专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品

专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题
一．方法综述
平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．
二．解题策略
类型一 与向量的模有关的最值问题
【例1】（2020·天津高考模拟）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】
，得到，所以，
结合的面积为，得到,得到，
所以，
故选D．
【点睛】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数λ1、λ2，使OC=λ1OC+λ2OC，且λ1+λ2=1.
【举一反三】
1．（2020·天津南开中学高考模拟）如图，在等腰三角形中，已知，分别是上的点，且，（其中，），且，若线段的中点分别为，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由向量的数量积公式求出，连接，利用向量加法的运算法则得出，再根据平面向量减法运算法则以及平面向量的数量积的运算法则可得,结合二次函数的性质可得的最小值，进而可得结果.
【详解】
连接，等腰三角形中,，
,
是的中线,
同理,可得,
由此可得，
,可得,
代入上式得，
, 当时, 的最小值为,
此时的最小值为,故答案为.
2.（2020·浙江高考模拟）已知平面向量不共线，且，，记与 的夹角是，则最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】把表示为的函数，利用函数的性质求出当最大时的值，进而可求出的值.
【详解】设，则，，
所以.易得，
，
当时，取得最小值，取得最大值，
此时.故选C.
3.已知向量满足 与的夹角为,,则的最大值为 .
【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.
【解析】设；
以OA所在直线为x,O为坐标原点建立平面直角坐标系,
∵ 与的夹角为,
则A（4,0）,B（2,2）,设C（x,y）
∵,∴x2+y2-6x-2y+9=0,
即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,
表示点A,C的距离即圆上的点与点A（4,0）的距离；
∵圆心到B的距离为,
∴的最大值为．
【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．
类型二 与向量夹角有关的范围问题
【例2】已知向量与的夹角为,时取得最小值,当时,夹角的取值范围为________________.
【分析】将表示为变量的二次函数,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件,得关于夹角的不等式,解不等式得解．
【解析】由题意知,,,所以
,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以.
【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．
【举一反三】
1.已知非零向量满足 ,若函数 在R 上存在极值,则和夹角的取值范围为
【答案】
【解析】,设和夹角为,因为有极值,所以,即,即,所以．
2.非零向量满足=，，则的夹角的最小值是 ．
【答案】
【解析】由题意得，，整理得，即
，，夹角的最小值为.
3.已知向量OM与ON的夹角为θ，|OM|=1，|ON|=2，OP=(1−t)OM，OQ=tON，(0≤t≤1).|PQ|在t=t0时取得最小值.若0