微专题10导数解答题之零点问题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分(原卷版)
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1、函数零点问题的常见题型:判断函数是否存在零点或者求零点的个数;根据含参函数零点情况,求参数的值或取值范围.
求解步骤:
第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题;
第二步:利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质,进而画出其图像;
第三步:结合图像判断零点或根据零点分析参数.
【典型例题】
例1.(2024·河南·一模)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若有两个零点,求实数a的取值范围.
例2.(2024·湖南·二模)已函数,其图象的对称中心为.
(1)求的值;
(2)判断函数的零点个数.
例3.(2024·高三·四川雅安·开学考试)已知函数.
(1)若,当时,证明:.
(2)若,证明:恰有一个零点.
例4.(2024·全国·模拟预测)已知函数.
(1)当时,求的图象在点处的切线方程;
(2)若函数有2个零点,求的取值范围.
例5.(2024·高三·河南·阶段练习)已知函数.
(1)判断的单调性;
(2)当时,求函数的零点个数.
例6.(2024·广东·模拟预测)已知.
(1)讨论的单调性;
(2)若存在两个零点,证明:存在三个零点,且
(3)在(2)的条件下,证明:.
例7.(2024·江苏·模拟预测)已知函数,其中,为自然对数的底数.
(1)函数,求的最小值;
(2)若为函数的两个零点,证明:.
例8.(2024·高三·河南濮阳·开学考试)已知函数.
(1)若,讨论的零点个数;
(2)若是函数(为的导函数)的两个不同的零点,且,求证:.
【过关测试】
1.(2024·云南昆明·模拟预测)已知函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)证明:若有两个零点,则.
2.(2024·青海·一模)已知函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)若有两个零点,,证明:.
3.(2024·河北·一模)已知函数.
(1)若函数有3个不同的零点,求a的取值范围;
(2)已知为函数的导函数,在上有极小值0,对于某点,在P点的切线方程为,若对于,都有,则称P为好点.
①求a的值;
②求所有的好点.
4.(2024·全国·一模)已知
(1)若,求实数的取值范围;
(2)设是的两个零点(),求证:①;②.
5.(2024·北京门头沟·一模)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,求的极值;
(3)当时,判断零点个数,并说明理由.
6.(2024·山东潍坊·一模)已知函数().
(1)讨论的单调性;
(2)证明:(,);
(3)若函数有三个不同的零点,求的取值范围.
7.(2024·高三·江西·开学考试)已知函数,且的极值点为.
(1)求;
(2)证明:;
(3)若函数有两个不同的零点,证明:.
8.(2024·山西·一模)已知,且,函数.
(1)记为数列的前项和.证明:当时,;
(2)若,证明:;
(3)若有3个零点,求实数的取值范围.
9.(2024·陕西宝鸡·二模)已知函数
(1)若和的图象有公共点,且在公共点处有相同的切线,求值;
(2)求证:当时,的图象恒在的图象的上方;
(3)令,若有2个零点,试证明
10.(2024·安徽阜阳·一模)已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)已知是函数的两个零点.
(ⅰ)求实数的取值范围.
(ⅱ)是的导函数.证明:.
11.(2024·北京丰台·一模)已知函数,曲线在点处的切线为,记.
(1)当时,求切线的方程;
(2)在(1)的条件下,求函数的零点并证明;
(3)当时,直接写出函数的零点个数.(结论不要求证明)
12.(2024·江西赣州·一模)已知函数.
(1)求的单调区间,
(2)已如.若函数有唯一的零点.证明,.
13.(2024·山东聊城·一模)已知函数,,.
(1)求的单调递增区间;
(2)求的最小值;
(3)设,讨论函数的零点个数.
14.(2024·内蒙古包头·一模)设函数.
(1)当时,讨论的单调性,并证明;
(2)证明:①当时,;
②当时,,当时,;
③当时,函数存在唯一的零点.
15.(2024·高三·陕西安康·阶段练习)记函数的导函数为,的导函数为,设是的定义域的子集,若在区间上,则称在上是“凸函数”.已知函数.
(1)若在上为“凸函数”,求的取值范围;
(2)若,判断在区间上的零点个数.
16.(2024·高三·广东广州·阶段练习)已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)讨论函数在上的零点个数.(参考数据:,)
17.(2024·高三·天津南开·阶段练习)已知函数.(注:是自然对数的底数).
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,函数在区间内有唯一的极值点.
①求实数a的取值范围;
②求证:在区间内有唯一的零点,且.
18.(2024·山东淄博·一模)已知函数
(1)讨论函数在区间上的单调性;
(2)证明函数在区间上有且仅有两个零点.
19.(2024·福建莆田·二模)已知函数.
(1)证明:当时,;
(2)若函数有两个零点.
①求的取值范围;
②证明:.
20.(2024·陕西安康·模拟预测)已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)当且时,讨论在上的零点个数.