2024年重庆市沙坪坝区中考数学全真模拟试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年重庆市沙坪坝区中考数学全真模拟试卷（含详细答案解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2的相反数是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
2.六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.反比例函数y=−6x的图象一定经过的点是( )
A. (1,6)B. (−1,−6)C. (2,−3)D. (3,2)
4.如图，直线m//n，点A在直线m上，点B在直线n上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线n于点C.若∠1=50∘，则∠2的度数为( )
A. 30∘
B. 40∘
C. 50∘
D. 60∘
5.如图，在平面直角坐标系中，△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形.若OB=2OD，△OCD的周长为3，则△OAB的周长为( )
A. 6
B. 9
C. 12
D. 30
6.估计 3(2 3+ 5)的值应在( )
A. 8和9之间B. 9和10之间C. 10和11之间D. 11和12之间
7.下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的，其中第①个图形中共有9个菱形，第②个图形中共有12个菱形，第③个图形中共有15个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中的菱形个数为( )
A. 21B. 24C. 27D. 30
8.如图，在△ABC中，∠B=30∘，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O恰好与BC相切于点D，连接AD.若AD平分∠CAB，BD= 3，则线段AC的长是( )
A. 2
B. 3
C. 32
D. 32 3
9.如图，正方形ABCD中，点E为边BA延长线上一点，点F在边BC上，且AE=CF，连接DF，EF.若∠FDC=α.则∠AEF=( )
A. 90∘−2α
B. 45∘−α
C. 45∘+α
D. α
10.已知a>b>0>c>d>e，对多项式a−b−c−d−e任意添加绝对值运算(不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况)后仍只含减法运算，称这种操作为“绝对领域”，例如：a−|b−c−d|−e，a−|b−c|−|d−e|等，下列相关说法正确的数是( )
①一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果为非负数；
②一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果与原式的和为0；
③进行“绝对领域”操作后的式子化简的结果可能有9种结果.
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.(4−π)0−|−3|=______.
12.如图，等腰三角形ABC中，CA=CB，∠C=40∘，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2的度数为______度.
13.寒假期间，小明、小红二人在《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《熊出没》四部影片中各自随机选择了一部影片观看(假设两人选择每部影片的机会均等)，则二人恰好选择同一部影片观看的概率为______.
14.2023年，哈尔滨旅游强势出圈，全市旅游总收入达到1700亿元，据了解，2021年哈尔滨全市旅游总收入为950亿元，若设这两年全市旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程：______.
15.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠A=45∘，AD=6，BC=2，以点C为圆心，CB长为半径画弧交CD于点E，则图中阴影部分面积为______.
16.如图，矩形ABCD中，AB=3 6，BC=12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是______.
17.若关于x的一元一次不等式组x−112<3(x+1)m−3x>5有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程2−my2−y−20y−2=7的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是______.
18.如果一个四位自然数abcd−的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a+b+c=d2；那么称这个四位数为“和方数”.例如：四位数2613，因为2+6+1=32，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为2+5+1≠42，所以2514不是“和方数”.若a354−是“和方数”，则这个数是______；若四位数 M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若M+N能被33整除，则满足条件的M的最大值是______.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)y(x+y)+(x+y)(x−y)；
(2)(1x+1+1)÷2x+4x2+2x+1.
20.(本小题10分)
为进一步营造良好的通信科技人才成长环境，提升信息科技素养，培养科技创新后备人才，某学校开展了以“青少年通信科技创新大赛”为主题的科技系列活动，初赛采用标准试题线上答题.其中该校对七、八年级学生进行了初赛测试，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩(百分制，单位：分)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，共分成四组：A：60≤x<70；B：70≤x<80；C：80≤x<90；D：90≤x≤100)，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的成绩是：63，72，76，82，82，86，86，86，97，100
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：84，86，82，87，87.
七、八年级抽取的学生成绩统计表
八年级抽取的学生成绩扇形统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a=______，b=______，m=______；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级学生的初赛成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校七年级有480人、八年级有560人参加了此次初赛测试，请估计两个年级参加初赛测试的成绩不低于90分的共有多少人.
21.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AD平分∠BAC.小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出△ABD和△ACD面积的比值与AB，AC两边比值的关系.他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，进一步得到△ABD和△ACD的面积之比等于∠BAC的两邻边边长之比.请根据小明的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，过点D作AC的垂线，垂足为点H(只保留作图痕迹).
(2)证明：∵DH⊥AC，
∴∠AHD=90∘=∠B.
∵AD平分∠BAC，
∴①______.
在△ABD和△AHD中，
{∠B=∠AHD∠BAD=∠HAD−②( )
∴△ABD≌△AHD(AAS).
∴③______.
∵S△ABD=12AB⋅BD，
S△ACD=12AC⋅DH，
∴S△ABDS△ACD=ABAC.
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论.请你依照题意完成下面命题：
如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么④______.
22.(本小题10分)
远方食品公司有甲、乙两个组共36名工人.甲组每天制作6400个粽子，乙组每天制作12000个粽子.已知乙组每人每天制作的粽子数量是甲组每人每天制作粽子数量的32.
(1)求甲、乙两组各有多少名工人？
(2)为了提高粽子的日产量，公司决定从乙组抽调部分人员到甲组中，抽调后甲组每人每天制作粽子数量提高12，而乙组每人每天制作粽子数量降低16.若每天至少生产20300个粽子，则至少需要抽调多少人到甲工作组？
23.(本小题10分)
如图1，在四边形ABCD中，AB//DC，AD=BC=5，DC=4，AB=10，点P在四边形的边上，且沿着点B→C→D→A运动.设点P的运动路程为x，记AB、BP、PA围成的面积为S，y1=S，y2=40x(x≠0).
(1)请直接写出y1与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)如图2，平面直角坐标系中已画出函数y2的图象，请在同一坐标系中画出函数y1的图象，并根据函数图象，写出函数y的一条性质；
(3)结合y1与y2的函数图象，直接写出当y1>y2时，x的取值范围.(结果保留一位小数，误差范围不超过0.2).
24.(本小题10分)
今年夏季我市持续高温引发多地山火.如图，某地山火火口AB宽10米，受风力等因素的影响，火源头A正沿东北方向的AD蔓延，火源头B正沿北偏东60∘方向的BC蔓延，山火救援队在前方赶造一条阻燃带CD，已知CD//AB，AB与CD间的距离为40米.
(1)求阻燃带CD的长度(精确到个位)；
(2)若救援队赶造阻燃带的速度为每小时12米，火源头A的蔓延速度是每小时15米，火源头B的蔓延速度是每小时20米，受热浪影响，火源头到来前10分钟无法工作.通过计算说明，救援队能否在最先到达阻燃带CD的火源头到来前10分钟赶造好阻燃带？(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−2过点(2,103)且交x轴于点A(1,0)，点B，交y轴于点C，顶点为D，连接AC，BC.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作PM//AC交x轴于点M，PH//x轴交BC于点H，求3 55PM+PH的最大值，以及此时点P的坐标.
(3)连接DA，把原抛物线沿射线DA方向平移52个单位长度后交x轴于A，B两点(A′在B′右侧)，在新抛物线上是否存在一点G，使得∠GA′B′=45∘，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.
26.(本小题10分)
已知△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，连接CD，点E为CD上一点，连接BE.
(1)如图1，延长BE交AC于点F，若∠CBF=45∘，BF=3 2，求CF的长；
(2)如图2，将△BEC绕点C顺时针旋转60∘到△AGC，延长BC至点H，使得CH=BD，连接AH交CG于点N，求证CE=DE+2GN；
(3)如图3，AB=8，点H是BC上一点，且BD=2CH，连接DH，点K是AC上一点，CK=AD，连接DK，BK，将△BKD沿BK翻折到△BKQ，连接CQ，当△ADK的周长最小时，直接写出△CKQ的面积.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的相反数是2，
故选：A.
根据相反数的定义进行判断即可．
本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确判断的前提．
2.【答案】C
【解析】解：从正面看到的图形为：
；
故选：C.
画出从正面看到的图形即可．
本题考查三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
3.【答案】C
【解析】解：A、当x=1时，y=−6，此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意；
B、当x=−1时，y=6，此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意；
C、当x=2时，y=−3，此函数图象经过该点，故本选项符合题意；
D、当x=3时，y=−2，此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意；
故选：C.
将点的坐标逐个代入函数解析式检验即可．
本题考查了反比例函数定义，将点的坐标逐个代入函数解析式检验即可．
4.【答案】B
【解析】解：∵m//n，∠1=50∘，
∴∠ACB=∠1=50∘，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90∘，
∴∠2=90∘−∠ACB=40∘，
故选：B.
根据平行线的性质可得∠ACB=∠1=50∘，进而根据∠BAC=90∘，即可求解．
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，OB=2OD，
∴△OAB和△OCD的相似比为：2：1，
∴△OAB和△OCD的周长比为：2：1，
∵△OCD的周长为3，
∴△OAB的周长为6；
故选：A.
根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果．
本题考查坐标与位似，掌握位似比等于相似比，周长比等于相似比是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解： 3(2 3+ 5)
=6+ 15，
∵9<15<16，
∴3< 15<4，
∴9<6+ 15<10，
∴ 3(2 3+ 5)的值应在9和10之间．
故选：B.
先利用二次根式的乘法法则计算，进而估算无理数的大小得出答案．
本题主要考查的是二次根式乘法运算，估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由图可得，
第①个图形中一共有：9+3×0=9个菱形，
第②个图形中一共有：9+3×1=12个菱形，
第③个图形中一共有：9+3×2=15个菱形，
…，
则第⑥个图形中菱形的个数是：9+3×5=24个菱形，
故选：B.
根据题目中的图形，可以发现各个图形中菱形个数的变化规律，从而可以得到第⑥个图形中菱形的个数．
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中菱形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】C
【解析】解：连接OD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴∠BDO=90∘，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD//AC，
∴∠C=90∘，
∵∠B=30∘，
∴∠CAD=∠BAD=30∘，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD= 3，
∴AC=AD⋅cs∠CAD= 3× 32=32.
故答案为：C.
连接OD，根据切线的性质得到∠BDO=90∘，根据平行线的性质得出∠C=90∘，在Rt△ADC中由AD= 3可得出答案．
本题考查的是切线的性质、平行线的性质和判定、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：连接ED，
在正方形ABCD中，∠ADC=∠BAD=∠C=90∘，AD=DC，
∵AE=CF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(SAS)，
∴∠FDC=∠ADE=α，DE=DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠ADE+∠ADF=90∘，
∴∠EFD=∠FED=45∘，
∴∠AGE=∠FED+∠ADE=45∘+α，
∴∠AEF=90∘−∠AGE=90∘−(45∘+α)=45∘−α，
故选：B.
连接ED，根据正方形的性质可得∠ADC=∠BAD=∠C=90∘，AD=DC，再由全等三角形的判定与性质可得∠FDC=∠ADE=α，最后由等腰直角三角形的性质及三角形外角性质可得答案．
此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵0>c>d>e，
∴只需a，b减去b，c，d，e，结果一定时非负数，
例如：|a−b|−c−d−e，故①正确；
a−b−c−d−e的相反数为−a+b+c+d+e，
∵a>b>0>c>d>e，
∴加绝对值无法将a变为−a，即不存在与原式互为相反数的可能，故②错误；
由a>b>0>c>d>e，可得：a与b的符号不变，c，d，e的符号会发生变化，
∴列举法得到化简后的结果为：a−b+c−d−e，a−b+c+d−e，a−b+c+d+e，a−b+c−d+e，a−b−c−d−e，a−b−c+d−e，a−b−c+d+e，a−b−c−d+e，共八种，故③错误．
综上，正确的说法有①，共1个．
故选：B.
“绝对领域”可以理解为a−b−c−d−e加了绝对值符号后，符号内外仍然是大的数减小的数，因此符号不会因加了绝对值而改变．
本题考查了绝对值的化简、相反数的定义，弄清定义，按规律列举出所有可能结果是解题关键．
11.【答案】−2
【解析】解：原式=1−3
=−2，
故答案为：−2.
根据零指数幂的运算法则和绝对值的意义进行计算即可．
本题主要考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂的运算法则和绝对值的意义．
12.【答案】250
【解析】解：∵CA=CB，∠C=40∘，
∴∠A=∠B=12(180∘−40∘)=70∘，
∴∠C+∠B=110∘，
∴∠1+∠2=360∘−∠B−∠C=250∘；
故答案为：250.
根据等边对等角，求出∠B的度数，进而求出∠C+∠B的度数，根据四边形的内角和为360度，求解即可．
本题考查等腰三角形的性质，四边形的内角和，关键是等腰三角形性质的熟练掌握．
13.【答案】14
【解析】解：把《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《熊出没》四部影片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的结果有4种，
∴小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的概率为416=14，
故答案为：14.
画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明、小红二人恰好选择同一部影片观看的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】950(1+x)2=1700
【解析】解：设这两年全市旅游总收入的年平均增长率为x，由题意，得：
950(1+x)2=1700；
故答案为：950(1+x)2=1700.
根据 2021年哈尔滨全市旅游总收入为950亿元，2023年，全市旅游总收入达到1700亿元，列出方程即可．
本题考查一元二次方程的实际应用，找到等量关系是关键．
15.【答案】6−π
【解析】解：作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，
∵AD//BC，
∴四边形MNCB是矩形，
∴MN=BC=2，BM=CN，
∵∠A=∠D=45∘，∠AMB=∠DNC=90∘，
∴△ABM≌△DCN(AAS)，
∴AM=DN=12×(AD−MN)=12×(6−2)=2，
∵△ABM、△DCN是等腰直角三角形，
∴MB=AM=2，CN=DN=2，
∴CN=CB，
∴⊙C与AD相切于N，
∵梯形ABCN的面积=12(BC+AN)⋅MB=12×(2+4)×2=6，扇形CBN的面积=90π×22360=π，
∴阴影的面积=梯形ABCN的面积-扇形CBN的面积=6−π.
故答案为：6−π.
作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，由等腰梯形的性质推出△ABM≌△DCN(AAS)，得到AM=DN=2，由等腰直角三角形的性质推出BC=CN=2，由此证明⊙C与AD相切于N，求出梯形ABCN的面积，扇形CBN的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，梯形面积的计算，切线的判定，关键是证明⊙C与AD相切于N，求出梯形ABCN的面积，扇形CBN的面积，即可求出阴影的面积．
16.【答案】2 15
【解析】解：如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90∘，BC=AD=12，DC=AB=3 6，
∵E为AD中点，
∴AE=DE=12AD=6，
由翻折知△AEF≌△GEF，
∴AE=GE=6，∠AEF=∠GEF，∠EGF=∠EAF=90∘=∠D，
∴GE=DE，
在Rt△EGC和Rt△EDC中，
EG=EDEC=EC，
∴Rt△EGC≌Rt△EDC(HL)，
∴∠ECG=∠ECD，∠GEC=∠DEC，
∴∠FEC=∠FEG+∠GEC=12×180∘=90∘，
∴∠FEC=∠D=90∘，
又∵∠DCE=∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴FEDE=ECDC，
∵EC= DE2+DC2= 62+(3 6)2=3 10，
∴FE6=3 103 6，
∴FE=2 15，
故答案为2 15.
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，以及翻折变换．
首先连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，再证明∠FEC=90∘，最后证△FEC∽△EDC，利用相似三角形的性质即可求出EF的长度．
17.【答案】8
【解析】解：{x−112<3(x+1)①m−3x>5②，
由①得：x−112<3x+3，
x−3x<112+3，
x>−174，
由②得：−3x>5−m，
x∴−174∵关于x的一元一次不等式组x−112<3(x+1)m−3x>5有且仅有3个偶数解，
∴这3个偶数解为−4，−2，0，
∴0∴5∴m的整数值为6，7，8，
解方程2−my2−y−20y−2=7，
方程两边同时乘y−2得：
my−2−20=7(y−2)，
my−2−20=7y−14，
∴y=8m−7，
∵关于y的分式方程2−my2−y−20y−2=7的解为非负数，
∴8m−7>0，即m−7>0且8m−7≠2即m−7≠4，
∴m>7且m≠11，
综上，m的取值为7∴符合题意的m的值为8，
则所有满足条件的整数m的值之和是8；
故答案为：8.
先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有3个偶数解，求出m的取值范围，然后解已知条件中的分式方程，根据方程解为非负数，求出m的值，最后求出同时满足已知条件的m的值，求出它们的和即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．
18.【答案】8354 6213
【解析】解：由题意可得a+3+5=42，
解得a=8，
∴这个数为8354；
设M=1000a+100b+10c+d，则N=1000b+100a+10d+c，a+b+c=d2，
∴M+N=1100(a+b)+11(c+d)
=1100(d2−c)+11(c+d)
=1100d2+11d−1089c，
∵M+N能被33整除，
∴1100d2+11d−1089c33=100d(d+1)3−33c是整数，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，
∴100d(d+1)3是整数，
∴d或d+1是3的倍数，
∴d的可能值为：2，3，5，6，8，9.
∵四位自然数abcd−的各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴d=3.
∴满足条件的数的M的最大值是6213.
故答案为：8354；6213.
利用“和方数”的定义列出关于a的方程解答即可；设M=1000a+100b+10c+d，则N=1000b+100a+10d+c，a+b+c=d2，利用数位上的数字的特征和整除的特性解答即可．
本题主要考查了数字变化的规律，因式分解的应用，本题新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
19.【答案】解：(1)y(x+y)+(x+y)(x−y)
=xy+y2+x2−y2
=xy+x2；
(2)(1x+1+1)÷2x+4x2+2x+1
=1+x+1x+1⋅(x+1)22(x+2)
=x+2x+1⋅(x+1)22(x+2)
=x+12.
【解析】(1)根据单项式乘多项式、平方差公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
(2)先算括号内的加法，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、平方差公式、单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
20.【答案】86.58630
【解析】解：(1)八年级抽取的学生成绩，
在A组的人数为：10×10%=1(人)，
在B组的人数为：10×10%=1(人)，
在D组的人数为：10−1−1−5=3(人)，
∴m%=310，
解得：m=30；
八年级抽取的学生成绩的中位数就是排序后第5和第6个成绩的平均数，它们分别是86和87，
∴八年级抽取的学生成绩的中位数为：a=87+862=86.5(分)；
七年级抽取的学生成绩中，86分)出现3次，次数最多，
∴七年级抽取的学生成绩的众数是b=86(分)，
故答案为：86.5，86，30；
(2)八年级学生的初赛成绩更好，理由如下：
两个年级的平均数都是83分，但八年级初赛成绩的中位数86.5分大于七年级初赛成绩的中位数84分(答案不唯一)；
(3)480×210+560×310=264(人)，
答：估计两个年级参加初赛测试的成绩不低于90分的共有264人．
(1)先求七年级成绩众数，再分别求出八年级各个等级的人数，即可求出结论；
(2)根据中位数或众数都可判断八年级的学生的初赛成绩更好；
(3)根据样本估计总体，计算初赛测试成绩不低于90分的七、八年级学生所占百分比即可求出结论．
本题考查中位数、众数、平均数以及扇形统计图，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答本题的关键．
21.【答案】∠BAD=∠HADBD=DH这两个三角形的面积之比，等于这个角的两条邻边边长之比．
【解析】解：(1)如图，直线DH为所作垂段；
(2)解：证明：∵DH⊥AC，
∴∠AHD=90∘=∠B.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠HAD.
在△ABD和△AHD中，
∠B=∠AHD∠BAD=∠HADAD=AD
∴△ABD≌△AHD(AAS).
∴BD=HD.
∵S△ABD=12AB⋅BD，
S△ACD=12AC⋅DH，
∴S△ABDS△ACD=ABAC.
所以：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
(1)分别以A、C点为圆心，12AC长为半径在线段AC两侧画弧，各有两个交点，连接这两个交点交AC边与H，则直线DH即为AC的垂线；
(2)根据AAS，再找一条公共边，证明△ABD≌△AHD，得到BD=DH，进而将面积之比转化长相应边的比
本题主要考查了线段垂直平分线的作图，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设甲组有x名工人，则乙组有(36−x)名工人，
根据题意得：1200036−x=6400x×32，
解得：x=16，
经检验，x=16是所列方程的解，且符合题意，
∴36−x=36−16=20.
答：甲组有16名工人，乙组有20名工人；
(2)设从乙组抽调y名工人到甲组中，则抽调后甲组有(16+y)名工人，乙组有(20−y)名工人，
根据题意得：640016×(1+12)(16+y)+1200020×(1−16)(20−y)≥20300，
解得：y≥7，
∴y的最小值为7.
答：至少需要抽调7人到甲工作组．
【解析】(1)设甲组有x名工人，则乙组有(36−x)名工人，根据乙组每人每天制作的粽子数量是甲组每人每天制作粽子数量的32，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲组人数，再将其代入(36−x)中，即可求出乙组人数；
(2)设从乙组抽调y名工人到甲组中，则抽调后甲组有(16+y)名工人，乙组有(20−y)名工人，根据每天至少生产20300个粽子，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：(1)当点P在BC上运动时，如图，
过点P作PH⊥AB于点H，过点C作CN⊥AB于点N，
由题意得：BN=12(10−4)=3，则CN=4，
则sinB=CNBC=45，
则y1=12×AB×PH=12×10×x⋅sinB=4x；
当点P在CD上运动时，过点P作PT⊥AB于点T，
则y1=12×AB×PT=12×10×4=20；
当点P在AD上运动时，
同理可得，y1=−4x+56，
故y1=4x(0≤x≤5)20(5(2)当x=0时，y1=0，当x=5时，y1=20，当x=9时，y1=20，当x=14时，y1=0，
将上述3个点描点、连线绘制图象如下：
函数y的一条性质：当0(3)联立y=4x和反比例函数表达式得：40x=4x，
解得：x= 10(负值已舍去)；
联立y=−4x+56和反比例函数表达式得：40x=−4x+56，
解得：x=7+ 39(负值已舍去)；
故从图象看，当y1>y2时，x的取值范围为 10∵ 10≈3.2， 39≈6.2，
∴3.2【解析】(1)当点P在BC上运动时，y1=12×AB×PH=12×10×x⋅sinB=4x；当点P在CD上运动时，y1=12×AB×PT=12×10×4=20；当点P在AD上运动时，同理可得，y1=−4x+56，即可求解；
(2)通过取点、描点、连线绘制图象即可；
(3)联立y=4x和反比例函数表达式得：40x=4x，解得：x= 10(负值已舍去)；联立y=−4x+56和反比例函数表达式得：40x=−4x+56，解得：x=7+ 39(负值已舍去)，再观察函数图象即可求解．
本题为反比例函数综合题，主要考查了一次函数的基本性质、函数作图等，分类讨论是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点D作DE⊥AF，垂足为E，
由题意得：∠DAE=45∘，∠CBF=90∘−60∘=30∘，CD=EF，
∵DC//AB，
∴DE=CF=40米，
在Rt△ADE中，AE=DEtan45∘=40(米)，
在Rt△CBF中，BF=CFtan30∘=40 33=40 3(米)，
∵AB=10米，
∴EF=AB+BF−AE=10+40 3−40=40 3−30≈39(米)，
∴阻燃带CD的长度约为39米；
(2)救援队能在最先到达阻燃带CD的火源头到来前10分钟赶造好阻燃带，
理由：在Rt△ADE中，DE=40米，∠DAE=45∘，
∴AD=DEsin45∘=40 22=40 2(米)，
∴火源头A的蔓延时间=40 215×60≈226(分)，
在Rt△BCF中，CF=40米，∠CBF=30∘，
∴BC=2CF=80(米)，
∴火源头B的蔓延时间=8020×60=240(分)，
∵救援队赶造阻燃带的速度为每小时12米，
∴救援队赶造阻燃带的时间=40 3−3012×60≈196(分)，
∵196<226<240，
∴救援队能在最先到达阻燃带CD的火源头到来前10分钟赶造好阻燃带．
【解析】(1)过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点D作DE⊥AF，垂足为E，根据题意可得：∠DAE=45∘，∠CBF=30∘，CD=EF，DE=CF=40米，然后分别在Rt△ADE和Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BF的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
(2)在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出火源头A的蔓延时间，然后在Rt△BCF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出BC的长，从而求出火源头B的蔓延时间，最后再求出救援队赶造阻燃带的时间，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线之间的距离，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意得：4a+2b−2=103a+b−2=0，
解得：a=23b=43，
则抛物线的表达式为：y=23x2+43x−2；
(2)∵点B是抛物线与x轴的左交点，C是抛物线与y轴的交点，
∴B(−3,0)，C(0,−2)，
∴直线BC解析式为：y=−23x−2，
过点P作PK//y轴交BC于点Q，交x轴于点K，
∵PM//AC，PH//x轴，
∴△PMK∽△CAO，△PHQ∽△OBC，
∴PMPK=ACCO= 52，PHPQ=BOCO=32，
则PM= 52PK，PH=32PQ，
∴3 55PM+PH=32PK+32PQ，
∴设P(t,23t2+43t−2)(−3∴PK=−23t2−43t+2，PQ=−23t2−2t，
则3 55PM+PH=32(PQ+PK)=−2t2−5t+3，
∵−2<0，开口向下，而对称轴为直线t=−54，在−3∴当t=−54时，3 55PM+PH有最大值，最大值为498，此时P(−54,−218)；
(3)由题意，平移后的抛物线解析式为：y′=−23x2−23x−12，
令y′=−23x2−23x−12=0，则x=−12或32，
则点A′、B′的坐标分别为：(32,0)、(−12,0)，
当∠GA′B′=45∘，则GA′所在的直线表达式中的k值为±1，
则直线GA′的表达式为：y=±(x−32)，
联立上式和抛物线的表达式得：x−32=−23x2−23x−12或−x+32=−23x2−23x−12，
解得：x=32(舍去)或，1或−2，
即点G的坐标为：(1,−12)或(−2,72).
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由△PMK∽△CAO，△PHQ∽△OBC，得到PM= 52PK，PH=32PQ，则3 55PM+PH=32PK+32PQ，即可求解；
(3)当∠GA′B′=45∘，则GA′所在的直线表达式中的k值为±1，则直线GA′的表达式为：y=±(x−32)，进而求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
26.【答案】(1)解：如图1，过点F作FP⊥BC于点P.
∵△ABC为等边三角形．
∴AB=AC=BC.
∠ABC=∠ACB=60∘.
∵FP⊥BC.
∴∠FPB=90∘.
∵∠CBF=45∘.
∴∠BFP=45∘.
∴BP=FP.
∵BF=3 2，
∴BP=FP= 22×3 2=3.
∵tan∠ACB=FPPC= 3.
∴PC= 3.
∴CF=2PC=2 3.
(2)证明：如图2，延长CG到I，使GI=DE，连接AI，过点H作HM//AG，交CG于点M，
.
∵△ABC为等边三角形．
∴AB=AC=BC.
∠ABC=∠ACB=60∘.
由旋转的性质得，∠BCD=∠ACI.
CE=CG，BE=AG，∠CBE=∠CAG.
∴△BCD≌△ACI(SAS).
∴BD=AI，∠IAC=∠ABC=60∘.
∴AI//BC.
∴∠IAN=∠CHN.
∵CH=BD.
∴CH=AI.
又∵∠INA=∠CNH.
∴△IAN≌△CHN(AAS).
∴AN=HN.
∵HM//AG.
∴∠GAN=∠MHN.
又∵∠ANG=∠HNM，AN=HN.
∴△AGN≌△HMN(ASA).
∴AG=HM，GN=MN.
同理，△HCM≌△BDE(ASA).
∴CM=DE.
∴CE=CG=CM+MN+NG=DE+2GN.
(3)解：如图3，过点D，H分别作BC的垂线，分别交BC于点F，交AC于点G，作∠KDE=60∘，交BC于点E.
.
∵△ABC为等边三角形．
∴∠GCH=∠DBF=60∘.
∵GH⊥BC.
∴∠HGC=30∘.
∴CG=2CH.
∵BD=2CH.
∴BD=CG.
又∠DFB=∠GHC=90∘.
∴△GCH≌△DBF(AAS).
∴DF=GH，BF=CH.
∵CK=AD.
∴BD=AK.
∵∠KDE=60∘.
∴∠BDK=∠BDE+60∘=60∘+∠AKD.
∴∠BDE=∠AKD.
∴△BDE≌△AKD(ASA).
∴BE=AD=CK，DE=KD.
设BF=CH=a，则CG=AK=BD=2a.
∴HG=DF= 3a.
BE=AD=CK=8−2a.
∴EF=|BF−BE|=|a−(8−2a)|=|3a−8|.
∴DE= ( 3a)2+(3a−8)2 = 12(a−2)2+16.
∴△ADK的周长=AD+AK+DK=AB+DE=8+DE.
∴△ADK的周长最小值时，DE的值最小．
∴当a=2时，DE的值最小，此时CG=AK=BD=4.
即点K，点G重合，如图4，
.
∴△CKQ的面积=2S△CGH=2×12×2×2 3=4 3.
【解析】(1)如图1，过点F作FP⊥BC于点P，利用等腰直角三角形的性质求得BP=FP=3，再解直角三角形求解即可．
(2)如图2，延长CG到I，使GI=DE，连接AI，过点H作HM//AG，交CG于点M，先后证明△BCD≌△ACI(SAS)，△IAN≌△CHN(AAS)，△AGN≌△HMN(ASA)，△HCM≌△BDE(ASA)，利用三角形全等的性质和线段的和差求解即可．
(3)过点D，H分别作BC的垂线，分别交BC于点F，交AC于点G，作∠KDE=60∘，交BC于点E，证明△GCH≌△DBF(AAS)，可得DF=GH，BF=CH，BD=AK，再证明△BDE≌△AKD(ASA)，可得BE=AD=CK，设BF=CH=a，可得DE= 12(a−2)2+16，得到当△ADK的周长最小值时，DE的值最小，据此求解即可．
本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，求二次函数的最值等知识，做出合理的辅助线，学会利用参数构建二次函数解决问题是解题的关键．年级
七年级
八年级
平均数
83
83
中位数
84
a
众数
b
87