2023年新高考数学二轮复习微专题【提分突破】 微专题05 数列经典题型精练

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高考二轮数学复习策略第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。 微专题05 数列经典题型精练 【秒杀总结】1、给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩.3、几种常见的数列放缩方法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）.【典型例题】例1．（2023·上海·高三专题练习）已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求；（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意知，即，又数列各项均为正数，∴当时，，当时，∴，即，∴数列为首项为1公差为1的等差数列，故；（2）∵，∴，所以当时，，当时，∴；（3）由题知，令，则，∴，故单调递减，于是∴要得不等式对一切都成立，则．例2．（2023·浙江·高三开学考试）已知为数列的前项和，，，成等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．【解析】（1）因为，，成等差数列，即，当时，，两式相减得，所以是公比为2的等比数列，即，即．由，得，所以的通项公式．（2）由（1）知，又因为，，故，∴．例3．（2023·浙江·温州中学高三阶段练习）如图，已知曲线及曲线．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点．点的横坐标构成数列（Ⅰ）试求与之间的关系，并证明：；（Ⅱ）若，求证：．【解析】（Ⅰ）由已知，，从而有因为在上，所以有解得由及，知，下证：解法一：因为，所以与异号注意到，知，即解法二：由可得，所以有，即是以为公比的等比数列；设，则解得，从而有由可得所以，所以（Ⅱ）证明：因为所以因为，所以，所以有从而可知故所以所以例4．（2023·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设出等差数列的公差，根据给定条件列式计算即可作答．（2）由（1）的结论求出，借助裂项相消法求出，再探求成等差数列的m，n值即可作答．（1）设等差数列的首项为，公差为（d>0），则，解得：，，于是有，所以数列的通项公式是．（2）由（1）知，，因此，．假设存在正整数，，使得，，成等差数列，则，即，整理得，显然n+3是25的正约数，又，则或25，当时，即时，与矛盾，当时，即时，，符合题意，所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，．例5．（2023·江西·高三阶段练习（理））已知首项为1的数列的前项和为，且．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，求证：．【解析】（1）两边同时除以，得，再利用等差数列的定义证明．（2）由（1）得到，再利用数列通项与前n项和的关系求解；（3）根据，得到证明．（1）证明：两边同时除以，得，又，故是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）可知，，则．当时，，而符合上式，故．（3）证明：因为，故，且，而，故．例6．（2023·浙江·无高三期中）已知数列的各项均为正数，前项和为，，，若对任意的正整数，有（1）求的通项公式；（2）设数列满足，求证：．【解析】（1）当，，时，分别求出通项公式，再综合即可；（2）利用放缩法进行证明即可．（1）当时，即奇数项成等比数列时，当时，即①当时，②②-①得化简得即等式两边同时除以得等价于即由题知，当时，故即时，综上，，（2）由（1）知，当时，即，，，即【过关测试】1．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且.(1)若，求的值；(2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和.【解析】（1）中令得：，因为数列的各项均为非零实数，所以，因为，所以，即，解得：；（2），即，所以，，，……，，以上式子相乘得：，因为数列的各项均为非零实数，且，所以，即，当时，，所以，因为，所以，所以，，故数列为等差数列，首项为，公差为，数列为等差数列，首项为，公差为，，所以，所以，，故，所以，所以数列是等差数列，其前项和.2．（2023·全国·高三专题练习）若正项数列的前项和满足.(1)求数列的通项公式；(2)若对于任意的，都有成立，求的最大值.【解析】（1）时，，且，解得，（舍去），，，化简可得时，，，，，，，累加可得，，又，故时，，当时，,上式也成立，所以，又因为，所以，所以，，，时，适合该式，故.（2）由（1）得，（此处不等关系是因为： ，故，当且仅当时取等号，而，故上式中等号取不到），，，因为，所以，即，所以，即，所以数列是递减数列，所以，因为，都有成立，所以.3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．(1)证明：数列为等比数列，求的通项公式．(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由可得，且，故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，所以，又，故，即.（2）由（1）为等比数列，故，故即恒成立，求的最大值即可.设，则，令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.又，故为的最大值，为，所以，.4．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数.(1)求函数的最小值；(2)证明：.【解析】（1），，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以（2）由（1）知，即（当且仅当时等成立），令，则，所以，而，故，从而，，…，，累加可得，命题得证.5．（2023·全国·高三专题练习）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a、b、c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．(1)求、；(2)若，求n的最小值；(3)是否存在实数a、b、c，使得数列为等比数列？若存在，求a、b、c满足的条件；若不存在，说明理由．【解析】（1）原数列有3项，经第1次拓展后的项数；经第2次拓展后的项数；（2）数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n次拓展后的项数为，则经第次拓展后增加的项数为，所以，所以，由（1）得，，所以，由，即，解得，所以n的最小值为10；（3）设第n次拓展后数列的各项为，，，，…，，，所以，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以，即，所以，得，由，则，若使为等比数列，则或，所以a、b、c满足的条件为或．6．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，且对任意的，都有.(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【解析】（1）证明：因为，，所以.因为，所以，又，则有，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.所以，所以，又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.（2）由（1）知，则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.所以当为偶数，且时，；当为奇数，且时，为偶数，.时，，满足.所以，当为奇数，且时，有.综上，.7．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知为数列的前项和，，．(1)求；(2)若，证明：．【解析】（1）①时，②则①-②得， 当时可整理得，即，由①当时，，得，当时，，得，，，又，，符合，；（2）由（1）得，，8．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知数列的前项和为，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和为．【解析】（1）①,当时，②，①-②得，即，又，得，，又不符合；（2）当时，当时，，当时，，又当时，，符合.9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，设为的前项和，证明：(1)数列单调递减；(2)．【解析】（1），即，且，又因为当时，，此时数列为常数列，不满足，所以，故数列单调递减．（2）．．10．（2023·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知数列，其前项和分别为，且分别满足，.(1)求数列，的通项公式.(2)将数列，的各项按，，，…，顺序排列组成数列，求数列的前项和.【解析】（1）由条件： 知：， ， 当 时， 符合，所以； ， 是等比数列，又  ；（2）当 时， ，当   时，   ；当 时， ，当  时，  .11．（2023·山东滨州·高三统考期末）设公差不为0的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求满足条件的正整数的最大值．【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为，且，，成等比数列，所以，，即，解得所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，易得，则，所以．，因为，所以，解得，所以正整数的最大值为674．12．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知数列的通项公式为，等比数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)记，的前n项和分别为，，求满足（）的所有数对．【解析】（1）由，所以，故，所以等比数列的公比为，故，所以，即等比数列{}的通项公式为；（2）由已知得：，由（1）可知，由，所以，即，故，因为m正整数，，所以，，故满足条件所有数对为．13．（2023·福建·统考一模）已知正项数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和．【解析】（1）依题意，当时，，解得，由，当时，有，作差得：，所以，因为，所以，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以.（2）由（1）得，，又，同时，所以所以．所以的前50项和为2150．14．（2023·辽宁·校联考模拟预测）记正项数列的前n项积为，且．(1)证明：数列是等差数列；(2)记，求数列的前2n项和．【解析】（1）由题意得，又，所以，即，所以．当n＝1时，，所以，解得＝3，故是以3为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知，，所以，所以．15．（2023·湖北武汉·高三统考期末）已知数列满足，，，表示数列的前项和(1)求证：(2)求使得成立的正整数的最大值【解析】（1）证明：由得累加得于是.（2）由，，得：对任意，，进而，故数列单调递增，由（1）可知，故，于是只需求使得最大的正整数，从而只需求使得最大的正整数，由，，列举得：，，，，，，，，，，，结合数列单调递增，于是使得最大的正整数为11.16．（2023·湖南株洲·高三校联考期末）已知数列满足(1)求证：为等差数列；(2)令，求数列的前项和.【解析】（1）由，可得因此为等差数列，且公差为.（2）又因为，所以 ，所以所以得17．（2023·天津北辰·高三校考期末）已知为等差数列，为等比数列，．(1)求和的通项公式；(2)令，求数列的前n项和；(3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】（1）若的公差为，结合题设可得：，又，故，∴，若的公比为且，结合题设可得：，又，故，∴.（2）由（1）知：，∴，∴，以上两式相减，得：，∴.（3）由题设，，要使任意恒有，∴，则恒成立当为奇数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；当为偶数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；综上，存在实数，使得对任意的，恒有.18．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）在①；②；③，，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．已知正项数列的前n项和为，且______，(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列满足，求证：．【解析】（1）选择条件①，因为，所以，因为，所以，则，当时，，所以两式相减得：，即，则，当时，，所以符合上式，所以；选择条件②，因为，当时，，所以两式相减得：，整理得，因为，所以，当时，，所以或（舍），所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则；选择条件③，因为，所以，累乘得：，，所以，，又符合式子，所以，，当时，，所以两式相减得：，即，又符合上式，所以；（2）由（1）得：，则，所以.19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，且．(1)证明：数列是等比数列；(2)记的前项和为，若，均有，求实数的取值范围．【解析】（1）由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得：，即，，又，数列为常数列且，即，，，则由得：令，则；当为奇数时，恒成立，则；当为偶数时，，单调递增，；综上所述：单调递增，，，解得：，即实数的取值范围为.20．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知二项式的展开式的各项系数和构成数列数列的首项，前项和为，且当时，有．(1)求和；(2)设数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）令得，由，得，化简得，两边同除，，为公差的等差数列，，，（2），，，通过得．，恒成立，即对任意的恒成立．分离参数得，令，由，得为单调递增数列，所以.即．