专题4.5 立体几何中探索性问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品
专题4．5 立体几何中探索性问题
一．方法综述
立体几何在高考中突出对考生空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力等核心素养的考查。考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法。
对于探索性问题（是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题）是近几年高考命题的热点，问题一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比探索型。现进行归纳整理，以便对此类问题有一个明确的思考方向和解决办法。
二．解题策略
类型一 空间平行关系的探索
【例1】（2020·眉山外国语学校高三期中（理））在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是__________
①存在点，使得平面平面；
②存在点，使得平面平面；
③的面积可能等于；
④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得
【举一反三】
1．（2020·黑龙江大庆实验中学高三（文））如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：
①四棱锥的体积恒为定值；
②存在点，使得平面；
③对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；
④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值.
其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号）
2.（2020北京西城区高三期末）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：平面ACF⊥平面BDEF；
（Ⅱ）若过直线BD的一个平面与线段AE和AF分别相交于点G和H（点G与点A，E均不重合），
求证：EF∥GH；
（Ⅲ）判断线段CE上是否存在一点M，使得平面BDM∥平面AEF？若存在，求的值；若不存在，
请说明理由．
类型二 空间垂直关系的探索
【例2】（2020·上海市控江中学高三（理））已知矩形, , ,将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折的过程中( )
A．存在某个位置,使得直线和直线垂直
B．存在某个位置,使得直线和直线垂直
C．存在某个位置,使得直线和直线垂直
D．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直
【举一反三】
1．（2020·合肥市第六中学高三（理））已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ）．
A．当时，存在某个位置，使得
B．当时，存在某个位置，使得
C．当时，存在某个位置，使得
D．时，都不存在某个位置，使得
2．（2020·安徽合肥一中高三期末）在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是__________．
①存在点，使得平面平面；
②存在点，使得平面平面；
③若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得；
④的面积可能等于.
3．（2020·四川高三月考）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面.
（1）当为何值时，平面？证明你的结论；
（2）若在边上至少存在一点，使，求的取值范围.
类型三 空间角与距离的探索
【例3】（2020·重庆市松树桥中学校高三月考）如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题：
异面直线与间的距离为定值；
三棱锥的体积为定值；
异面直线与直线所成的角为定值；
二面角的大小为定值．
其中真命题有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【举一反三】
1．（2020·浙江学军中学高三期末）正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是( )
A．B．C．D．
2．（2020·全国高三月考（理））如图，已知等边三角形中，，为的中点，动点在线段上（不含端点），记，现将沿折起至，记异面直线与所成的角为，则下列一定成立的是（）

A．B．C．D．
3.（2020·北京高三期末）在边长为的等边三角形中，点分别是边上的点，满足且，将沿直线折到的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）
A．在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面
B．存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面
C．若，当二面角为直二面角时，
D．在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为
三．强化训练
1．（2020·四川广安中学高三月考）如图，在正方体中，是棱上的动点．下列说法正确的是（ ）
A．对任意动点在平面内不存在与平面平行的直线
B．对任意动点在平面内存在与平面垂直的直线
C．当点从运动到的过程中，二面角的大小不变
D．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大
2．（2020·云南师大附中高三月考（理））如图，已知是圆的直径，，在圆上且分别在的两侧，其中，.现将其沿折起使得二面角为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）
A．，，，在同一个球面上 B．当时，三棱锥的体积为
C．与是异面直线且不垂直 D．存在一个位置，使得平面平面
3．（2020·浙江高三月考）如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C、D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，在翻折过程中，下列三个说法中正确的个数是（ ）
①存在点E和某一翻折位置使得AE∥平面SBC；
②存在点E和某一翻折位置使得SA⊥平面SBC；
③二面角S﹣AB﹣E的平面角总是小于2∠SAE．
A．0B．1C．2D．3
4．（2019·湖南高三期末（理））如图，正方体的棱长为4，动点E，F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若，，，（大于零），则四面体PEFQ的体积
A．与都有关B．与m有关，与无关
C．与p有关，与无关D．与π有关，与无关
5．（2020·湖南省衡阳县第四中学高三期中）如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是
A．恒有⊥
B．异面直线与不可能垂直
C．恒有平面⊥平面
D．动点在平面上的射影在线段上
6．（2020·云南省玉溪第一中学高三月考（理））如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，则在折起过程中，下列说法错误的是（ ）
A．始终有平面
B．不存在某个位置，使得平面
C．三棱锥体积的最大值是
D．一定存在某个位置，使得异面直线与所成角为
7．（2020·深圳市高级中学高考模拟（理））设是正四面体底面的中心，过的动平面与交于与的延长线分别交于则( )
A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．既有最大值又有最小值，且两者不相等
D．是一个与平面无关的常数
8．（2020·浙江高考模拟）已知正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形的中心），直线平面，分别是棱上一点（除端点），将正三棱锥绕直线旋转一周，则能与平面所成的角取遍区间一切值的直线可能是（ ）
A．B．C．D．中的任意一条
9．（2020·河南高考模拟（理））设是正方体的对角面（含边界）内的点，若点到平面、平面、平面的距离相等，则符合条件的点（ ）
A．仅有一个 B．有有限多个 C．有无限多个 D．不存在
10．（2020·广东佛山一中高三（理））如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转为．若为线段的中点，则在翻转过程中，有下列命题：
①是定值；
②点在圆上运动；
③一定存在某个位置，使；
④若平面，则平面．
其中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
11．（2020·永安市第三中学高三月考（理））如图，在正方体中,平面垂直于对角线AC,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为,周长为,则（ ）
A．为定值,不为定值B．不为定值,为定值
C．与均为定值D．与均不为定值
12．（2020·上海市奉贤中学高三）设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三个结论：
①存在使得是直角三角形；
②存在使得是等边三角形；
③三条直线上存在四点使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是( )
A．0B．1C．2D．3
13.（2019武汉武昌调研）在矩形ABCD中，AB