，∴2m≥01−m≥0，解得：0≤m≤1．【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．【考查题型八】一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．【例8】．（2024春•雁塔区校级月考）关于x的不等式2x+23＞x+m只有4个正整数解，则m的取值范围是（　　）A．﹣3≤m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．−1＜m≤−23 D．−1≤m＜−23【分析】先求得不等式的解集，根据数轴表示的解集，构造不等式计算即可．【解答】解：∵2x+23＞x+m，∴x＜2﹣3m，∵不等式2x+23＞x+m只有4个正整数解，∴这四个正整数解为1，2，3，4，∴4＜2﹣3m≤5，解得−1≤m＜−23，故选：D．【点评】本题考查了不等式的解集，根据解集求参数，熟练掌握不等式解集是解题的关键．【变式8-1】．（2024•渭南二模）解不等式2x+13≤2x−1，并求出该不等式的最小整数解．【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可．【解答】解：2x+13≤2x−1去分母，得2x+1≤6x﹣3，移项、合并同类项，得﹣4x≤﹣4，系数化为1，得x≥1，∴原不等式的最小整数解为1．【点评】本题主要考查了求不等式的最小整数解，熟练掌握解不等式是关键．【变式8-2】．（2024春•太湖县期中）计算：（1）已知关于x，y的二元一次方程组2x+y=1−mx+2y=2的解满足3x+2y≤0，求m的取值范围；（2）若关于x的不等式2x+23＜x+a的最小整数解为2，求a的取值范围．【分析】（1）将m看作已知数求出方程组的解，即可得到关于m的不等式，解不等式求出m的范围即可．（2）先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于a的不等式组，解之即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）2x+y=1−m①x+2y=2②，①×2﹣②，得3x＝﹣2m，解得x=−23m．将x=−23m代入②，得−23m+2y＝2，解得y＝1+13m．∵3x+2y≤0，∴﹣2m+2+23m≤0，解得m≥32．故m的取值范围是m≥32．（2）解不等式2x+23＜x+a，得：x＞2﹣3a，∵不等式有最小整数解2，∴1≤2﹣3a＜2，解得：0＜a≤13，故a的取值范围是0＜a≤13．【点评】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．【变式8-3】．（2024春•蚌埠月考）已知关于x的方程x﹣a﹣1＝0．（1）若该方程的解满足x≤2，求a的取值范围；（2）若该方程的解是不等式1−x+62＜2x+13的负整数解，求a的值．【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足x≤2，得到关于x的不等式，即可求解；（2）求出不等式的解集，根据不等式的负整数解为x＝﹣1，代入方程，即可求解．【解答】解：（1）∵x﹣a﹣1＝0，∴x＝a+1，∵该方程的解满足x≤2，∴a+1≤2，解得：a≤1．（2）1−x+62＜2x+13，6﹣3（x+6）＜2（2x+1），6﹣3x﹣18＜4x+2，﹣3x﹣4x＜2﹣6+18，﹣7x＜14，x＞﹣2，∴该不等式的负整数解为x＝﹣1，由题意，得a+1＝﹣1，解得a＝﹣2．【点评】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．【考查题型九】一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．【例9】．（2024•西安模拟）解不等式组：4x+5＞x−12x+1≥3x，并写出所有整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．【解答】解：解不等式4x+5＞x﹣1，得x＞﹣2，解不等式2x+1≥3x，得x≤1，∴不等式组的解集是﹣2＜x≤1，∴不等式组的所有整数解是﹣1，0，1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式9-1】．（2024•大冶市模拟）求不等式组x≤3x+42x+7＞5x−2的负整数解．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，进而可得不等式组的负整数解．【解答】解：x≤3x+4①2x+7＞5x−2②，解不等式①，得：x≥﹣2，解不等式②，得：x＜3，∴该不等式组的解集为﹣2≤x＜3，∴该不等式组的负整数解是﹣2，﹣1．【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．【变式9-2】．（2024•凉州区二模）若a、b、c是△ABC的三边，且a、b满足关系式|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，c是不等式组x−3＞3(x−4)4x−16＜x+1的最大整数解，求△ABC的周长．【分析】根据非负数的性质得到a、b的值；再由不等式组的解集求出c的值，进而求出三角形的周长．【解答】解：∵|a﹣2|+（b﹣5）2＝0∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，∴a＝2，b＝5，∵解不等式组x−3＞3(x−4)4x−16＜x+1得：−72＜x＜92，∵c是不等式组的最大整数解，∴c＝4，∴△ABC的周长为：a+b+c＝2+5+4＝11．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式组的解法和非负数的性质是解题的关键．【变式9-3】．（2024春•鼓楼区校级期中）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组x−1＞2x+2＜7的解集为3＜x＜5，不难发现x＝4在3＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组x−1＞2x+2＜7的“关联方程”．（1）在方程①3（x+1）﹣x＝9；②4x﹣8＝0；③x−12+1=x中，关于x的不等式组2x−2＞x−13(x−2)−x≤4的“关联方程”是 　　；（填序号）（2）若关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组3x+1≥2xx−12≥2x+13−2的“关联方程”求k的取值范围；（3）若关于x的方程x+72=3m是关于x的不等式组x+3m＞3mx−m≤2m+1的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求m的取值范围．【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出x=12k+3，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；（3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出m的范围，然后求出方程的解为x＝6m﹣7，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式，最后取公共部分即可．【解答】解：（1）①3（x+1）﹣x＝9，解得x＝3；②4x﹣8＝0，解得x＝2；③x−12+1=x，解得x＝1；解不等式2x﹣2＞x﹣1得：x＞1，解不等式3（x﹣2）﹣x≤4得：x≤5，∴2x−2＞x−13(x−2)−x≤4的解集为1＜x≤5，∵x＝3，x＝2在1＜x≤5范围内，∴不等式组2x−2＞x−13(x−2)−x≤4“关联方程”是①②；故答案为：①②；（2）解不等式3x+12＞x得：x＞﹣1，解不等式x−12≥2x+13−2得：x≤7，∴3x+12＞xx−12≥2x+13−2的解集为﹣1＜x≤7，关于x的方程2x﹣k＝6的解为x=12k+3，∵关于x的方程2x﹣k＝6是不等式组3x+12＞xx−12≥2x+13−2的“关联方程”，∴x=12k+3在﹣1＜x≤7范围内，∴−1＜12k+3≤7，解得﹣8＜k≤8；（3）解不等式x+3m＞3m得：x＞0，解不等式x﹣m≤2m+1得：x≤3m+1，∴x+3m＞3mx−m≤2m+1的解集为0＜x≤3m+1，∵此时不等式组有4个整数解，∴4≤3m+1＜5，解得1≤m＜43，关于x的方程x+72−3m=0的解为x＝6m﹣7，∵关于x的方程x+72−3m=0是不等式组x+3m＞3mx−m≤2m+1的“关联方程”，∴x＝6m﹣7在0＜x≤3m+1范围内∴0＜6m﹣7≤3m+1，解得76＜m≤83，综上所述，76＜m＜43．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，熟练掌握解不等式组是关键．2个应用【考查题型十】一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．