吉林省长春市九台区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页.满分120分，考试时间为110分钟.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效.
一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分）
1. 函数中自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，根据分式分母不为0，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是，
故选：B．
3. PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A. 0.25×10﹣5B. 0.25×10﹣6C. 2.5×10﹣5D. 2.5×10﹣6
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．
【详解】解：0.0000025第一个有效数字前有6个0（含小数点前1个0），从而．
故选D．
4. 若分式的值为0，则x的值是（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】解：依题意得：且，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
5. 下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察图象，由函数的性质可以解答．
【详解】解：由图可知：
A、函数值具有对称性．在对称轴的左侧y的值随x值的增大而增大，对称轴的右侧y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
B、增减性需要限定在各个象限内，该选项不符合题意；
C、图象是函数y的值随x值的增大而增大，该选项符合题意；
D、图象在原点左侧是函数y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，正比例函数图象，反比例函数图象，准确识图并理解函数的增减性的定义是解题的关键．
6. 如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=AC=3，BO=BD=4，
在△AOB中，
4-3∴1结合选项可得，AB的长度可能是6，
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
7. 对于一次函数，下列结论中正确的是( )
A. 函数的图象与x轴交点坐标是
B. 函数值随自变量的增大而减小
C. 函数的图象不经过第二象限
D. 函数的图象向下平移2个单位长度得到函数的图象
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与坐标轴交点问题，以及一次函数的平移逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A.对于一次函数，令，解得，则函数的图象与x轴交点坐标是，故该选项不正确，不符合题意；
B.对于一次函数，，函数值随自变量的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
C. 对于一次函数，，，故函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，故该选项正确，符合题意；
D一次函数，的图象向下平移2个单位长度得到函数的图象，故该选项不正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴交点问题，以及一次函数的平移，掌握以上知识是解题的关键．
8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．把点、、三点坐标代入反比例函数，求出，，的值，比较得出答案．
【详解】解：把点，，代入反比例函数得，
，，，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分）
9. 计算__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数幂与零指数幂运算法则计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：6．
10. 在平行四边形ABCD中，若∠A＝115°，则∠C的度数为 _______．
【答案】115°
【解析】
【分析】在平行四边形ABCD中，∠C=∠A，则求出∠C即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C．
∵∠A＝115°，
∴∠C＝115°．
故答案为：115°．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键.
11. 已知直线与直线平行，那么_______．
【答案】5
【解析】
【分析】两直线平行，则两比例系数相等，据此可以求解．
【详解】解：直线与直线平行，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟知两直线平行时两比例系数相等．
12. A（a，0），B（3，4）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】点A在x轴上的动点，点 B到x轴的最短距离即为AB长度的最小值，最短距离即为B的纵坐标，此时点A为从B向x轴作垂线的垂足.
【详解】解：∵A（a，0），B（3，4），
∴当a＝3时，线段AB长度的值最小，
即线段AB长度的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了坐标系中求两点间的距离，熟练掌握上述知识是解题关键．
13. 直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b≤0的解集是 ___．
【答案】x≥2
【解析】
【分析】不等式kx+b≤0的解集，即为一次函数图像的函数值小于0的自变量的取值范围，由此求解即可．
【详解】解：由题意可知：不等式kx+b≤0的解集，即为一次函数图像的函数值小于等于0的自变量的取值范围，
由函数图像可知当x≥2时，y≤0，
∴不等式的解集为x≥2，
故答案为：x≥2．
【点睛】本题主要考查了用图像法解一元一次不等式，解题关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
14. 如图，点B在反比例函数（）的图像上，点C在反比例函数（）的图像上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A，则的面积为______．
【答案】4
【解析】
【分析】过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，利用反比例函数系数k的几何意义得到S矩形OACD＝2，S矩形ODBH＝6，则S矩形ACBH＝8，然后根据矩形的性质得到△ABC的面积．
【详解】解：过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，
∵BC∥y轴，AC⊥BC，
∴四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形，
∴S矩形OACD＝|−2|＝2，
S矩形ODBH＝|6|＝6，
∴S矩形ACBH＝2＋6＝8，
∴△ABC的面积＝S矩形ACBH＝4，
故答案：4．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
三、解答题（本大题共78分）
15. 解分式方程：．
【答案】原分式方程无解．
【解析】
【分析】观察可得2﹣x=﹣（x﹣2），所以方程的最简公分母为：（x﹣2），去分母将分式方程化为整式方程后再求解，注意检验．
【详解】方程两边同乘（x﹣2），得：1=﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），
整理得：1=x﹣1﹣3x+6，解得：x=2，
经检验x=2是增根，
∴原分式方程无解．
16. 先化简，再求值：，其中是满足的整数．
【答案】，．
【解析】
【分析】运用因式分解，通分，约分等运算法则进行化简，然后根据整数解求值即可．
【详解】解：
．
是满足的整数，且，，，
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练化简和注意分式必须有意义，是解题的关键．
17. 刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
【答案】160个
【解析】
【分析】设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个，根据“刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等”建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
答：李婷每分钟跳绳的个数为160个．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确找出等量关系，并建立方程是解题关键．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE 相交于CD上的一点E．求证：AE⊥BE．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形性质和平行线的性质可得，根据角平分线的定义和上述结论可得，进而可得，于是可得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
，
，
平分，BE平分，
，，
，
，
即．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
19. 如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点．
（1）求点和点的坐标；
（2）点在轴上，若的面积为6，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）当点在点上方时，；当点在点下方时，
【解析】
【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
（1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标；
（2）分点在点上方和点在点下方两种情况讨论．
【小问1详解】
解：当时，，
，
当时，，，
；
【小问2详解】
点在轴上，若的面积为6，
，
，
，
当点在点上方时，．
当点在点下方时，．
20. 已知等腰三角形周长为，若底边长为，一腰长为．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）直接写出自变量x的取值范围__________；
（3）在如图的平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了求函数表达式、函数表达式中自变量的取值范围、函数的图象等知识点；熟练掌握函数图象与函数表达式的关系是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的周长是，列出关于x、y的等式，然后变形即可；
（2）根据三角形三边关系列不等式求解即可；
（3）用描点法画图即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：
变形得：
∴y与x的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：由三角形的三边关系可知：
即：
解得：
故自变量x的取值范围为：；
【小问3详解】
解：列表：
函数图象如图：
21. 甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，甲出发1h后，乙出发，设甲与A地相距y甲（km），乙与A地相距y乙（km），甲离开A地的时间为x（h），y甲，y乙与x之间的函数图象如图所示．
（1）甲的速度是 km/h；
（2）当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数关系式；
（3）当乙与A地相距240km时，直接写出甲与A地的距离．
【答案】（1）60；（2）y乙=90x﹣90（1≤x≤5）；（3）220 km
【解析】
【分析】（1）根据图象确定出甲的路程与时间，即可求出速度；
（2）利用待定系数法确定出y乙关于x的函数解析式即可；
（3）求出乙距A地240km时的时间，加上1，再乘以甲的速度即可得到结果．
【详解】解：（1）根据图象得：360÷6=60（km/h）；
故答案为：60；
（2）当1≤x≤5时，设y乙关于x的函数解析式为y乙=kx+b．
∵点（1，0），（5，360）在其函数图象上，
∴，解得：，
∴y乙关于x的函数解析式为y乙=90x﹣90（1≤x≤5）；
（3）∵乙速度为360÷（5﹣1）=90km/h，
∴当乙与A地相距240km，乙用的时间是240÷90=（h），
则甲与A地相距60×（+1）=220（km）．
【点睛】本题是一次函数应用题，主要考查了待定系数法求函数的解析式和函数图象上点的坐标特征等知识，读懂图象信息、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接．
特例感知：
（1）分别找到线段的中点，并依次标记为D，E，F，它们的坐标为D（__________，__________），E（__________，__________），F（__________，__________）.
观察猜想：
（2）仔细观察上述三条线段的中点的横坐标与纵坐标，分别与对应的线段的两端点的横坐标与纵坐标进行比较，并根据你的猜想完成下列问题．
①若点、，则线段的中点坐标为__________；
②若点、，则线段的中点坐标为__________；
拓展应用：
（3）直线分别交轴、轴于A、B两点，为坐标原点．请直接写出经过点，且能平分面积的直线的函数关系式__________．
【答案】（1）2，1；3，3；2，3；（2），；（3）
【解析】
【分析】（1）根据所给的条件结合图像可以直接得到找到线段，，的中点的坐标．
（2）由（1）可以归纳出一个“已知线段两个端点的坐标，求线段中点的坐标”的结论，然后根据结论求出答案即可．
（3）根据经过点O，且能平分面积的直线也经过线段的中点，求出线段的中点即可解答．
【详解】解：（1）如图，
根据图中的方格直接得到线段，，的中点分别为：
，，．
故答案为：2，1；3，3；2，3；
（2）根据（1）可以猜想出一个结论：已知线段的两个端点A、B的坐标，线段中点的横坐标和纵坐标分别为A、B的横坐标和的一半和纵坐标和的一半．
所以①，，线段的中点坐标为；
②，，线段的中点坐标为．
故答案为：，；
（3）∵直线分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴，
∴线段的中点坐标为：，
∴经过点O，且能平分面积的直线也经过点，
设，
把代入得，
解得，
∴经过点O，且能平分面积的直线的函数关系式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，一次函数的图象性质，待定系数法，能够正确理解题意并归纳出相关结论，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
23. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于A、B两点，轴于点，若的面积为2，且点的纵坐标为4，B点的纵坐标为1．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接，判断的形状，并说明理由；
（3）已知点，过点作垂直于轴的直线，在第一象限内与一次函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，若点位于点的上方，请结合函数图象直接写出此时的取值范围．
【答案】（1），
（2）为等腰三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和反比例函数与一次函数的交点问题，两点间距离公式，熟练掌握函数图象和函数的性质是解题的关键．
（1）利用三角形面积公式计算，从而得到，再把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式为；接着把点坐标代入中求出得到直线的解析式；
（2）联立反比例函数解析式与一次函数解析式求出A点的坐标，利用两点的距离公式求出，即可得到的形状；
（3）根据图象写出在第一象限内，一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【小问1详解】
解：的面积为2，点的纵坐标为1．
，解得，
，
把代入得，
反比例函数解析式为；
把代入得，解得，
直线的解析式为；
【小问2详解】
解：联立反比例函数解析式与一次函数解析式得，
即，
解得：或，
根据题意得：，
，
，，，
，，
是等腰三角形；
【小问3详解】
解：，
如图，当点位于点的上方，此时的取值范围为．
24. 直线与x轴交于A，与y轴交于B，直线与y轴交于与直线交于D，过D作轴于．

（1）点A坐标为______；点D坐标为______．
（2）求直线的函数解析式．
（3）P是线段上一动点，点P从原点O开始，每秒一个单位长度的速度向A运动（P与O、A不重合），过P作x轴的垂线，分别与直线、交于M、N，设的长为S，P点运动的时间为t，求出S与t之间的函数关系式．（写出自变量的取值范围）
（4）在（3）的条件下，当t为何值时，以M、N、E、D为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出结果）
【答案】（1），；
（2）；
（3）；
（4）或；
【解析】
【分析】（1）分别把代入，代入即可；
（2）利用待定系数法可求得直线的函数解析式；
（3）用t可分别表示出M、N的坐标，则可表示出S与t之间的关系式；
（4）由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由（3）的关系式可得到关于t的方程，可求得t的值．
【小问1详解】
解：当时，，
解得，
∴点，
∵过D作轴于，
把代入中可得，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
∵直线与y轴相交于，
∴可设直线解析式为，
把D点坐标代入中可得，
解得，
∴直线的函数解析式为：．
【小问3详解】
由题意可知，
把代入中可得，
∴，
把代入，
可得
∴
∴，
∵点P在线段上，且，
∴，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上可知
【小问4详解】
由题意可知，
∵以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
∴
解得或，
即当t的值为或时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、平行四边形的性质及方程思想等知识．在（2）中求得D点坐标是解题的关键，注意待定系数法的应用，在（3）中用t表示出MN的长是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到关于t的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
x
2
4
y
4
0