微专题06 数列中的复杂递推式问题-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分（原卷版）

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1、叠加法：；
2、叠乘法：；
3、构造法（等差，等比）：
①形如 (其中均为常数)的递推公式，，其中，构造，即是以为首项，为公比的等比数列．
②形如 (其中均为常数，)，可以在递推公式两边同除以，转化为型．
③形如，可通过取倒数转化为等差数列求通项．
4、取对数法：．
5、由和的关系求数列通项
（1）利用，化为．
（2）当不易消去，或消去后不易求，可先求，再由求．
6、数列求和：
（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和型
（2）倒序相加法
（3）裂项相消法
【典型例题】
例1．（2024·安徽六安·高三统考期末）某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N，1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算，记表示第n天生命体M的个数，表示第n天生命体N的个数，则，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．数列为递增数列
C．D．若为等比数列，则
例2．（2024·浙江·高三瓯海中学校联考开学考试）已知数列的前项和为，则下列结论不正确的是（ ）
A．是递增数列B．是递增数列
C．D．
例3．（2024·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考开学考试）已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例4．（2024·全国·高三专题练习）若数列满足，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
例5．（2024·河北·高三校联考阶段练习）在数列中，，，且，则实数t的最大值为（ ）
A．4B．5C．D．6
例6．（2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知数列满足：对任意，都有，， 设数列的前项和为，若，则的最大值为 ．
例7．（2024·北京·高三北理工附中校考开学考试）已知数列，，．给出下列四个结论：
①； ②；
③为递增数列； ④，使得．
其中所有正确结论的序号是 ．
例8．（2024·河北·高三校联考开学考试）在数列中，满足，则的值为 .
例9．（2024·河北·高三校联考开学考试）菲波纳契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，是由13世纪的意大利数学家菲波纳契提出的，其定义是从数列的第三项开始，每一项都等于前两项的和，即满足.规定，.
(1)试证明：；
(2)求数列的通项公式；
(3)试证明：时，.
例10．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知数列与数列满足下列条件：①，；②，；③，，记数列的前项积为.
(1)若，，，，求；
(2)是否存在，，，，使得，，，成等比数列？若存在，请写出一组，，，；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的最大值.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·浙江·高三校联考开学考试）已知数列满足，且对任意均有.记的前项和为，则（ ）
A．28B．140C．256D．784
2．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，则满足不等式的的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2024·全国·高三专题练习）己知正项数列满足，则下列正确的是（ ）
A．B．数列是递减数列
C．数列是递增数列D．
4．（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为递增数列
C．D．
7．（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考开学考试）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理､化学等领域都有应用．斐波那契数列满足，则（ ）
A．
B．，使得成等比数列
C．，对成等差数列
D．
8．（2024·江西·高三统考期末）已知正项数列满足，，其中，则（ ）
A．为单调递减数列B．
C．D．
9．（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ）
A．（其中）B．数列是递减数列
C．D．数列的前项和
10．（2024·江苏苏州·高三统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知函数的图象为曲线，点在上，点在轴上，且分别是以为直角顶点的等腰直角三角形.记点的横坐标分别为，，则（ ）
A．B．
C．为等差数列D．
11．（2024·浙江温州·高三统考期末）已知数列满足，，若，，，则的值可能为（ ）
A．－1B．2C．D．－2
12．（2024·全国·统考模拟预测）已知数列满足，，且，记数列的前n项和为，前n项积为，则下列说法正确的有（ ）
A．，使得B．
C．D．
三、填空题
13．（2024·江西·高三校联考期末）在1，3中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3为数列1，3的第一次扩展数列，数列1，3，3，9，3为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，，，…，，3为数列1，3的第n次扩展数列，令，则数列的通项公式为 .
14．（2024·北京·高三统考竞赛）整数列，，，对有，为固定正整数，求使成立的的个数
15．（2024·河北邢台·高三宁晋中学校联考开学考试）函数的最小值是，数列满足，，则数列的通项公式是 ．
16．（2024·全国·高三专题练习）已知是各项均为正实数的数列的前n项和，，若，则实数m的取值范围是 ．
17．（2024·北京西城·高三北京师大附中校考开学考试）项数为的有限数列的各项均为不小于的整数，满足，其中．给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则满足条件的数列有4个；
③存在的数列；
④所有满足条件的数列中，首项相同．
其中所有正确结论的序号是 ．
18．（2024·全国·模拟预测）已知数列前项和为，且，则 .
19．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知数列满足，则 ， .
20．（2024·全国·高三专题练习）已知数列，对都有，且，则 .
21．（2024·江苏·高三统考期末）若数列满足，（），则 .
四、解答题
22．（2024·北京·高三清华附中校考阶段练习）若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
23．（2024·广东广州·统考二模）已知数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为的前项和，证明：时，.
24．（2024·山东青岛·高三统考期末）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列，数列的前项和.
(1)求
(2)求
25．（2024·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列满足:且.
(1)判断数列是否为等比数列，并求出的通项公式；
(2)将数列中满足不等式的项数记为，求数列的前项和.
26．（2024·福建·高三校联考开学考试）已知正项数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和，求满足的正整数n的集合．
常考题型
数列的通项公式
裂项方法
等差数列型
是公差为的等差数列
是公差为的等差数列
无理型
指数型
对数型
三角型
是公差为的等差数列
阶乘型