吉林省长春市长春外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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（满分120分，答题时间90分钟）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列各式中，是二次根式是（ ）
A. πB. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据形如（a≥0）的式子叫做二次根式进行分析：
A、不是二次根式，故此选项错误；
B、不是二次根式，故此选项错误；
C、是二次根式，故此选项正确；
D、不是二次根式，故此选项错误；
故选C．
考点：二次根式
2. 将方程化为的形式，则m，n的值分别是（ ）
A. 3和5B. -3和5C. 3和14D. -3和14
【答案】D
【解析】
【详解】∵x2−6x−5=0，
∴x2−6x=5，
∴x2−6x+9=5+9，
∴(x−3)2=14，
∴m=−3，n=14.
故选D.
3. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可．
【详解】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点，
∴，
又∵，
∴，相似比为，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=36+36m≥0且m≠0，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2+6x-9=0有两个实数根，
∴△≥0且m≠0，
∴36+36m≥0且m≠0，
∴m≥-1且m≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
5. 已知二次函数，若随着的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的图象的性质是解题关键．先判定二次函数的开口方向和对称轴，利用开口方向即可得出二次函数的图象的增减性，即可解答．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴在对称轴右侧随着的增大而增大，
∴的取值范围是，
故选：B．
6. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，
根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为，
故答案选：A．
7. 如图，在平行四边形中，点在上，连接，且交于点，若 ，则 与的周长之比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键掌握平行四边形对边平行且相等，相似三角形周长比等于相似比．
先根据平行四边形的性质推出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴ 与的周长之比，
故选：C．
8. 二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）
A. a＜0B. c＞0C. b2﹣4ac＞0D. a+b+c＞0
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：A、二次函数的开口向下，∴a＜0，正确，不符合题意；
B、二次函数与y轴交于正半轴，∴c＞0，正确，不符合题意；
C、二次函数与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，正确，不符合题意；
D、当x=1时，函数值是负数，a+b+c＜0，∴错误，符合题意，
故选D．
考点：二次函数的性质；二次函数与一元二次方程的关系
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：由题意得，
．
故答案为：．
10. 已知是方程的根，则式子的值为________________．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查了方程的根的定义，求整式的值；由方程的根的定义得，代入求值，即可求解；理解定义，能用整体代换法是解题的关键．
【详解】解：是方程 的根，
，
，
，
故答案：．
11. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于c的方程即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
12. 如图，在中，，以点B为圆心，长为半径作弧，与交于点D．若，则线段的长为_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】连接，然后依据等边对等角性质证明，，从而可证明，最后依据相似三角形的性质求解即可.
【详解】解:如图所示:连接，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴，即
解得：
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键
13. 如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为_______cm．
【答案】18
【解析】
【分析】根据题意可画出图形，根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
【详解】解：如图，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC．
∴．
设屏幕上的小树高是x，则．
解得x=18cm．
故答案为：18．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点．点是轴正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点．若点的横坐标为1，则的长为____．

【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与一元二次方程等知识点，解方程得，再利用对称的性质得到点A的坐标为，所以抛物线解析式为，再计算自变量为1的函数值得到，接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算的长即可，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】当时，，解得，，则，
∵点A关于点B的对称点为，点的横坐标为1，
∴点A的坐标为，
∴抛物线解析式为，
当时，，则，
当时，，解得，，则，
∴的长为，
故答案为：3．
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 计算：.
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用乘法分配律计算即可．
【详解】原式．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解题关键．本题直接利用公式法求解即可．
【详解】解：一元二次方程中，，，，
∴，
∴，
∴．
17. 如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝2，EF＝4，求AC的长．
【答案】AC＝9
【解析】
【分析】由平行线得出比例式，求出BC的长，即可得出求AC的长．
【详解】∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
∴BC＝6,
∴AC＝AB＋BC＝3＋6＝9
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；由平行线得出比例式求出BC是解决问题的关键．
18. 列方程解应用题：某中学2023年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，预计2025年投资万元，求该学校为新增电脑投资的年平均增长率．
【答案】该学校为新增电脑投资的年平均增长率为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率模型．
设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该学校为新增电脑投资的年平均增长率为 ．
19. 已知x＝1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0的一个根，求a的值．
【答案】a＝﹣2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义将x＝1代入方程即可求出答案．
【详解】解：将x＝1代入（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0，得（a﹣2）+（a2﹣3）﹣a+1＝0，
∴a2﹣4＝0，
∴a＝±2，
由于a﹣2≠0，
故a＝﹣2
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
20. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，易得∠A=∠D=90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF=∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF．
（2）由（1）△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，又由AB=6，AD=12，AE=8，利用勾股定理求得BE的长，由DE=AB－AE，求得DE的长，从而求得EF的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°．
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠ABE．
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵△ABE∽△DEF，
∴．
∵AB=6，AD=12，AE=8，
∴，DE=AD-AE=12－8=4．
∴，解得：．
【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21. 如图1，图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，按要求画图．

（1）在图1中，以点为位似中心画一个三角形，使它与的位似比为．
（2）在图2 中，画一个与相似的，要求所画的三角形的顶点在格点上，与的相似比不为 1，且与（1）中所画的三角形不相同．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了位似变换和相似变换，根据题意得出对应边的长是解题关键．
（1）直接利用位似图形的性质结合位似比即可得出对应点位置；
（2）利用相似三角形的性质将对应边乘以，即可得出符合题意的答案．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求．
【小问2详解】
如图所示，即为所求，此时，相似比为．

22. 感知：如图①，在四边形中，，点在边上，当时，易证，从而得到（不需要证明）．
（1）探究：如图②，在四边形中，点在边上，当 时，结论仍成立吗？请说明理由；
（2）拓展：如图③，在中，点是的中点，点，分别在边，上．若，，，则的长是 ．
【答案】（1）成立，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】主要考查了相似三角形的判定与性质，结合了勾股定理，三角形中角度计算转换以及等腰直角三角形性质与判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）证明即可；
（2）先利用探究得出，求出，再在中利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：成立，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
同（1）中探究可得，
∵点是边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
在中，．
23. 如图，在平行四边形中，，，对角线，点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动（不与点重合），过点作，交射线于点，连接．设点的运动时间为（秒），与平行四边形重叠部分图形的面积为（平方单位）．
（1）与之间的距离等于 ；
（2）求的长（用含 的代数式表示）；
（3）直接写出与之间的函数关系式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等；
（1）过作交于，由勾股定理得，可求出，由，即可求解；
（2）①当时，此时在线段上，由平行之间的距离处处相等得 ；②当时，此时在线段上，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得，即可求解；
（3）①当时，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，从而可求出，由即可求解； ②当时，延长、交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求出，由即可求解；
掌握相关的判定方法及性质，能用面积法求解，根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，过作交于，
，
，
，
，
解得：，
故答案：；
【小问2详解】
解：①如图，当时，
此时在线段上，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②如图，当时，
此时在线段上，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
综上所述：；
【小问3详解】
解：①如图，当时，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图，当时，
延长、交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
综上所述：．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与x轴正半轴的交点，点B在抛物线上，其横坐标为2，直线与y轴交于点点M、P在线段上（不含端点），点Q在抛物线上，且平行于x轴，平行于y轴设点P横坐标为m．
（1）求直线所对应的函数表达式．
（2）用含m的代数式表示线段的长．
（3）以为邻边作矩形，求矩形的周长为9时m的值．
【答案】（1）
（2）当时，；当时，
（3）或
【解析】
【分析】（1）先利用二次函数解析式求出A点和B点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式；
（2）设，则讨论：当时，；当时，；
（3）先表示出，讨论：当，，利用矩形周长列方程得到，然后解方程求出满足条件m的值；当，利用矩形周长列方程得到，然后解方程求出满足条件m的值．
【小问1详解】
解：当时，，解得，则；
当时，，则，
设直线所对应的函数表达式为，
将代入可得，
解得，
所以直线的解析式为；
【小问2详解】
设，则
当时，；
当时，；
【小问3详解】
∵轴，
∴M点的纵坐标为，
∴M点的横坐标为，即，
当，，
∵，
∴，
整理得，解得， （舍去）；
当，
∵，
∴，
整理得，解得，（舍去）；
综上所述，m的值为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，矩形的性质，熟练掌握待定系数法，掌握二次函数图像和性质，矩形的性质是关键．