2023年重庆市大渡口区中考数学第二次适应性试卷（含解析）

2023年重庆市大渡口区中考数学第二次适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，，如果，那么的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，若，四边形的面积是，则四边形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  估算的结果(    )

A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间

7.  用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个菱形，第个图案中有个菱形，第个图案中有个菱形，第个图案中有个菱形，，按此规律排列下去，则第个图案中菱形的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，要把长为，宽为的矩形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新矩形花坛，则根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，是的直径，是的切线，为切点，，垂足为，连接若，且，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  我们知道，两个奇数相加、相减的结果是偶数，两个偶数相加、相减的结果是偶数，一个奇数与一个偶数相加、相减的结果是奇数，现有由个正整数排成的一组数，记为，，，任意改变它们的顺序后记作，，，若，下列说法
可以为；
当是奇数时，是偶数；
当是偶数时，是奇数．
其中正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  计算：______．

12.  如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ______ ．

13.  ，，，四位同学参加研学旅行活动，组织者要求任选两位同学分成一组，则和分到一组的概率为______ ．

14.  反比例函数的图象经过点，则的值为______ ．

15.  如图，在菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，若，，则图中阴影部分的面积为______ 结果不取近似值

16.  已知：如图，在矩形中，，，是上一点，把沿折叠得到，当点落在线段上时，的长为______ ．

17.  若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______ ．

18.  若一个四位数的个位数字与十位数字的平方差恰好是去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“平方差数”一个“平方差数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，且，当，均是整数时，当满足条件的取得最大值时， ______ ，最大值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
我们都知道，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，小明在探究这个结论时，他的思
路是：如图，在中，点是的中点，过点作的垂线，然后证明该垂线是的垂直平分线，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为只保留作图痕迹．
，
______
在中，，
______
______ ，
又，
______
．

20.  本小题分
计算：
；
．

21.  本小题分
重庆市有很多风景名胜区，为了增强对它们的了解，某中学对本校初中七年级、八年级的约名学生进行“家乡风景名胜知多少”的知识答题竞赛，学校在七年级、八年级各随机抽取了份试卷进行分析、整理，其中七年级名学生的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
对这份试卷的成绩按照五个等级试卷满分为分，学生得分均为整数制成扇形统计图，并按年级制成了统计表．
等级说明：
等：得分在分及以上；等：得分在分分；等：得分在分分；等：得分在分分；等：低于分
抽查的七、八年级成绩统计表

请根据以上信息解答：
______ ， ______ ， ______ ；
你认为该校七、八年级中，哪个年级的竞赛成绩较好？请说明理由一条即可；
请你估算一下，本次竞赛七年级、八个年级的学生成绩达到分及以上的学生大约有多少人？

22.  本小题分
如图，某公园里的四条人行步道围成四边形，经测量，点在点的正北方向，点在点的北偏西，点在点的正西方向，点在点的北偏东，米，米
求点到的距离；
点处有直饮水，小红从点出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点，请计算说明她走哪一条路较近参考数据：，

23.  本小题分
为促进经济发展，、两地开通了高速公路，比原国道里程缩短了千米，甲汽车在高速公路上行驶的速度比在原国道上行驶速度提高了千米时，沿原国道行驶需要小时，沿高速公路行驶只需要小时分钟．
求、两地高速公路的里程；
乙汽车沿高速公路从地去往地，再从地沿原国道返问到地，共用小时，且它在高速路上行驶速度是在国道上行驶速度的倍，求该汽车在原国道上行驶的速度．

24.  本小题分
在中，，，，点，分别从点，点同时出发，点沿以每秒个单位长度速度运动，点以每秒个单位长度的速度沿运动，点到达点时点同时停止运动，点的运动时间为秒，的面积记为，面积的记为，回答下列问题：
求出，与之间的函数表达式并写出自变量的取值范围；
在平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质；
当时，直接写出的取值范围．
 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线交于点，．
求该抛物线的函数表达式；
点是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标；
在中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移个单位，平移后点，的对应点分别为，，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
 

26.  本小题分
如图，中，，，点在的延长线上．
如图，若，求出的度数；
如图，以为腰在上方作等腰直角三角形，，，点是的中点，过点作于，求证：；
当时，仍按的方式作等腰直角三角形和，把沿翻折到平面内，点的对应点为，若，请求出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
先利用平角定义求出，然后再利用平行线的性质，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形与四边形相似，
，
四边形的面积：四边形的面积，
四边形的面积．
故选：．
根据四边形与四边形相似，利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解．
本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行；位似比等于相似比．
 

6.【答案】 

【解析】解：，且，
，
即的结果在和之间，
故选：．
通过估算的大小进行此题结果的估算．
此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．
 

7.【答案】 

【解析】解：第个图案中有个菱形，
第个图案中有个菱形，
第个图案中有个菱形，
第个图案中有个菱形，
，
则第个图案中菱形的个数为：，
故选：．
根据前个图中的个数找到规律，再求解．
本题考查了图形的变换类，找到变换规律是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意，拓展后的长为：，宽为，
矩形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新矩形花坛，
，
故选：．
拓展后的长为，宽为，根据矩形面积公式列方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是会求拓展后的长和宽．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

是的切线，
，
，
是的直径，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：．
连接，，根据切线的性质证明是等边三角形，然后利用含度角的直角三角形即可解决问题．
此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数，掌握切线的性质是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：可以为，当，，，时，故说法正确；
当是奇数时，是偶数，当，，，，则，故说法错误；
当是偶数时，是奇数，由知，此时可以为，故说法错误；
故选：．
根据题意举例说明结论的正误即可．
本题主要考查数字的变化规律，熟练根据题意得出数字的变化规律是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：三角形的内角和等于，，

，
，
，
．
故答案为：．
根据三角形的内外角之间的关系可得．
本题考查了多边形的内角与外角．解题的关键是明确三角形的内外角之间的关系和三角形的内角和等于的知识点．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中和分到一组的结果有种，
和分到一组的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及和分到一组的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
．
故答案为．
利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

15.【答案】 

【解析】解：作于，
，
是等腰直角三角形，

，
菱形的面积，扇形的面积，
扇形的面积扇形的面积，
阴影的面积扇形的面积菱形的面积．
故答案为：．
作于，得到是等腰直角三角形，即可求出的长，求出扇形的面积，菱形的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，菱形面积的计算，关键是掌握扇形面积计算公式，菱形面积计算公式．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
将沿所在直线折叠，点的对应点恰好落在上，
，，，
在中，
，
设，则，，
在中，，
，
解得，
，
故答案为：．
由四边形是矩形，得，，，根据将沿所在直线折叠，点的对应点恰好落在上，可得，，，即得，设，在中，有，即可解得．
本题考查矩形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
，
解得：，
，
，
解得：，
分式方程的解为负整数，
且，
且，
且，
分式方程的解为负整数，
或，
所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：．
先解不等式组，然后根据不等式组的解集为，可得，从而可得：，再解分式方程可得，从而根据分式方程的解为负整数，可得且，进而可得且，最后根据分式方程的解为负整数可得或，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：，且，
，，
；
四位数为“和差数”，
，


，


，
是整数，
是整数，
由为整数可知，，
设为整数且，
，
，
或，
当时，
若，则，此时，不符合题意；
若，则，此时，；
若，则，此时，；
若，则，此时，；
若，则，不符合题意；
当时，
若，则，此时，；
若，则，不符合题意．
综上，符合条件的有，，，，其中最大值为．
当时，，，
，
故答案为：，．
根据，代入计算即可求解；根据为“和差数”可得，则，，进而得到是整数，设，为整数且，因此，得到或，当时，对，进行取值，并求出此时；当时，对，进行取值，并求出此时，以此即可求解．
本题考查因式分解的应用，涉及整除、新定义等知识，理解新定义，并用含，的代数式表示出是解题关键．
 

19.【答案】       

【解析】解：如下图：

证明：过点作的垂线，垂足为，
，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
故答案为：，，，．
先根据题中步骤作图，再根据三角形的中位线的性质和判定证明．
本题考查了复杂作图，掌握三角形的中位线的判定和性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先利用平方差公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可；
先将括号内的式子通分，再将最后一项分式的分子利用平方差公式计算，分母利用完全平方公式公式计算，再将除法变为乘法，最后约分即可．
本题主要考查整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握完全平方公式：，平方差公式：是解题关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：，即，
七年级名学生的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，所以中位数为，即；
七年级名学生的成绩的众数为，故，
故答案为：；；；
八年级学生竞赛成绩较好，理由如下：
八年级测试成绩的中位数大于七年级；
八年级测试成绩的方差小于七年级；
名，
答：本次竞赛七年级、八个年级的学生成绩达到分及以上的学生大约有人．
根据各部分百分比之和为可求得的值，根据中位数和众数的定义可得、的值；
可从平均数、众数、中位数、方差角度分析求解；
用总人数乘以样本中、等级人数占被调查人数的比例即可．
本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键．
 

22.【答案】解：过点作，交的延长线于点，

在中，，米，
米，
点到的距离为米；
小红从点出发沿人行步道去取水，经过点到达点这条路较近，
理由：过点作，垂足为，

由题意得：米，，
米，
米，
在中，，
米，
米，
米，
在，，米，
米，
米，
米，
米，
米米，
小红从点出发沿人行步道去取水，经过点到达点这条路较近． 

【解析】过点作，交的延长线于点，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得：米，，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设、两地高速公路的里程是千米，小时分钟小时，
根据题意得：，
解得，
、两地高速公路的里程是千米；
设该汽车在原国道上行驶的速度是千米小时，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
答：该汽车在原国道上行驶的速度是千米小时． 

【解析】设、两地高速公路的里程是千米，根据甲汽车在高速公路上行驶的速度比在原国道上行驶速度提高了千米时得：，可解得答案；
设该汽车在原国道上行驶的速度是千米小时，根据共用小时得：，解方程并检验即可．
本题考查一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
 

24.【答案】解：当时，；
当时，，
综上所述．，
过点作于点．

，，，
，
，
，
．

函数图象如图所示：

函数的性质：函数有最大值，最大值为．

由，解得，
由，解得，
观察图象可知，当或时，． 

【解析】分两种情形：当时，当时，求出，再求出边上的高，求出即可；
画出函数图象，可得结论；
构建方程组求出交点坐标，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
 

25.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
过作轴于，过作轴于，如图：

由，得直线函数表达式为，
设，直线函数表达式为，
，
解得，
直线函数表达式为，
联立，
解得，
，，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
此时，
的最大值为，此时点的坐标是；
，
将抛物线沿水平方向向右平移个单位所得新抛物线函数表达式为，
新抛物线对称轴为直线，
又，，
，，
设，；
若以，为平行四边形对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
若，为对角线，同理可得；
，
解得，
；
若，为对角线，同理得；
，
解得，
，
综上所述，的坐标为或或 

【解析】用待定系数下法可得抛物线的函数表达式为；
过作轴于，过作轴于，由，得直线函数表达式为，设，用待定系数法可得直线函数表达式为，联立，解得，即得，，，故，根据二次函数性质可得答案；
求出将抛物线沿水平方向向右平移个单位所得新抛物线函数表达式为，知新抛物线对称轴为直线，而，，可得，，设，，分三种情况：若以，为平行四边形对角线，，得；若，为对角线，，解得；若，为对角线，，可得
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行线分线段成比例，平行四边形性质及应用等知识，解题的关键是转化思想和方程思想的应用．
 

26.【答案】解：如图，过点作于点，

，，
，，
，
，
，
，
，
即的度数为；
证明：如图，连接，

，
，
即，
又，，
≌，
，，
，
，
，
，
点是的中点，
点为的中点，
是的中位线，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
解：如图，过点作，交的延长线于点，

，
，
，，
，
，
由可知，，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
由翻折的性质得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的长为． 

【解析】过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，，再证，即可解决问题；
连接，证≌，得，，则，再由三角形中位线定理得，然后由等腰直角三角形的性质得，即可解决问题；
过点作，交的延长线于点，证，再由含角的直角三角形的性质得，则，然后由翻折的性质得，，进而求出，则，，即可解决问题．
本题是几何变换综合题目，考查了翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、含角的直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．