专题8.3 临界知识问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品
专题8.3 临界知识问题
【方法综述】
对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查.
另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等.
【解题策略】
类型一 定义新知型临界问题
【例1】（2020•温州模拟）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）
∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“理想集合”．给出下列集合：①M＝{（x，y）|y＝}；②M
＝{（x，y）|y＝}：③M＝{（x，y）|y＝ex﹣2}：④M＝{（x，y）|y＝}．其中所有“理想集合”的序
号是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【解析】分析：对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．
对于②，说明满足理想集合的定义，即可判断正误；
对于③，画出函数图象，说明满足理想集合的定义，即可判断正误；
对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足理想集合定义．
解：①y＝是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，
在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；
对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，
所以不满足理想集合的定义，不是理想集合．
②在函数y＝csx上存在点（0，1）、（，0），满足x1x2+y1y2＝0成立，
满足理想集合的定义，满足条件；
③M＝{（x，y）|y＝ex﹣2}，如图在曲线上两点构成的直角始终存在，
例如取M（0，﹣1），N（ln2，0），
满足理想集合的定义，所以正确．
④M＝{（x，y）|y＝lgx}，如图取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是理想集合．故选：B．
【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
【例2】．（2020潍坊模拟）在平面直角坐标系中，对于点A（a，b），若函数y＝f（x）满足：∀x∈[a﹣1，a+1]，都有y∈[b﹣1，b+1]，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点B（m，n）在函数的图象上，若函数是点B的“界函数”，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】分析：根据点B（m，n）在函数的图象上，从而得出∴∀x∈[m﹣1，m+1]，都有y∈，从而讨论m：m+1≤0时，得出函数在[m﹣1，m+1]上的值域为，从而可得出m的范围；同理，讨论﹣1＜m＜1和m≥1时，求出函数的值域，让该值域是集合的子集，从而可得出m的范围．
解：∵B（m，n）在函数的图象上，∴，
∴∀x∈[m﹣1，m+1]，都有y∈，
①m+1≤0，即m≤﹣1时，在[m﹣1，m+1]上单调递增，∴，
∴，
∴，解得，又m≤﹣1，∴这种情况不合题意；
②，即﹣1＜m＜1时，由x∈[m﹣1，m+1]可得或，
∴且，
∴，解得，
③m﹣1≥0，即m≥1时，在[m﹣1，m+1]上单调递减，∴，
∴，
∴，解得，又m≥1，∴这种情况不合题意，
综上得，m的取值范围是．故答案为：．
【点评】本题考查了对“界函数”定义的理解，二次函数的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，二次函数值域的求法，子集的定义．
【举一反三】
1．（2020•汉中模拟）若函数f（x）与g（x）满足：存在实数t，使得f（t）＝g'（t），则称函数g（x）为f
（x）的“友导”函数．已知函数为函数f（x）＝x2lnx+x的“友导”函数，则k的取值
范围是（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2]C．（1，+∞）D．[2，+∞）
【答案】D
【解析】分析：求出函数的导数，问题转化为方程k＝++1有解，记p（x）＝++1，根据函数的单调性求出k的范围即可．
解：g′（x）＝kx﹣1，
由题意g（x）为函数f（x）的“友导”函数，
即方程x2lnx+x＝kx﹣1有解，
故k＝++1，
记p（x）＝++1，
则p′（x）＝1+﹣＝+lnx，
当x＞1时，＞0，lnx＞0，
故p′（x）＞0，故p（x）递增，
当0＜x＜1时，＜0，lnx＜0，
故p′（x）＜0，故p（x）递减，
故p（x）≥p（1）＝2，
故由方程k＝++1有解，得：k≥2，故选：D．
2.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于( )
A． 1 B． 3 C． 5 D． 7
【答案】B
3.集合M={(x,y)|y=f(x)}，若对于任意x1,y1∈M，存在x2,y2∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①M={(x,y)|y=sinx+1} ②M={(x,y)|y=1x}
③M={(x,y)|y=ex−2} ④M={(x,y)|y=lg2x}
其中是“垂直对点集”的序号是________.
【答案】①③
【解析】对于①，x1x2+sinx1+1sinx2+1=0，即x1sinx1+1=−sinx2+1x2，fx1=x1sinx1+1与fx2=−sinx2+1x2的值域均为−∞,+∞，故①正确；
对于②,若满足x1x2+y1y2=0，则x1x2+1x1x2=0,x1x22+1=0，在实数范围内无解，故②不正确；
对于③
M={x,y|y=ex−2}，画出y=ex−2的图象，如图，直角AOB始终存在，即对于任意x1,y1∈M，存在x2,y2∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，故 ③正确；
对于④，M={x,y|y=lg2x}，取点1,0，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”, 故④不正确，故答案为①③.
类型二 高等数学背景型临界问题
【例3】（2020•临沂模拟）已知函数f（x）的图象在点（x0，y0）处的切线为l：y＝g（x），若函数f（x）满
足∀x∈I（其中I为函数f（x）的定义域，当x≠x0时，[f（x）﹣g（x）]（x﹣x0）＞0恒成立，则称x0为函
数f（x）的“转折点”，已知函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2x在区间[0，1]上存在一个“转折点”，则a的取值范
围是（ ）
A．[0，e]B．[1，e]C．[1，+∞）D．（﹣∞，e]
【答案】B
【解析】分析：条件，可判断f（x）是一个不凸不凹的函数，满足f''（x）＝0；再结合f（x）的定义域，即可求得a的取值范围．
解：∵[f（x）﹣g（x）]（x﹣x0）＞0，x∈[0，1]；
∴当x＞x0时，f（x）＞g（x）；
当x＜x0时，f（x）＜g（x）；
∴f（x）是一个不凸不凹的函数，满足f''（x）＝0；
∵；
∴f''（x）＝ex﹣a＝0，解得x＝lna；
∵f（x）的定义域为区间[0，1]；
∴0≤lna≤1，解得a∈[1，e]．故选：B．
【点评】本题考查了利用导数研究曲线与其切线的关系，其中涉及到了二次导函数的意义，不易理解。
【例4】设S是实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
【答案】①②
【举一反三】
1．（2020 •青山区校级月考）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），
满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y
＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+是[﹣1，1]上的平均值函数，
则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：函数f（x）＝3+tx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+tx＝在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出t的取值范围．
解：∵函数f（x）＝x3+tx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+tx＝在（﹣1，1）内有实数根．
由x3+tx＝⇒x3+tx+t﹣1＝0，解得x2+t+1+x＝0或x＝1
又1∉（﹣1，1）
∴x2+t+1+x＝0的解为：必为均值点，即﹣1＜＜1⇒﹣3＜t≤﹣，
﹣1＜＜1⇒﹣＜t≤﹣，
∴所求实数t的取值范围是﹣3＜t，故选：A．
2．（2012•湛江一模）已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断曲线，定义：f1（x）＝min{f（t）|a≤t≤x}
（x∈[a，b]），f2（x）＝max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的
最小值，max{f（t）|x∈D}表示函数f（t）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）﹣f1（x）≤k
（x﹣a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）已知函数f（x）＝2sinx（0），试写出f1（x），f2（x）的表达式，并判断f（x）是否为[0，]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知b＞0，函数g（x）＝﹣x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．
【答案】见解析
【解析】分析：（1）由题意可得，f1（x）＝0，f2（x）＝2sinx，x∈[0，]，于是f2（x）﹣f1（x）＝2sinx．若f（x）是[0，]上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤在[0，]上恒成立，且∃x1∈[0，]使得2sinx＞（k﹣1）x成立，构造函数φ（x）＝﹣x，x∈[0，]，可得2sinx≤2x在[0，]恒成立，由此可得结论；
（2）先对函数g（x）进行求导判断函数的单调性，进而写出g1（x）、g2（x）的解析式，分类讨论，利用g（x）＝﹣x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，即可得到答案．
解：（1）由题意可得，f1（x）＝0，f2（x）＝2sinx，x∈[0，]
于是f2（x）﹣f1（x）＝2sinx．
若f（x）是[0，]上的“k阶收缩函数”，则2sinx≤在[0，]上恒成立，
且∃x1∈[0，]使得2sinx＞（k﹣1）x成立．
令φ（x）＝﹣x，x∈[0，]，则φ′（x）＝﹣1＜0，
所以φ（x）＝﹣x在[0，]单调递减，
∴φ（x）≤φ（0），x∈[0，]，即≤x，于是2sinx≤2x在[0，]恒成立；
又∃x1＝，2sinx＞x成立．
故存在最小的正整数k＝2，使f（x）为[0，]上的“2阶收缩函数”．
（2）g'（x）＝﹣3x2+6x＝﹣3x（x﹣2），令g'（x）＝0得x＝0或x＝2．
令g（x）＝0，解得x＝0或3．
函数g（x），g′（x）的变化情况如下：
（ⅰ）b≤2时，g（x）在[0，b]上单调递增，
因此，g2（x）＝g（x）＝﹣x3+3x2，g1（x）＝g（0）＝0．
因为g（x）＝﹣x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，
所以，①g2（x）﹣g1（x）≤2（x﹣0）对x∈[0，b]恒成立；
②存在x∈[0，b]，使得g2（x）﹣g1（x）＞（x﹣0）成立．
①即：﹣x3+3x2≤2x对x∈[0，b]恒成立，由﹣x3+3x2≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使﹣x3+3x2≤2x对x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得x（x2﹣3x+1）＜0成立．
由x（x2﹣3x+1）＜0得：x＜0或 ＜x＜，所以，需且只需b＞．
综合①②可得：＜b≤1
（ⅱ）当b＞2时，显然有 ∈[0，b]，由于g（x）在[0，2]上单调递增，
根据定义可得：g2（ ）＝，g1（ ）＝0，可得g2（ ）﹣g1（ ）＝＞2×＝3，
此时，g2（x）﹣g1（x）≤2（x﹣0）不成立．
综合（ⅰ），（ⅱ）可得：＜b≤1．
3（2020衡阳市模拟）若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数y=2x−1，y=x21+x2，y=x22+csx−1中，与函数f(x)=x4不是亲密函数的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】易知幂函数y=x4定义域为R，偶函数，在(−∞,0)上，f(x)↘，在(0,+∞)上，f(x)↗，y≥0.四个选项中函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与y=x4保持一致，因为y=x21+x2=1−11+x2显然在(0,+∞)上递增，又x>0，y'=x−sinx>0，y=x22+csx−1递增，当x→+∞，除y=x21+x2→1（显然x21+x20(其中e为自然对数的底数，e≈2.718)恰好有两个“友好点对”则实数m的取值范围为( )
A．m≤(e−1)2B．m>(e−1)2C．m0，
设hx=−x2+2ex−m+1，x>0，
条件等价为当x>0时，hx与fx的图象恰好有两个不同的交点，
则hx=−x2+2ex−m+1=−(x−e)2+e2+1−m，x>0，
当x=e时，函数hx取得最大值he=e2+1−m，
当x>0时，fx=x+e2x，f'x=1−e2x2=x2−e2x2．
由f'x>0得x>e，此时fx为增函数，
由f'x2e，
即e2−2e+1>m，
即m0
由基本不等式可得fx=1+x+1x≥3
所以最小值为3
x
（﹣∞，0）
0
（0，2）
2
（2，+∞）
g′（x）
﹣
0
+
0
﹣
g（x）
0
4