辽宁省大连市金普新区2023-2024学年八年级下学期5月期中考试数学试题（学生版+教师版）

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考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共 30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是最简二次根式，熟知（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．
根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
2. 如图，中，E是延长线上的一点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质即可得到答案．
【详解】解：中，，
∴，
∴，
故选：D
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据运算法则进行计算即可．
【详解】A、不属于同类项，无法合并相加，因此选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选：B．
4. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）

A. B. C. D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理计算出，由此即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是，
故选：C．
5. 的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、，，故是直角三角形，不符合题意；
B、，，故是直角三角形，不符合题意；
C、，，
，故是直角三角形，不符合题意；
D、，
，
故不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
6. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间B. 3到4之间C. 4到5之间D. 5到6之间
【答案】C
【解析】
【分析】先找到在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出的范围．
【详解】解：∵32=9，42=16，
9＜10＜16，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的能力，要求学生正确理解无理数的性质，进行估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
7. 如图，矩形的对角线，，则矩形的面积为（ ）
A. B. 2C. D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了矩形性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形性质得，根据得，则为等边三角形，由此得，，据此可得矩形的面积．
【详解】解：∵四边形为矩形，对角线，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故选：A．
8. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得 ，直线 交两对边于点E，F，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键．根据菱形的性质与勾股定理可求出菱形的边长，再根据菱形的面积为对角线乘积的一半，或底乘以高可求出高．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
在中，
∵
∴，即，
∴
故选：B．
9. 如图，在正方形中，F为边上一点，与交于点E，连接，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质证明，得到，在利用三角形内角和得到，在根据三角形外角和的性质即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，
，，．
在和中，
，
．
．
，，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定、以及三角形的外角等于和它不相邻两个内角和的性质．解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
10. 比较大小：_______（填“” ）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
11. 如图，在中，，若，则的度数是______．
【答案】##40度
【解析】
【分析】根据平行四边形对边平行可得，利用平行线性质可得，因此利用直角三角形两个锐角互余求出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，难度较小，解题的关键是能够综合运用上述知识．
12. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，先根据积的乘方进行变形，再根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再求出答案即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
13. 如图，在中，对角线交于点，点为线段的中点，连接，若，则的长为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理，由直角三角形的性质结合勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，则是的中位线，即可得出答案．
【详解】解：，点为线段的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是的中位线，
，
故答案为：．
14. 如图，正方形的边长为4，为中点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，则线段的长为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的旋转，正方形的性质，勾股定理．作延长线于，由正方形的边长为4，为中点，线段绕点逆时针旋转得到线段，，得，得，得，，即可得．
【详解】解：作延长线于，
由正方形的边长为4，为中点，线段绕点逆时针旋转得到线段，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
15. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式加减乘除的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．
【小问1详解】
；
【小问2详解】

16. 如图，在中，E、F分别为延长线上的点，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，进一步证出，得到平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到答案．
【详解】证明：连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
17. 小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳．
（1）一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？
（2）一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，）
【答案】（1）大约需要4秒
（2）大约2.8秒
【解析】
【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键．
（1）将米代入得：，即，计算即可得解；
（2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：把米代入得：，即，
解得：（负值舍去），
答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒；
【小问2详解】
解：由题意得：，
解得，
把代入得：，即，
解得（负值舍去），
∴秒，
答：该物品坠落地面用了大约2.8秒．
18. 如图，在中，连接对角线，．点分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得，则，再证明，推出，即可得证；
（2）连接交于点，由菱形的性质结合勾股定理得出，由三角形中位线定理得出，证明，得出，即可得解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：如图，连接交于点，
∵ 四边形是菱形，
∴，，
，
，
，在中，根据勾股定理得，，
∴，
∵点分别是的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
19. 数学课上，老师带领同学们以直角三角形的两条直角边为邻边，尺规作图作一个矩形．如图1，在中， ，尺规作图：求作矩形．小辉同学经过思考后，回答他的做法如下：作边的垂直平分线，交于点 O，作射线，在线段的延长线上截取，连接，则四边形为矩形．
（1）使用直尺和圆规，根据小辉同学的作法在图1中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明，并在括号内填写相应的依据；
证明：由作法可知， ，，
∴ 四边形是平行四边形（ ）
，
∴ 四边形是矩形（ ）
（3）请你用不同于小辉的方法，在图2中尺规作图，作出矩形（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）见解析 （2）；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
（3）见解析
【解析】
【分析】此题考查了基本作图、矩形的判定等知识，熟练掌握矩形的性质并正确作图是解题的关键．
（1）根据小辉同学的作法在图1中补全图形即可；
（2）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；
（3）以点A为圆心，为半径画弧，以点C为圆心，为半径画弧，两弧相交于点D，连接即可．
【小问1详解】
解：补全图形如图1 所示，四边形矩形，即为所求作；
【小问2详解】
证明：由作法可知，，，
∴ 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
，
∴ 四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；
【小问3详解】
如图2，四边形为矩形，即为所求作．
20. 观察下列等式，解答下列问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：……
（1）请直接写出第4个等式： （不用化简）；
（2）根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式给予证明；
（3）利用（2）的结论计算：．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）1
【解析】
【分析】本题考查饿了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可；
（2）利用前面规律写出第个等式，然后根据二次根式的性质证明即可；
（3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得：
第4个等式：；
【小问2详解】
解：第个等式为：（为正整数）；
证明：，
为正整数，
，
∴猜想成立；
【小问3详解】
解：
．
21. 如图，在矩形中，．
（1）如图1，点 E 在 边上，将沿折叠，得到，使点 F落在对角线上，求的长；
（2）如图2，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A与点 C 重合，求的面积；
（3）如图3，将矩形沿过点A的直线折叠，使点 B落在边上的点F处，折痕为，把纸片展平，连接．点M在线段上，将沿 折叠得到，连接并延长交 的延长线线于点Q．
①求 的度数；
②点O为中点，连接，直接写出线段的长．
【答案】（1）3 （2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）证明．在 中， 求解，证明，，，设，则，，再进一步解答即可；
（2）设与的交点O，如图，求解，设，则，可得，求解，再进一步解答即可；
（3）①证明四边形是正方形．．设，再进一步解答即可；②求解．连接．证明．可得．结合O 为中点，从而可得答案．
小问1详解】
解：∵四边形 为矩形，
∴．
∵，，
在 中， ，
∵将沿折叠，得到，
∴，，，
∴． ．设，则，，
在中， ，
，
解得，
∴；
【小问2详解】
设与的交点O，如图，
∵矩形沿折叠，点A与点 C重合，
，，
，
，
设，则，
在 中， ，
，
解得，
，
在中，根据勾股定理得， ，
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
又∵矩形沿折叠，
∴ ，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
；
【小问3详解】
①∵将矩形纸片沿折叠，点 F落在上．
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵ ，．
∴，
∴四边形正方形．
∵沿折叠得到，
∴，，
∵，
∴．
设，
∴，
∵，
∴ ，
∵；
，
，
②∵，
∴．
连接．
∵，，．
∴．
∴，
∴，
∵O 为中点，
∴ ．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，本题难度较大，熟练的利用轴对称的性质解题是关键．
22. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，正方形中，E在对角线上，连接，作 交于点 F，求证：．
①如图2，小明同学利用正方形的对称性，给出如下解题思路：连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
②如图3，小龙同学根据正方形的对角线有关性质，给出另一种解题思路：过E作 于G， 于H，构造全等三角形．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学或转化线段或构造全等三角形，都是利用正方形的相关性质，为了帮助同学们更好地掌握正方形的性质，李老师在图l 中添加条件，并提出下面的问题，请你解答．
如图4，（1）中的条件不变，作 交CD于P，连接，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在正方形中，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段连接，，，当 时，求证：．
【答案】（1）选择小明同学的解题思路，见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理：
（1）①连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系，即可得证．
②过E作于G，于H，构造全等三角形，即，即可得证．
（2）连接，过E作于K，过E作于Q，证明是等腰直角三角形，，进而证明四边形为矩形，再证明，即可得证．
（3）过C作且，连接，证明是等腰直角三角形，即可得证．
【详解】解：（1）选择小明同学的解题思路，
证明：如图1，连接，
∵四边形是正方形，
∴
又∵，
∴
，∴
又∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
选择小龙同学的解题思路，证明：如图2，过E作于G，于H，
∵四边形是正方形，
∴平分，
∴，
又∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图3，连接AF，CE，过E作EK⊥DP于K，过E作EQ⊥BC于Q，
由（1）得，，，
∴是等腰直角三角形，，

∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∵
∴四边形为矩形，
∴
∴
又∵，
∴，即，
又∵，
∴
∴，
∴
（3）证明：∵ 四边形是正方形，
∴
∵ 线段旋转得到，
∴，
°，即
又∵
如图4，过C作且，连接
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，，
∵，
∴，
是等腰直角三角形，

又∵