新教材(广西专版)高考数学一轮复习第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角、斜率与直线的方程课件

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知识梳理1.直线倾斜角的定义定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴　　　　与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为　　　. 
直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°
2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线斜率不存在.(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为
所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率
微点拨斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和两横坐标在公式中可以同时调换.就是说,如果分子是y2-y1,那么分母必须是x2-x1;反过来,如果分子是y1-y2,那么分母必须是x1-x2.
微思考直线的倾斜角越大,斜率越大对吗?
提示 不对.设直线的倾斜角为α,斜率为k.
3.直线方程的五种形式
“截距式”中的截距不是距离,在用截距式时,应先判断截距是否为0
y-y0=k(x-x0)
微点拨求直线方程时,若不能判断直线是否具有斜率,应对斜率“存在”与“不存在”加以讨论.
常用结论1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系
2.特殊位置的直线方程(1)与x轴重合的直线方程为y=0;(2)与y轴重合的直线方程为x=0;(3)过点(a,b)(b≠0)且平行于x轴的直线方程为y=b(b≠0);(4)过点(a,b)(a≠0)且平行于y轴的直线方程为x=a(a≠0);(5)过原点且斜率为k的直线方程为y=kx.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(　　)(2)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.(　　)(3)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(　　)(4)直线的截距即直线与坐标轴的交点到原点的距离.(　　)
2.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(　　)A.1B.4C.1或3D.1或4
解析 因为过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,所以k= =1,解得m=1.故选A.
3.(多选)下列说法正确的是(　　)A.有的直线斜率不存在B.若直线l的倾斜角为α,且α≠90°,则它的斜率k=tan αC.若直线l的斜率为1,则它的倾斜角为D.截距可以为负值
解析 选项A中,倾斜角为90°的直线的斜率不存在,故A正确;选项B中,根据斜率的定义可得B正确;选项C中,当倾斜角θ= 时,tan θ=1,当倾斜角θ= 时,tan θ=-1,故C错误;选项D中,截距可以为正,也可以为负,还可以为0,故D正确.故选ABD.
典例突破例1.(1)若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,则有(　　)A.k1(2)直线x+ay+b=0经过第一、二、四象限,则(　　)A.a<0,b<0B.a<0,b>0C.a>0,b<0D.a>0,b>0
(3)(多选)(2023黑龙江哈尔滨三中二模)点M(x1,y1)在函数y=ex的图象上,若x1∈[0,1),则 可能等于(　　)A.-1B.-2C.-3D.0
答案 (1)D　(2)C　(3)BC
解析 (1)由题图可知k1>0,k2<0,k3<0,且直线l3的倾斜角大于直线l2的倾斜角,所以k3>k2.综上可知k2(3) 表示M(x1,y1)与点A(1,-1)所连直线的斜率k.又M(x1,y1)是y=ex在x1∈[0,1)部分图象上的动点,图象如下,如图,B(1,e),则k∈(-∞,-2],只有B,C满足.故选BC.
名师点析求倾斜角的取值范围的一般步骤
对点训练1(1)(多选)若直线l1:ax-y-b=0,l2:bx-y+a=0,ab≠0,a≠b,则下列图形可能正确的是(　　)
(3)(2023湖南株洲一模)过原点的直线l与曲线y=ex-1交于不同的两点A,B,过A,B作x轴的垂线,与曲线y=ln x交于C,D两点,则直线CD的斜率为　　　　. 
解析 (1)直线l1:ax-y-b=0可化为y=ax-b,直线l2:bx-y+a=0可化为y=bx+a.对于选项A,由l1得a>0,b<0,由l2得b<0,a>0,故A正确;对于选项B,由l1得a>0,b>0,由l2得b>0,a>0,故B正确;对于选项C,由l1得a<0,b<0,由l2得b>0,a>0,故C不正确;对于选项D,由l1得a<0,b<0,由l2得b<0,a>0,故D不正确.故选AB.
(2)设切线倾斜角为α,∵y'=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴切线的斜率k=tan α≥-1,
典例突破例2.写出下列直线的方程:
(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.
(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0,满足题意.当斜率存在时,设斜率为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k=0.由点到直线的距离公
方法总结求直线方程的两种方法
对点训练2(1)在等腰三角形MON中,|MO|=|MN|,点O(0,0),M(-1,3),点N在x轴的负半轴上,则直线MN的方程为(　　)A.3x-y-6=0B.3x+y+6=0C.3x-y+6=0D.3x+y-6=0
(2)(多选)已知直线l过点(3,4),点A(-2,2),B(4,-2)到l的距离相等,则l的方程可能是(　　)A.x-2y+2=0B.2x-y-2=0C.2x+3y-18=0D.2x-3y+6=0
(3)过点P(6,-2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为　. 
答案 (1)C　(2) BC　(3)2x+3y-6=0或x+2y-2=0　
解析 (1)因为|MO|=|MN|,点N在x轴的负半轴上,所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数,所以kMN=-kMO=3,所以直线MN的方程为y-3=3(x+1),即3x-y+6=0.故选C.
考向1.直线过定点问题典例突破例3.(1)直线ax+(a+1)y+a-1=0过定点(　　)A.(2,1)B.(2,-3)C.(-2,1)D.(-2,3)(2)已知实数m,n满足2m-n=1,则直线mx-3y+n=0必过定点　　　　　. 
名师点析1.直线过定点问题,可以根据方程的结构特征,得出直线过定点的坐标.2.含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能够看出“动中有定”.
对点训练3(1)对于任意的实数k,直线y=kx-k+1恒过定点P,则点P的坐标为(　　)A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(1,-1) D.(1,1)
(2)(2023吉林东北师大附中二模)直线l的方程为(λ+2)x+(λ-1)y-3λ=0(λ∈R),当原点O到直线l的距离最大时,λ的值为(　　)A.-1B.-5C.1D.5
答案 (1)D　(2) B　
解析 (1)由y=kx-k+1可得y-1=k(x-1),所以直线y=kx-k+1恒过定点P(1,1).故选D.
考向2.与直线方程有关的最值问题典例突破例4.过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A,B两点,点O为坐标原点.(1)当△AOB面积最小时,求直线l的方程;(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.
方法总结与直线方程有关的最值问题的解题策略
对点训练4(1)(2023北京海淀模拟)已知直线l:ax+by=1.若l上有且仅有一点P,使得以点P为圆心,1为半径的圆过原点O,则a-b的最大值为(　　)
C.2 D.1(2)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4.当0解析(1)由题意得|OP|=1,且P点有且仅有一个,故O到直线l的距离为