2024年重庆市大渡口区中考数学第二次适应性试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年重庆市大渡口区中考数学第二次适应性试卷（含详细答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数−3的相反数是( )
A. −13B. 13C. 3D. −3
2.如图，下列几何体由5个大小相同的正方体组成，从左面看到该几何体的形状图是( )
A.
B.
C.
D.
3.反比例函数的图象经过点A(−2,3)，下列各点在该反比例函数图象上的是( )
A. (−1,−6)B. (1,−6)C. (−3,−2)D. (3,2)
4.若两个相似三角形周长的比为1：8，则这两个三角形对应边的比是( )
A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：16
5.如图，AB//CD，射线AF交CD于点E，若∠1=105∘，则∠2的度数是( )
A. 65∘
B. 75∘
C. 85∘
D. 95∘
6.估计(2 2+ 3)× 2的值应在( )
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
7.如图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有4张黑色正方形纸片，第②个图中有7张黑色正方形纸片，第③个图中有10张黑色正方形纸片……按此规律排列下去第⑨个图中黑色正方形纸片的张数为( )
A. 25B. 28C. 31D. 34
8.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∠APO=30∘，AC⊥OP交⊙O于点C，若AP= 3，则BC的长为( )
A. 2
B. 2
C. 1
D. 3
9.如图，正方形ABCD中，点E在CD上，点F在DA的延长线上，且AF=CE，连接BF，EF，BE，若∠DFE=α，则∠ABE等于( )
A. 45∘+α
B. 45∘−α
C. 2α
D. 90∘−α
10.对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”.例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到：|1−2|+|2−3|+|1−3|=4.
①对1，3，5，10进行“绝对运算”的结果是29；
②对x，−2，5进行“绝对运算”的结果为A，则A的最小值是7；
③对a，b，b，c进行“绝对运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式；
以上说法中正确的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.计算：|−2|+(3− 7)0=______.
12.我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形．如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则∠1=______ ∘.
13.小明和小颖分别从三部影片中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为______.
14.初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为______.
15.如图，DA与⊙O相切于点A，点B，C是圆上的点，且∠ABC=60∘，CO的延长线交DA于点D，交圆于点E，若AC=2 3，由图中阴影部分的面积为______.
16.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90∘，∠DCB=120∘，连接AC，BD，点E，F分别是线段AC，BD的中点，若EF=1，则BD的长为______.
17.如果关于x的不等式组3x−1218.对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数m，若m的十位数字分别小于m的百位数字与个位数字，则称m为“义渡数”.当三位自然数为义渡数”时，重新排列m各个数位上的数字可得到一个最大数m1和一个最小数m2，规定F(m)=m1−m299，例如：m=524，因为2<5，2<4，所以524是“义渡数”，且F(524)=542−24599，则最小的“义渡数”是______；若三位自然数n=100x+10y+z是“义渡数”(其中1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x、y、z均为整数)，且n的个位数字小于百位数字，F(n)+2x=20，求满足条件的所有三位自然数n的最大值是______.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(2a+b)(2a−b)+b(2a+b)；
(2)(1−xx−2)+x2−4x2−4x+4.
20.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABD交AC于点E，连接DE，完成下列作图和填空.
(1)利用尺规作DF平分∠CDB交AC于点F，连接BF(只保留作图痕迹，不写作法)；
(2)证明：DE=BF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，CD//AB.
∴∠CDB=∠ABD.
∵BE平分∠ABD，
∴∠EBD=12∠ABD.
∵DF平分∠CDB，
∴∠FDB=12∠CDB.
∴①______.
∴DF//BE.
在△DOF和△BOE中，
{∠FDB=∠EBD,OD=OB,②__，
∴△DOF≌△BOE(ASA).
∴③______.
∴四边形BEDF为平行四边形.
∴④______.
21.(本小题10分)
为了解某市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查，家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组(“很满意”：90≤x≤100；“满意”：80≤x<90；“比较满意”：70≤x<80；“不太满意”：60≤x<70；“不满意”：0≤x<60)，部分信息分析如下：
c.甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：
d.甲中学“满意”组的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80.
请你根据以上信息，回答下列问题：
(1)直接写出m和n的值；
(2)根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由(一条即可)；
(3)若延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数.
22.(本小题10分)
某中学正值100周年校庆，该校准备制作一批纪念品，经过招标比选等正规程序，该校最终找到了满意的生产厂家，今年3月初，厂家提供第一批纪念品，学校花了3300元；三月中旬，厂家提供第二批纪念品，学校花了4000元，已知厂家生产第二批纪念品时，改进了技术，降低了成本，单价随之降低，第一批纪念品的单价是第二批单价的1.1倍，且第二批纪念品比第一批纪念品多25个.
(1)求第二批纪念品的单价；
(2)两批纪念品送达该校后，受到该校师生的青睐，学校准备再定制一批，经和商家协商，在第二批纪念品的基础上，若每多预定10个，单价降低1元，由于成本原因，纪念品单价不得低于25元，学校经过测算，随即和厂家签订第三批纪念品的订单，共计6240元，求第三批纪念品的个数.
23.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=8，CB=6，动点D从点B出发，沿着B→A→C方向运动，速度为每秒43个单位长度，同时点E从点B出发，沿着B→C→A方向运动，速度为每秒1个单位长度，当两者相遇时停止运动.设运动时间为t秒，点D与点A的距离为y1，点E与点C的距离为y2，y=y1+y2.
(1)请直接写出y关于t的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合图象直接写出y=7时，t的值.
24.(本小题10分)
如图，乐乐从地铁站A出发，沿北偏东30∘方向走1000米到达博物馆B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于地铁站南偏东45∘方向的图书馆C处.
(1)求乐乐从博物馆走到图书馆的途中与地铁站A之间的最短距离；
(2)如果乐乐以80米/分的速度从图书馆C沿CA回到地铁站A，那么她在10分钟内能否到达地铁站A？( 2≈1.414, 3≈1.732).
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+94x+c经过点A(−4,0)，B(1,0)，交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，过点P作PD//AC交x轴于点D，求AD+PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)将原抛物线沿射线CA方向平移52个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得∠CAG=45∘，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标.
26.(本小题10分)
在△ABC中，点C在直线AB的上方.
(1)如图1，∠ACB=90∘，点D在边BC上，且BD=AC=12CD，若AB=8，求线段AD的长；
(2)如图2，点E为△ABC外一点，BC=AC，CE=EF，∠ACB=∠CEF=∠AEB，猜想AE，CF，EB之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，∠ACB=90∘，AB=8，点P是射线BC上一动点，且AC=BP，连接AP，将线段AC绕点A顺时针旋转90∘到得线段AQ，连接PQ，直接写出PQ的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−3的相反数是3，
故选：C.
根据相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数，掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：从左面看到该几何体的形状图是：
故选：B.
根据三视图的定义逐一判断即可．
本题考查从不同方向看物体，掌握从左面看到有两行，后边一行有两个正方形，前面一行有1个正方形是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：设反比例函数表达式为y=kx，把A(−2,3)代入，
∴k=xy=−6，
A、∵(−1)×(−6)=6≠−6，
∴点(−1,−6)不在反比例函数y=−6x图象上，故本选项不符合题意；
B、∵1×(−6)=−6，
∴点(1,−6)在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
C、∵−3×(−2)=6≠−6，
∴点(−3,−2)在反比例函数y=−6x图象上，故本选项不符合题意；
D、∵3×2=6≠−6，
∴点(3,2)不在反比例函数y=−6x图象上，故本选项不符合题意．
故选：B.
代入解析式，计算判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的特征，正确记忆相关知识点是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：两个相似三角形的周长比为1：8，它们对应的相似比为1：8.
故选：C.
根据“相似三角形周长的比等于相似比”即可解答．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠1+∠AED=180∘，
∵∠1=105∘，
∴∠AED=75∘，
∵∠2和∠AED是对顶角，
∴∠2=∠AED=75∘，
故选：B.
根据两直线平行，同旁内角互补，可求出∠AED的度数，然后根据对顶角相等，即可求出∠2的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
先进行化简后，再根据算术平方根的定义估算无理数4+ 6的大小即可．
【解答】
解：原式=4+ 6，
∵2< 6<3，
∴6<4+ 6<7，
故选：C.
7.【答案】B
【解析】解：由题目可知：
第①个图中有4张黑色正方形纸片，即4=1+3×1；
第②个图中有7张黑色正方形纸片，即7=1+3×2；
第③个图中有10张黑色正方形纸片，即10=1+3×3；
…，
按此规律排列下去，第n个图中的黑色正方形纸片张数为：1+3n，
∴第⑨个图中黑色正方形纸片张数为：1+3×9=28，
故选：B.
根据题目中的规律可得：第n个图中的黑色正方形纸片张数为：1+3n，再计算n=9，即可得出答案．
本题考查的是图形的变化规律，从题目中找出其中的变化规律是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵AB是⊙的直径，
∴∠C=90∘，
∵PA切⊙O于点A，∠APO=30∘，AP= 3，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP=90∘，
∴OAAP=tan30∘= 33，∠AOP=90∘−∠P=60∘，
∴OA= 33AP= 33× 3=1，
∴AB=2，
∵AC⊥BC，AC⊥OP，
∴BC//OP，
∴∠B=∠AOP=60∘，
∴∠BAC=90∘−∠B=30∘，
∴BC=12AB=1，
故选：C.
由切线的性质证明∠OAP=90∘，则OAAP=tan30∘= 33，所以OA= 33AP=1，则AB=2，由AC⊥BC，AC⊥OP，证明BC//OP，则∠B=∠AOP=60∘，所以∠BAC=30∘，则BC=12AB=1，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质定理、直角三角形的两个锐角互余、锐角三角函数与解直角三角形、垂直于同一条直线的两条直线平行、直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明∠OAP=90∘及BC//OP是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵正方形ABCD中，AB=BC，∠C=∠BAF，AF=CE，
∴△BAF≌△BCE(SAS)，
∴BF=BE，∠EBF=90∘，
∴∠BFE=45∘，
∵∠DFE=α，
∴∠ABE=90∘−∠ABF=∠AFB=∠DFE+∠BFE=α+45∘，
故选：A.
由正方形ABCD中，AB=BC，∠C=∠BAF，AF=CE，得△BAF≌△BCE，得BF=BE，∠EBF=90∘，得∠BFE=45∘，由∠DFE=α，得∠ABE=90∘−∠ABF=∠AFB=∠DFE+∠BFE=α+45∘.
本题主要考查了正方形中角的计算，解题关键是三角形全等的发现．
10.【答案】C
【解析】解：①对1，3，5，10进行“绝对值运算”得：
|1−3|+|1−5|+|1−10|+|3−5|+|3−10|+|5−10|=2+4+9+2+7+5=29，
故①正确；
②对x，−2，5进行“差绝对值运算”得：
|x+2|+|x−5|+|−2−5|=|x+2|+|x−5|+7，
∵|x+2|+|x−5|表示的是数轴上点x到−2和5的距离之和，
∴|x+2|+|x−5|的最小值为2+5=7，
∴x，−2，5的“差绝对值运算”的最小值是：7+7=14，
故②不正确；
对a，b，b，c进行“差绝对值运算”得：|a−b|+|a−b|+|a−c|+|b−b|+|b−c|+|b−c|=2|a−b|+|a−c|+2|b−c|，
当a−b≥0，a−c≥0，b−c≥0，2|a−b|+|a−c|+2|b−c|=3a−3c；
当a−b≥0，a−c≥0，b−c≤0，2|a−b|+|a−c|+2|b−c|=3a−4b+c；
当a−b≥0，a−c≤0，b−c≤0，2|a−b|+|a−c|+2|b−c|=a−4b+3c；
当a−b≤0，a−c≤0，b−c≤0，2|a−b|+|a−c|+2|b−c|=−3a+3c；
当a−b≤0，a−c≥0，b−c≥0，2|a−b|+|a−c|+2|b−c|=−a+4b−3c；
当a−b≤0，a−c≤0，b−c≥0，2|a−b|+|a−c|+2|b−c|=−3a+4b−c；
a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，
故③正确，
综上，故只有2个正确的．
故选：C.
①根据“绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：|−2|+(3− 7)0=2+1=3.
故答案为：3.
化简绝对值，零指数幂，然后再计算即可．
本题考查了实数的运算法则，掌握零指数幂的运算性质是解本题的关键．
12.【答案】18
【解析】解：∵正五边形的每个内角度数为(5−2)×180∘÷5=108∘，正方形的每个内角等于90∘，
∴∠1=108∘−90∘=18∘，
故答案为：18.
∠1的度数是正五边形的内角与正方形内角的度数差，根据多边形内角和定理求出各内角的度数，进而求解．
本题考察查了正五边形和正方形的性质，多边形内角和定理，掌握该知识点是解题的关键．
13.【答案】13
【解析】解：将三部影片分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中他们选择的影片相同的结果有3种，
∴他们选择的影片相同的概率为39=13.
故答案为：13.
画树状图得出所有等可能的结果数以及他们选择的影片相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】x(x−1)=1892
【解析】解：根据题意得，
x(x−1)=1892，
故答案为：x(x−1)=1892.
设全班有x人．根据互赠卡片一张，则x人共赠卡片x(x−1)张，列方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这是一道典型的双循环问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
15.【答案】2 3−2π3
【解析】解：连接OA、AE，则OA=OE，
∵CE是⊙O的直径，AC=2 3，
∴∠CAE=90∘，
∵∠AEC=∠ABC=60∘，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AOE=60∘，
∵ACAE=2 3AE=tan60∘= 3，
∴OA=AE=2，
∵DA与⊙O相切于点A，
∴DA⊥OA，
∴∠OAD=90∘，
∴ADOA=AD2=tan60∘= 3，
∴AD=2 3，
∴S阴影=S△OAD−S扇形AOE=12×2×2 3−60π×22360=2 3−2π3，
故答案为：2 3−2π3.
连接OA、AE，则OA=OE，因为∠AEC=∠ABC=60∘，所以△AOE是等边三角形，则∠AOE=60∘，由ACAE=2 3AE=tan60∘= 3，求得OA=AE=2，由切线的性质证明∠OAD=90∘，则ADOA=AD2=tan60∘= 3，求得AD=2 3，即可由S阴影=S△OAD−S扇形AOE求得S阴影=2 3−2π3，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】2 3
【解析】解：连接DE，BE，
∵∠ABC=∠ADC=90∘，点E是线段AC的中点，
∴CE=DE=BE=12AC，
∵点F是线段BD的中点，
∴DF=BF，
∴EF⊥BD，
∵CE=DE=BE，
∴∠CDE=∠DCE，∠EDB=∠EBC，
∵∠DCB=120∘，
∴∠CDE+∠CBE=∠DCE+∠BCE=∠DCB=120∘，
∴∠DEB=360∘−120∘−120∘=120∘，
∴∠DEF=∠BEF=60∘，
∵EF=1，
∴DF=BE= 3EF= 3，
∴BD=2 3，
故答案为：2 3.
连接DE，BE，根据直角三角形的性质得到CE=DE=BE=12AC，根据等腰三角形的性质得到EF⊥BD，求得∠DEF=∠BEF=60∘，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】12
【解析】解：解不等式组3x−12∵不等式组至少有两个整数解，
∴m−12≤3，
解得：m≤7，
解关于y的分式方程3yy−1=1−m1−y，
得：y=m−12，且y−1≠0，
∴y=m−12≠1，
∴m≠3，
∵分式方程解为正整数，且m≠3，
∴符合条件的所有整数m的值为5，7，
∴符合条件的所有整数m的和为5+7=12.
故答案为：12.
解不等式组，并根据题意得到关于m的范围即可．
本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于m的范围是解题的关键．
18.【答案】213 978
【解析】解：由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213，
故答案为：213.
F(n)=100x+10z+y−100y−10z−x99=x−y，
∵F(n)+2x=20，
∴x−y+2x=20，
∴y=3x−20，
∵y∴当x=7时，y=1，若n最大，则z=6，
∴当x=8时，y=4，若n最大，则z=7，
∴当x=9时，y=7，若n最大，则z=8，
∴n的最大是978.
故答案为：978.
由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213..
由F(n)=100x+10z+y−100y−10z−x99=x−y，又F(n)+2x=20得y=3x−20，结合y本题考查了因式分解，掌握“义渡数”是解题关键．
19.【答案】解：(1)原式=4a2−b2+2ab+b2
=4a2+2ab；
(2)原式=x−2−xx−2+(x+2)(x−2)(x−2)2
=−2x−2+x+2x−2
=−2+x+2x−2
=xx−2.
【解析】(1)利用平方差公式，单项式乘多项式法则计算即可；
(2)利用分式的加减法则计算即可．
本题考查整式及分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】∠FDB=∠EBDDF=BEDE=BF
【解析】(1)解：如图，DF即为所求．
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，CD//AB.
∴∠CDB=∠ABD.
∵BE平分∠ABD，
∴∠EBD=12∠ABD.
∵DF平分∠CDB，
∴∠FDB=12∠CDB.
∴∠FDB=∠EBD.
∴DF//BE.
在△DOF和△BOE中，
∠FDB=∠EBDOD=OB∠DOF=∠BOE，
∴△DOF≌△BOE(ASA).
∴DF=BE.
∴四边形BEDF为平行四边形．
∴DE=BF.
故答案为：①∠FDB=∠EBD；②∠DOF=∠BOE；③DF=BE；④DE=BF.
(1)根据角平分线的作图方法作图即可．
(2)根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质填空即可．
本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、角平分线的作图方法是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)乙中学“比较满意”所占的百分比为1−40%−7%−18%−10%=25%，即m=25.
∵甲中学“满意”组的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80.
∴将甲中学的满意度得分从高到低排列后，处在中间位置的两个数的平均数为82+812=81.5，
因此中位数是81.5，即n=81.5.
(2)甲中学延时服务开展得更好，理由如下．
因为甲中学延时服务得分的中位数和众数均比乙中学的高，所以甲中学延时服务开展得更好．
(3)1000×(10%+40%+25%)=750(人).
答：甲中学延时服务开展得更好为750人．
【解析】(1)根据乙中学延时服务得分情况扇形统计图求出“比较满意”组所占的百分比，即可得到m的值；根据甲中学“满意”组的分数从高到低排列后的最后10个数求出甲中学延时服务得分的中位数，即可得到n的值；
(2)根据甲中学和乙中学延时服务得分的平均数，中位数和众数进行比较并选择即可；
(3)根据甲、乙中学延时服务得分情况统计图乘以家长人数即可．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，数据的集中趋势，用样本估计总体，熟练掌握这些知识点是解题关键．
22.【答案】解：(1)设第二批纪念品的单价是x元，则第一批纪念品的单价是1.1x元，
根据题意得：4000x−33001.1x=25，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意．
答：第二批纪念品的单价是40元；
(2)购进第二批纪念品的数量是4000÷40=100(个).
设定制第三批纪念品的个数是y个，则单价是(40−y−10010×1)=(50−y10)元，
根据题意得：(50−y10)y=6240，
整理得：y2−500y+62400=0，
解得：y1=240，y2=260，
当y=240时，50−y10=50−24010=26>25，符合题意；
当y=260时，50−y10=50−26010=24<25，不符合题意，舍去．
答：定制第三批纪念品的个数是240个．
【解析】(1)设第二批纪念品的单价是x元，则第一批纪念品的单价是1.1x元，利用数量=总价÷单价，结合第二批纪念品比第一批纪念品多25个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)利用数量=总价÷单价，可求出购进第二批纪念品的数量，设定制第三批纪念品的个数是y个，则单价是(50−y10)元，利用总价=单价×数量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】解：(1)∵∠B=90∘，AB=8，CB=6，
∴AC=10，
由题意得，当0∴y1=8−43t，y2=6−t，
∴y=y1+y2=8−43t+6−t=14−73t；
当6∴y1=43t−8，y2=t−6，
∴y=y1+y2=43t−8+t−6=73t−14，
综上所述，y关于t的函数关系式为y=−73x+14(0(2)在平面直角坐标系中画出函数的图象如图所示，
当0(3)由图象知当y=7时，t的值为3或9.
【解析】(1)根据勾股定理得到AC=10，由题意得，当0(2)根据函数解析式在平面直角坐标系中画出函数的图象即可；
(3)根据函数的图象即可得到y=7时，t的值为3或9.
本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，直角三角形的性质，求函数的解析式，函数的图象和性质，正确地画出函数的图象是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ADB中，AB=1000米，∠B=30∘，
则AD=12AB=500(米)，
答：乐乐从博物馆走到图书馆的途中与地铁站A之间的最短距离为500米；
(2)在Rt△ADC中，∠C=45∘，
则AC= 2AD=500 2(米)，
∵500 2≈707，707÷80≈8.8<10，
∴乐乐在10分钟内能到达地铁站A.
【解析】(1)过点A作AD⊥BC于点D，根据含30∘角的直角三角形的性质求出AD；
(2)根据等腰直角三角形的性质求出AC，根据题意求出乐乐以80米/分的速度从图书馆C沿CA回到地铁站A所需的时间，比较大小得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，熟记直角三角形的性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)将A(−4,0)，B(1,0)代入y=ax2+94x+c，
∴16a−9+c=0a+94+c=0，
解得a=34c=−3，
∴函数的解析式为y=34x2+94x−3；
(2)设P(t,34t2+94t−3)，
过点A作AG⊥DP交于G，
∵CP//AC，
∴∠OAC=∠ADP，
∵C(0,−3)，A(−4,0)，
∴AC=5，
∴sin∠OAC=35，
∴AG=35AD，
∴AD+PE=AD+AG=85AD，
设直线AC的解析式为y=kx−3，
∴−4k−3=0，
解得k=−34，
∴直线AC的解析式为y=−34x−3，
∴直线DP的解析式为y=−34x+34t2+3t−3，
∴D(t2+4t−4,0)，
∴AD=−t2−4t，
∴AD+PE=−85(t+2)2+325，
∴当t=−2时，AD+PE有最大值325，此时P(−2,−92)；
(3)∵抛物线沿射线CA方向平移52个单位长度，
∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位长度，沿y轴正半轴平移32个单位长度，
∴平移后的函数解析式为y=34(x+72)2−5116，
当G点在x轴上方时，设直线AG与y轴交于H点，取T(−3,0)，连接CT，
∵OC=OT，
∴∠OTC=45∘，
∵∠HAC=45∘，
∴∠HAO=∠TCA，
过点T作TK⊥AC交于K点，
∵AT=1，sin∠OAC=35，
∴KT=35，
∴AK=45，
∴KC=5−45=215，
∴tan∠KCT=17，
∴tan∠HAO=17，
∴OH=47，
∴直线AH的解析式为y=17x+47，
当17x+47=34(x+72)2−5116时，解得x=−143+ 768142或x=−143− 768142(舍)，
∴G点横坐标为−143+ 768142；
当G点在x轴下方时，作H点关于直线AC的对称点Q，连接AQ，
∴∠HAQ=90∘，
过点H作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线交于M点，过点Q作QN⊥AM交于N点，
∴△AMH≌△QNA(AAS)，
∴AM=NQ=47，MH=AN=4，
∴Q(−247,−4)，
∴直线QA的解析式为y=−7x−28，
当−7x−28=34(x+72)2−5116时，解得x=−49+ 7696或x=−49− 7696(舍)，
∴G点横坐标为−49+ 7696；
综上所述：G点坐标为−143+ 768142或−49+ 7696.
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)设P(t,34t2+94t−3)，过点A作AG⊥DP交于G，可推导出AD+PE=AD+AG=85AD，分别求出直线AC的解析式为y=−34x−3，直线DP的解析式为y=−34x+34t2+3t−3，则D(t2+4t−4,0)，可得AD+PE=−85(t+2)2+325，当t=−2时，AD+PE有最大值325，此时P(−2,−92)；
(3)先求平移后的函数解析式为y=34(x+72)2−5116，当G点在x轴上方时，设直线AG与y轴交于H点，取T(−3,0)，连接CT，∠HAO=∠TCA，过点T作TK⊥AC交于K点，求出直线AH的解析式为y=17x+47，直线AH与抛物线的交点为G点；当G点在x轴下方时，作H点关于直线AC的对称点Q，连接AQ，∠HAQ=90∘，过点H作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线交于M点，过点Q作QN⊥AM交于N点，则△AMH≌△QNA(AAS)，求出Q(−247,−4)，直线QA的解析式为y=−7x−28，直线QA与抛物线的交点为G点．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)设BD=AC=x，则CD=2x，
∵∠ACB=90∘，
∴AC2+BC2=AB2，AC2+DC2=AD2
∴x2+(3x)2=82，x2+(2x)2=AD2
解得：x2=325，
∴AD2=5x2=32，
则AD=4 2(负值舍去)；
(2)过点C作EF的平行线交AE于点G，
∵BC=AC，CE=EF，∠ACB=∠CEF=∠AEB，
∴A、C、E、B四点共圆，∠CAB=∠CBA=∠ECF=∠EFC
∴∠AEC=∠CBA，
∴∠AEC=∠ECF，
∴AE//CF，
∵CG//EF，
∴四边形CGEF是平行四边形，∠GCE=∠CEF，
∴CG=EF，GE=CF，∠GCE=∠ACB，
∴CG=CE，∠1=∠2，
又∵CA=CB，
∴△CGA≌△CEB(SAS)，
∴AG=EB，
∵AE=AG+GE，
∴AE=BE+CF；
(3)记PQ与AB交点为点K，过点B在直线AB上方作BO⊥AB，且BO=KB，连接OP，OK，KC，
由题意得：AC=AQ，∠CAQ=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠CAQ，
∴AQ//BC，
∴∠1=∠2，
∵AC=BP，
∴AQ=BP，
∵∠AKQ=∠PKB，
∴△AKQ≌△BKP(AAS)，
∴PK=QK，AK=KB，则PQ=2PK，
∵∠ACB=∠ABO=90∘，
∴∠1+∠CAB=∠1+∠OBP=90∘
∴∠CAK=∠OBP，
∵点K为AB中点，且BO=KB
∴AK=BO，
∵AC=BP，
∴△ACK≌△BPO(SAS)，
∴OP=CK，
而∠ACB=90∘，点K为AB中点，
∴OP=CK=12AB=4，
在Rt△BKO中，BK=BO=4，由勾股定理得KO=4 2，
∵PK+OP≥OK，
∴PK≥OK−OP=4 2−4，
∴PQ≥8 2−8，当O、P、K三点共线时，等号成立，
∴PQ的最小值为8 2−8.
【解析】(1)设BD=AC=x，则CD=2x，对Rt△ABC，Rt△ADC运用勾股定理求解即可；
(2)过点C作EF的平行线交AE于点G，则A、C、E、B四点共圆，先证明四边形CGEF是平行四边形，再由“SAS”证明△CGA≌△CEB，即可得证；
(3)记PQ与AB交点为点K，过点B在直线AB上方作BO⊥AB，且BO=KB，连接OP，OK，KC，先证明△AKQ≌△PKB，得PQ=2PK，再通过SAS证明出△ACK≌△BPO，则OP=4，由PK+OP≥OK即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，圆周角定理，直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．学校
平均数
中位数
众数
甲
83
n
83
乙
83
79
80