数学八年级下册6.1 反比例函数巩固练习

这是一份数学八年级下册6.1 反比例函数巩固练习，共24页。试卷主要包含了单选题，四象限D．当时，y有最小值为，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知反比例函数，当时，有（ ）
A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值
2．已知反比例函数，当时，y的最大值是6，则当时，y有（ ）
A．最小值B．最小值C．最大值D．最大值
3．设y1＝，y2＝（k＞1），当2≤x≤4时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣，则ak＝（ ）
A．2B．C．D．
4．如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形OAB，则△OAB面积的最小值为（ ）
A．B．C．2D．2
5．如图，直线与双曲线交于两点，则当线段的长度取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图过原点的直线与反比例函数图象交于M，N两点，则线段MN的长度的最小值为（ ）
A．2B．C．D．5
7．已知反比例函数，当时，y的最大值是，则当时，y有（ ）
A．最大值，且最大值为B．最大值，且最大值为
C．最小值，且最小值为D．最小值，且最小值为
8．关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．时，y随x的增大而减小B．当时，
C．它的图象位于第二、四象限D．当时，y有最小值为
9．已知反比例函数，当时，y的最大值是4，则当时，y有（ ）
A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值－1
10．根据学习函数的经验，小颖在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如下图所示，根据图象，小颖得到了该函数四条性质，其中正确的是（ ）
A．随的增大而增大B．当时，
C．当时，有最大值D．当与时，函数值相等
二、填空题
11．反比例函数的图像与一次函数的图像相交于两点，若两点的横坐标分别为，则的最小值为________________．
12．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB相交于点D．与BC相交于点E，且BD＝3，AD＝6，△ODE的面积为15，若动点P在x轴上，则PD+PE的最小值是_____．
13．平面直角坐标系xOy中，若点P在曲线y＝上，连接OP，则OP的最小值为_____．
14．已知函数，下列关于它的图像与性质的说法：①函数图像与坐标轴无交点；②函数图像关于y轴对称；③y随x的增大而减小；④函数有最大值1．其中正确的说法是______．（写出所有正确说法的序号）
15．已知直线与双曲线相交于点，，则的最大值是__________．
16．在平面直角坐标系中、反比例函数的图象与边长是8的正方形的两边分别相交于M，N两点，三角形的面积为，若动点P在x轴上，则的最小值是___________．
17．如图，在平面直角线坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上运动，且始终保持线段的长度不变，M为线段的中点，连接，则线段的长度最小值是___________．
18．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为______．
三、解答题
19．数学爱好者小鸣同学对函数知识十分感兴趣，根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行探究，已知该函数的图象经过点，两点．请解决以下问题：
(1) 填空：______，______；
(2) 将表中的空格补充完整，并在平面直角坐标系中描出表格中各点，画出该函数的图象；
观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有：______．
①当时，随的增大而减小；
②当时，此时函数有最大值，最大值为3；
③当时，自变量的取值范围为；
④直线与此函数有两个交点，则．
20．如图，在直角坐标系中 位于第一象限，两条直角边 、 分别平行于 轴、 轴，顶点 的坐标为，，.
(1) 若反比例函数 的图像经过点 ，求该反比例函数的解析式；
(2) 通过计算判断点 是否在该函数的图像上；
(3) 若反比例函数 的图像与 有公共点， 的最小值为 ，最大值为 ．
21．在矩形中，，分别以、在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与、合），过点的反比例函数的图像与边交于点．
求证：与的面积相等；
记，求当为何值时，有最大值，最大值是多少？
22．如图是反比例函数的图象，当时，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M、N分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN长度的最小值．
23．已知函数y=x+（x＞0）的图象如图所示，其中当x=1时，函数取得最小值2，请结合图象，解答以下问题：
(1) 当x＞0时，求y的取值范围；
(2) 当2≤x≤5时，求y的取值范围．
24．已知：在矩形中，．分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．
（1）记，当S取得最大值时，求k的值；
（2）在（1）的条件下，若直线EF与x轴、y轴分别交于点，求的值．
参考答案
1．B
【分析】根据反比例函数的，可知函数图像经过第二、四象限，由此即可求解．
解：反比例函数中，，
∴函数图像经过第二、四象限，如图所示，
当时，看第二象限中的函数图像可知，有最大值，即，
故选：．
【点拨】本题主要考查反比例函数图像，理解并掌握反比例函数的值大小与图像的特点是解题的关键．
2．B
【分析】由函数经过第二象限，可确定，则在上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式为，由此可求解．
解：∵当时，y的最大值是6，
∴反比例函数经过第二象限，
∴，
∴在上，y值随x值的增大而增大，
∴当时，y有最大值，
∵y的最大值是6，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
故选：B．
【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定是解题的关键．
3．A
【分析】根据反比例函数的性质可进行求解．
解：∵k＞1，
∴，
∴当2≤x≤4时，函数随x的增大而减小，函数随x的增大而增大，
∴当x=2时，有最大值，有最小值，
∴，
解得：，
∴；
故选A．
【点拨】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据等腰直角三角形性质得出S△OAB＝OA•OB＝OA2，先求得OA取最小值时A的坐标，即可求得OA的长，从而求得△OAB面积的最小值．
解：∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，
∴S△OAB＝OA•OB＝OA2，
∴OA取最小值时，△OAB面积的值最小，
∵当直线OA为y＝x时，OA最小，
解得或，
∴此时A的坐标为（，），
∴OA＝2，
∴，
∴△OAB面积的最小值为2，
故选：C．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，求得OA取最小值时A的坐标是解题的关键．
5．C
【分析】当直线经过原点时，线段AB的长度取最小值，依此可得关于的方程，解方程即可求得的值．
解：∵根据反比例函数的对称性可知，要使线段AB的长度取最小值，则直线经过原点，
∴，
解得：．
故选：C．
【点拨】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题的关键是理解当直线经过原点时，线段AB的长度取最小值．
6．B
【分析】欲求MN的长的最小值，由双曲线的对称性知ON=OM，可转化为求OM的最小值，列出OM距离的求解式子，求式子的最小值即可．
解：由题意可设点M的坐标为（x，-），
则OM= = ，
∵ ≥0，
∴≥2，由此可得OM的最小值为，
由双曲线的对称性可知ON=OM，故MN的最小值为2．
故本题答案应为：B．
【点拨】反比例函数的性质是本题的考点，根据题意求出OM的值是解题的关键.
7．B
【分析】根据反比例函数的性质可知当时，取得最大值，求出的值，进一步根据反比例函数的性质求解即可．
解：反比例函数，当时，的最大值是 ，
，
在每一个象限内，随着增大而减小，
当时，取得最大值，
此时，
当时，，
当时，，
有最大值，
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
8．C
【分析】根据反比例函数的单调性、所在的象限进行判断即可．
解：A、∵，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；故本选项正确，不符合题意；
B、∵，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当时，，故本选项正确，不符合题意；
C、∵，反比例函数位于第一、三象限，故本选项错误，符合题意；
D、∵，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当时，，则y有最小值为，故本选项正确，不符合题意；
故选C．
【点拨】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
9．C
【分析】由函数经过第二象限，可确定k＜0，则在-3≤x≤-1上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式为y=-，由此可求解．
解：∵当-3≤x≤-1时，y的最大值是4，
∴反比例函数经过第二象限，
∴k＜0，
∴在-3≤x≤-1上，y值随x值的增大而增大，
∴当x=-1时，y有最大值-k，
∵y的最大值是4，
∴-k=4，
∴k=-4，
∴y=-，
当x≥6时，y=-有最小值-，
故选：C．
【点拨】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k＜0是解题的关键．
10．B
【分析】A.根据函数图象增减性解题；B.根据函数图象增减性、函数值解题；C.根据函数自变量取值范围解题；D.将与分别代入函数中求函数值即可解题．
解：A.观察函数图象，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故A错误；
B.当时，，根据图象增减性，得当时，,故B正确；
C.根据函数自变量的取值范围，可得，故C错误；
D.当时，，当时，，两个函数值不相等，故 D错误，
故选：B．
【点拨】本题考查函数的图象、函数值、函数自变量的取值范围、函数的增减性等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．
【分析】令，即，由题意可知，，，即可得到，即可求得的最小值为．
解：令，即，
由题意可知，，，
，
当时，有最小值为，
故答案为．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，根与系数的关系，得到是解题的关键．
12．．
【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，求得B和E的坐标，然后E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小，利用勾股定理即可求得E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小．
解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
∵BD＝3，AD＝6，
∴AB＝9，
设B点的坐标为（9，b），
∴D（6，b），
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴6b＝k，
∴E（9，b），
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝9b﹣k﹣k﹣•3•（b﹣b）＝15，
∴9b﹣6b﹣b＝15，
解得：b＝6，
∴D（6，6），E（9，4），
作E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小，
∵AB＝9，BE′＝6+4＝10，
∴DE′＝＝，
故答案为．
【点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．
13．6
【分析】设点P（a，b），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得＝18，根据＝，且≥2ab，可求OP的最小值．
解：设点P（a，b）
∵点P在曲线y＝上，
∴＝18
∵≥0，
∴≥2ab，
∵＝，且≥2ab，
∴≥2ab＝36，
∴OP最小值为6．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用≥2ab是本题的关键．
14．②④
【分析】当时，，即可判断①；根据和时，即可判断②；当时，随x增大而增大，则随x增大而减小，由对称性可知当时，随x增大而增大，即可判断③；根据即可判断④．
解：①当时，，即函数与y轴的交点为（0，1），故此说法错误；
②∵，
∴和时，，
∴函数图像关于y轴对称，故此说法正确；
③∵当时，随x增大而增大，
∴随x增大而减小，
∵函数图像关于y轴对称，
∴当时，随x增大而增大，如下图函数图象所示，故③错误；
④∵，
∴，
∴函数有最大值1，故此说法正确；
故答案为：②④．
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．
15．1
【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解．
解：由直线与双曲线相交于点可得：，
∴，
∵
∴当时，有最大值，最大值为1；
故答案为1．
【点拨】本题主要考查反比例函数及配方法求最值，熟练掌握反比例函数及完全平方公式进行变形是解题的关键．
16．
【分析】由正方形的边长是8，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为8，求得，根据三角形的面积列方程得到，作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长等于的最小值，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵正方形的边长是8，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为8，
∵，的面积为，
∴，
∴（负值舍去）
∴，
作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长等于的最小值，
∵，，
∴，
∴ ，
根据勾股定理求得．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出M、N的坐标是解题的关键．
17．
【分析】如图，当时，线段长度的最小．首先证明点A与点B关于直线对称，因为点A，B在反比例函数的图象上，，所以可以假设，则，则，整理得，推出，，可得，求出即可解决问题．
解：如图，因为反比例函数关于直线对称，观察图象可知：当线段与直线垂直时，垂足为M，此时，的值最小，
∵M为线段的中点，
∴，
∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴点A与点B关于直线对称，
∵，
∴设，则，
∴，
整理得，
解得：（负值舍去），
∴，，
∴，
∴，
∴线段的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的综合，勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称性质，判断取得最小值时A，B两点的位置，熟练掌握对称两点坐标的设法，函数解析式代入求值，由坐标计算线段长度的方法是解题的关键．
18．2
【分析】根据k>0，2≤x≤4，确定y1的值随x值的增大而减小，y2的值随x值的增大而增大，由此得到当x=2时，y1的最大值为=a，当x=2时，y2的最小值为−=a−4，列式-a=a-4计算即可求出答案．
解：∵k>0，2≤x≤3，
∴y1的值随x值的增大而减小，y2的值随x值的增大而增大．
∴当x=2时，y1的最大值为=a，
当x=2时，y2的最小值为−=a−4．
∴−a=a−4，解得a=2．
故答案为：2．
【点拨】此题考查反比例函数y=的性质：当k>0时，每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，每个象限内y随x的增大而增大，熟记性质是解题的关键．
19．(1)，；(2)见分析；(3)②③
【分析】（1）将代入可得a的值，将代入可得b的值；
（2）将x的值代入对应的解析式，求出y值，再描点连线即可画出函数图象；
（3）根据（2）中所画图象逐项判断即可．
解：（1）解：将代入，可得，解得；
将代入，可得，解得；
故答案为：，．
（2）解：由（1）知，
当时，，
当时，，
补全后的表格如下：
函数图象如下：
（3）解：由图可知，当时，随的增大而增大，故①错误；
当时，此时函数有最大值，最大值为3，故②正确；
当时，自变量的取值范围为，故③正确；
直线与此函数有两个交点时，则，故④错误；
综上可知，正确的有②③，
故答案为：②③．
【点拨】本题考查分段函数，涉及一次函数、反比例函数、描点法画函数图象等知识点，解题的关键是画出函数图象，利用图象解决问题．
20．(1)反比例函数的解析式为；(2)点在函数的图像上；(3)，
【分析】（1）根据顶点B的坐标为，，得出点、的坐标分别为、，将点代入反比例函数解析式，即可求解；
（2）将当时，，得出点在函数的图像上；
（3）根据反比例函数图像的性质，当反比例函数的图像经过点A、C时，m的值最大；当经过点B时，m的值最小，分别待定系数法求反比例函数解析式即可求解．
解：（1）∵两条直角边、分别平行于x轴、y轴，顶点B的坐标为，，.
∴点、的坐标分别为、，
∵（）的图像经过点，
∴.
∴反比例函数的解析式为，
（2）∵点，当时，，
∴点在函数的图像上；
（3）∵当反比例函数的图像经过点A、C时，m的值最大；当经过点B时，m的值最小，
∴当反比例函数的图像经过点时，，解得；
当经过点B时，，解得，
∴ 的最小值为，最大值为
故答案为： ，．
【点拨】本题考查了坐标与图形，求反比例函数解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
21．(1)证明过程见详解；(2)当时，有最大面积，最大面积为
【分析】（1）设，，根据点，在反比例函数图像上，则可求出，，且，，由此即可求证；
（2）确定，，，，将转化为含有的一元二次方程方程，根据一元二次方程的顶点式即可求解．
解：（1）证明：设，，的面积为，的面积为，
∵，都在反比例函数的图像上，
∴，，则，，
∴，，
∴．
（2）解：根据题意可知，，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴当时，有最大面积，最大面积为．
【点拨】本题主要考查矩形的性质，反比函数与几何的综合问题，掌握反比例函数图形的性质，矩形的性质是解题的关键．
22．（1）反比例函数的解析式为；（2）线段MN的最小值为．
【分析】（1）用待定系数法求反比例函数的解析式；
（2）经观察后可发现当MN为直线与双曲线的两个交点时，线段MN最短；联立两方程可求得两交点的坐标，，然后根据两点之间的距离公式求得线段MN的最小值．
解：在反比例函数的图象中，当时，，
反比例函数经过坐标，
，
，
反比例函数的解析式为；
当M，N为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．
将代入，
解得或，
即，．
．
则．
线段MN的最小值为．
【点拨】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，在第问中关键是要正确判断MN何时出现最小值．
23．（1）当x＞0时，y≥2；（2）≤y≤
【分析】（1）由题意可知当x=1时，y有最小值2，则可知在第一象限内y的取值范围；
（2）当x＞1时，y随x的增大而增大，则可求得y取值范围．
解：(1)由图象可知当x＞0时，函数最小值为2，
∵当x=1时y有最小值2，
∴当x＞0时，y≥2；
(2)由图象可知当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当2≤x≤5时，当x=2时，y有最小值，y=2+=，
当x=5时，y有最大值，y=5+=，
∴当2≤x≤5时，求y的取值范围为≤y≤．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，求得当x＞1时y随x的增大而增大是解题的关键．
24．（1）6；（2）25
【分析】（1）由条件可分别表示出E、F的坐标，用k可表示出S，再根据函数的性质可求得其最大值，及取得最大值时的k的值；
（2）求得E、F的坐标，即可求得EC＝2，CF＝，根据勾股定求得EF＝，设∠CEF＝，即可求得sin＝，cs＝，进而解直角三角形求得EM＝，FN＝，从而求得EM•FN的值．
解：（1）∵OB＝4，OA＝3，且E、F为反比例函数图象上的两点，
∴E，F两点坐标分别为E（，3），F（4，），
如图，连接OE、OF，
∴S△ECF＝(4−)（3−），
∴S△EOF＝S矩形AOBC−S△AOE−S△BOF−S△ECF＝3×4−××3−×4×−S△ECF，
∴S△EOF＝12−k−S△ECF，
∴S＝S△OEF−S△ECF＝12−k−2S△ECF＝12−k−2×(4−)（3−），
∴S＝−k2＋k．
当k＝时，S有最大值，
即S取得最大值时k＝6．
（2）∵k＝6，
∴E（2，3），F（4，），
∴EC＝2，FC＝，EF＝，
设∠CEF＝，则sin＝，cs＝，
∴EM•FN＝．
【点拨】本题主要考查反比例函数k的意义及二次函数的性质，解直角三角形等，掌握反比例函数图象上点的坐标满足k＝xy是解题的关键．
…
5
…
…
3
1
…
…
5
…
…
1
3
1
…