微专题11 导数解答题之极最值问题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分（原卷版）

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1、利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．
【典型例题】
例1．（2024·山东济南·一模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)讨论极值点的个数.
例2．（2024·湖南邵阳·二模）设函数.
(1)求的极值；
(2)若对任意，有恒成立，求的最大值.
例3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求证：的极大值恒为正数．
例4．（2024·辽宁·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；
(2)讨论的极值.
例5．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)当时，求函数的最小值．
例6．（2024·高三·浙江·阶段练习）已知函数，其中.
(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值;
(2)是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.
例7．（2024·北京·模拟预测）已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)讨论的单调区间；
(3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）
例8．（2024·天津河东·一模）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的最小值；
(3)函数，证明：．
例9．（2024·北京石景山·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值与最小值；
(3)当时，求证：．
【过关测试】
1．（2024·广东汕头·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
2．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）已知函数有极值，与函数的极值点相同，其中是自然对数的底数.
(1)直接写出当时，函数在处的切线方程；
(2)通过计算用表示；
(3)当时，若函数的最小值为，证明：.
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围.
4．（2024·四川成都·二模）已知函数的导函数为．
(1)当时，求的最小值；
(2)若存在两个极值点，求a的取值范围．
5．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知函数.
(1)是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增；
(2)若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数的底数）
6．（2024·云南大理·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，且是的极值点，证明：
（i）时，取得极小值；
（ii）.
7．（2024·高三·北京昌平·期末）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)判断极值点的个数，并说明理由．
8．（2024·高三·北京房山·期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.
9．（2024·高三·全国·专题练习）已知，，
(1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间；
(2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于．
10．（2024·高二·浙江温州·阶段练习）已知函数有两个极值点为，.
(1)当时，求的值；
(2)若（为自然对数的底数），求的最大值.
11．（2024·高三·河南周口·阶段练习）已知函数．
(1)当时，证明：函数在上单调递增；
(2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围．
12．（2024·高三·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若对，，且在处取得极小值，求的取值范围.
13．（2024·海南·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求的值.
14．（2024·高三·湖南岳阳·开学考试）已知，函数，.
(1)判断函数在上的单调性；
(2)是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
15．（2024·贵州·三模）已知函数的图象经过点，且是的极值点.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间和最值.
16．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知，其中为自然对数底数．
(1)讨论的单调性；
(2)已知有极值，求的所有极值之和的最大值．
17．（2024·陕西西安·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，，证明：.
18．（2024·河北唐山·一模）已知函数，，
(1)求曲线在点处的切线方程：
(2)当时，求的值域．
19．（2024·四川泸州·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间内存在，，使得，求实数的取值范围．
20．（2024·高三·四川·阶段练习）已知函数的导函数为.
(1)当且时，求的最小值；
(2)当且时，若存在两个极值点，求的取值范围.