专题5.3 解析几何中的范围问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲

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二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
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玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品
专题5.3 解析几何中的范围问题
一．方法综述
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；
③利用基本不等式求出取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定取值范围．
二．解题策略
类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围
【例1】（2020·黑龙江高考模拟（理））已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】分析： 由得椭圆的短轴长为，可得，，可得，从而可得结果.
详解：由得椭圆的短轴长为，，
解得，
，设，
则，，
即，
，故选D.
【点睛】.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
【举一反三】
1．（2020·河南高考模拟（理））设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点若，则该双曲线的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：由双曲线方程可知其渐近线方程为，将代入上式可得即．因为，由图形的对称性可知，即．因为，所以，即．因为，所以．故B正确．
2．（2020·湖北高考模拟（理））设椭圆与双曲线在第一象限的交点为为其共同的左右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】依题意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，写出，再根据|TF1|＜4，求出a的范围即可．
【详解】依题意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，
∴ ，
，
解得
.故选D．
3.（2020六安市第一中学模拟）点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
解：设椭圆的左焦点为
则
故要求的最小值，
即求的最小值，
圆的半径为2
所以的最小值等于，
的最小值为，故选D.
类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围
【例2】（2020·玉林高级中学高考模拟（理））已知椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆的右焦点，圆上有一动点，不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意得， ．
设点的坐标为，则
．
∴，
又且，
∴或，
故的取值范围为．选D．
【举一反三】
1.抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．
2.（2020哈尔滨师大附中模拟）已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由，得.
设，，则，，
.
又到直线的距离，
则的面积 ，
当且仅当，即时，的面积取得最大值.
此时，. 故选A.
类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围
【例3】（2020·安徽马鞍山二中高考模拟）已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F：的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点．若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】求得圆的圆心，可得椭圆的，求得圆与轴的交点，可得，进而得到，可得椭圆方程，设出椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为，设两点的坐标为，，，，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，可得中点坐标代入已知直线，可得，的关系，进而得到所求范围．
【详解】的圆心为，可得椭圆的，
圆与轴的交点为，可得椭圆的，
可得，
即有椭圆方程为，
设椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为，
设两点的坐标为，，，
由，得，
△，
，，
设．的中点，，
则，，
中点在上，
，即，得．故选．
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力．
【举一反三】
1.（2020河南省天一大联考）已知抛物线：，定点，，点是抛物线上不同于顶点的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
作出抛物线，如图所示.

由图可知，当直线与抛物线相切时，最大.
设直线的方程为，联立
得.令，得，
此时，所以.
2.（2020四川省内江模拟）若直线x﹣my+m＝0与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，0）
【答案】D
【解析】
圆与直线联立，
整理得
图像有两个交点
方程有两个不同的实数根，即
得.
圆都在轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.
，解得，
故选D项.
【指点迷津】圆都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到，令其小于0，是否关注“判别式”大于零是易错点.
类型四 利用基本不等式求范围
【例4】（2020·辽宁高考模拟（理））已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于点，若与直线的斜率的乘积为，则的最小值为（ ）
A．14B．16C．18D．20
【答案】B
【解析】
【分析】设出直线的斜率，得到的斜率，写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，根据弦长公式求得的值，进而求得最小值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，依题意可知斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，有，有，，故，同理可求得.故，当且仅当时，等号成立，故最小值为，故选B.
【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查利用基本不等式求最小值.
【举一反三】
1.如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，即为圆的圆心，准线方程为．
由抛物线的定义得，又，所以．
同理．
①当直线与x轴垂直时，则有，
∴．
②当直线与x轴不垂直时，设直线方程为，
由消去y整理得，
∴，
∴，当且仅当时等号成立．
综上可得．选C．
【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．
2.（2020河南省安阳市一模）已知双曲线的一个焦点恰为圆Ω：的圆心，且双曲线C的渐近线方程为．点P在双曲线C的右支上，，分别为双曲线C的左、右焦点，则当取得最小值时，＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】
由圆Ω：的圆心（2，0），可得焦点，，
双曲线C的渐近线方程为，可得，
且，
解得，，
设，可得，
，当且仅当时取等号，
可得．
故选：B．
3.（2020四川省凉山州市高三第二次诊断）已知抛物线:的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为___．
【答案】8
【解析】
设，
设直线为,联立直线和抛物线得到，两根之和为：,同理联立直线和抛物线得到
由抛物线的弦长公式得到
代入两根之和得到，已知，
类型五 构建目标函数，确定函数值范围或最值
【例5】（2020·江西高考模拟（理））已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】设P（），则Q（2，），当≠0时，求出两直线方程，解交点的横坐标为，利用|x0|范围，得|x|范围，当＝0时，求得|x|＝1即可求解.
【详解】设P（），则Q（2，2），
当≠0时，
kAP，kPM，
直线PM：y﹣（x﹣），①
直线QB：y﹣0（x），②
联立①②消去y得x，
∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，
当＝0时，易求得|x|＝1，故选：A．
【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．
【举一反三】
1.（2020上海市交大附中模拟）过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为
，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______．
【答案】
【解析】
∵点为直线上的任意一点，∴可设，
则过的圆的方程为，
化简可得，
与已知圆的方程相减可得的方程为，
由直线的方程为，
联立两直线方程可解得，，
故线段的中点，
∴点到直线的距离，
∵，∴，
∴，∴，
∴，即
故答案为：
2.已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为
【答案】
【解析】
由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，
所以，故．
由可得，整理得 ，
显然函数在上单调递增，所以，即．故选A．
3.（2020山东师范大学附属中学模拟）已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】
解：设双曲线的左焦点为，连接，，
，可得四边形为矩形，
设，，即有，
且，，
，
，
由，可得，
则，可得，
即有，
则，
即有．
故答案为：．
类型六 利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围
【例6】（云南省保山市2019年高三统一检测）已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
根据题意，直线，即，
则有，解可得，则直线恒过点．
设，又由与直线垂直，且为垂足，
则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，
所以；即的取值范围是；
故答案为：．
【指点迷津】1.本题根据题意，将直线变形为，分析可得该直线恒过点，设，进而分析可得点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，据此分析可得答案．
2.此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：
（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；
（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．特别地，当，则的轨迹为圆（除去）；
（3）如果为定点，且动点满足(为正常数)，则动点的轨迹为圆；
【举一反三】
1.已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B2、B1、A、F，延长B1F与AB2交于点P，若∠B1PA为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为_____．
【答案】
【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，（c=）
可得∠B1PA等于向量与的夹角，
∵A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），F2（c，0）
∴=（a，﹣b），=（﹣c，﹣b），
∵∠B1PA为钝角，∴与的夹角大于，
由此可得•＜0，即﹣ac+b2＜0，
将b2=a2﹣c2代入上式得：a2﹣ac﹣c2＜0，
不等式两边都除以a2，可得1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0，
解之得e＜或e＞，
结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得＜e＜1，即椭圆离心率的取值范围为（，1）．故答案为（，1）．
2．（2020·湖北高考模拟（理））已知是双曲线：上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是
【答案】
【解析】
【分析】用两点间的距离公式表示，根据点M在双曲线上化简变形，即可得到所求范围.
【详解】因为，所以，所以，又，消去得，，所以.
三．强化训练
一、选择题
1．（2020·福建高考模拟（文））已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点， 与的内切圆切于点，则的最小值为 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】由内切圆得到,利用三角形边的关系及双曲线定义即可求解.
【详解】与的内切圆切于点，∴,由双曲线定义= ,当且仅当A,B,共线时取等，故选：B
2．（江西省上饶市2019届高三二模）已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且，若的范围为，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设F'为双曲线的右焦点，连接AF'，BF'，,∴四边形AFBF'为矩形，且AB=2c
，∴
在中，，
（1）， （2）
（1）（2）两式相加
故选：B
3．（2020·黑龙江高考模拟）在平面直角坐标系中，点为椭圆：的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】垂直于轴且，因为，故，所以，从该式可求出离心率的取值范围．
【详解】因为是平行四边形，因此且，
故，代入椭圆方程可得，所以．
因，所以即，
所以即，解得，故选A．
4．（四川省南充市高三2019届第二次高考适应）已知直线与椭圆交于两点，且（其中为坐标原点），若椭圆的离心率满足，则椭圆长轴的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
联立 得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
△＝4a4﹣4（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，化为：a2+b2＞1．
x1+x2＝ ，x1x2＝．∵OP⊥OQ，
∴＝x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣1）（x2﹣1）＝2x1x2﹣（x1+x2）+1＝0，
∴2×﹣+1＝0．化为a2+b2＝2a2b2．∴b2＝．
∵椭圆的离心率e满足≤e≤，∴，∴，，化为5≤4a2≤6．
解得： ≤2a≤ ．满足△＞0．∴椭圆长轴的取值范围是[，]．故选：A．
5.（2020河北省石家庄市第二中学）已知实数满足，，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【解析】
设点在圆上，且，
原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，
如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线下方，
作直线于点，直线于点，
取的中点，作直线于点，
由梯形中位线的性质可知，
当直线时，直线方程为，
两平行线之间的距离：，
由圆的性质，
综上可得：的最大值.
本题选择D选项.
6．（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断）设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
抛物线的准线方程是
若点的坐标为，此时直线的方程为，
显然点到直线的距离的最小值是1
若点的坐标为，其中
则直线的斜率为
直线的斜率为
直线的方程为
即，
设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为
代入抛物线方程得
所以
解得
所以与直线平行且与抛物线相切的直线方程为
所以点到直线的距离的最小值为直线与直线的距离，即
因为
所以
综合两种情况可知点到直线的距离的最小值的取值范围是
所以选B项.
7．（上海交通大学附属中学2019届高三3月月考）已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，
由正弦定理可得，
即有，
由椭圆定义可得e,
∴．
在三角形中，由m+n=2a,cs-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cs最小，最大，
∴=,
∴故选：D．
8．（2019届湘赣十四校高三第二次联考）已知正方体中，，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设的中点为，连接、，则在中，，，∴.
∴是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内）.
以为原点建系如图所示，则，，，设的坐标为，则
,.
.
设点的坐标为，则 .
故选：B
9．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，且，抛物线的准线与轴交于，于点，且四边形的面积为，过的直线交抛物线于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】先根据抛物线的性质和四边形AA1CF的面积为，求出p的值，再设M，N的坐标，运用向量的坐标运算，设直线l：x=my﹣1，并代入到y2=4x中，运用韦达定理，可得m和λ，运用对勾函数的单调性，可得4m2的范围，求出MN的垂直平分线方程，令y=0，结合不等式的性质，即可得到所求范围．
【详解】
过B作BB1⊥l于B1，设直线AB与l交点为D，
由抛物线的性质可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，
设BD=m，BF=n，则===，
即=，
∴m=2n．
又=，∴==，∴n=，
∴DF=m+n=2p，∴∠ADA1=30°，
又AA1=3n=2p，CF=p，∴A1D=2p，CD=p，
∴A1C=p，
∴直角梯形AA1CF的面积为（2p+p）•p=6，
解得p=2，
∴y2=4x，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵=λ，
∴y1=λy2，
设直线l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=4，
∴x1+x2=m（y1+y2）﹣2=4m2﹣2，
由①②可得4m2==λ++2，
由1＜λ≤2可得y=λ++2递增，即有4m2∈（4，]，即m2∈（1，]，
又MN中点（2m2﹣1，2m），
∴直线MN的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），
令y=0，可得x0=2m2+1∈（3，]，故选：A．
10．（2020·山东省实验中学西校区高考模拟（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题易知四边形PAOB为平行四边形,且不妨设双曲线C的渐近线,设点P(m,n),则直线PB的方程为y-n=b(x-m),且点P到OB的距离为,由
,解得,又
,又, ,
双曲线C的方程为,
即,又,解得或,
所以点P的横坐标m的取值范围为,故选A.
二、填空题
11．（上海市徐汇区2019届高三上学期期末）已知圆M：，圆N：直线分别过圆心M、N，且与圆M相交于A，B两点，与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆上任意一点，则的最小值为______．
【答案】8
【解析】
由题意可得，，，，
，
，
为椭圆上的点，
由题意可知，，
，
故答案为：8．
12．（2020·广东高考模拟（理））设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则周长的取值范围是
【答案】
【解析】分析：先根据椭圆对称性，转化研究弦长AB取值范围，再根据弦长公式以及分数函数性质求取值范围，最后可得结果.
详解：根据椭圆对称性得周长等于,(为右焦点),由得，
即周长的取值范围是.
13．（2020北京市大兴区高三一模）已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
设点P(x,y),（x＞1），所以，
因为，当y＞0时，y=,
所以，
由于函数在[1，+∞）上都是增函数，
所以函数在[1，+∞）上是增函数，
所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.
当y≤0时，y=,
所以，
由于函数在[1，+∞）上都是增函数，
所以函数在[1，+∞）上是减函数，
所以当y≤0时函数k(x)＞0.
综上所述，的取值范围是.
14.已知直线与椭圆相交于两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为___________．
【答案】
15.（2020北京市顺义区高三期末）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点交抛物线的准线于点C，满足：若，则______；若，则的取值范围为______．
【答案】3
【解析】
解：由题意，抛物线的准线为，，所以另一种情况同理．
所以AF的斜率为，方程为，
代入抛物线方程可得，所以可得，
因为：，
所以，
设直线AB的方程为，代入到，可得，
，
由，可得，
，，
，
，
，
，
，
解得
故答案为：3，．
16．（2020·河南高考模拟）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】由题得直线AB的方程为即y=x-1,设A，
联立
所以，
|AB|=
所以AB为直径的圆E的圆心为（3,2），半径为4.
所以该圆E的方程为.
所以点D恒在圆E外，圆E上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E上存在点P,Q，
使得DP⊥DQ，显然当DP,DQ与圆E相切时，∠PDQ最大，
此时应满足∠PDQ，所以，
整理得.解之得.