专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品
专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题
一．方法综述
数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.
二．解题策略
类型一 数列与不等式
1.1 数列与基本不等式
【例1】（2020·广东高三）已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）
A．9B．12C．16D．18
【答案】D
【解析】
【分析】将已知条件转化为的形式，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】由得，所以.所以.当且仅当时取得最小值.故选：D
【指点迷津】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质，等比数列的通项公式是an=a1qn−1，等比中项an−kan+k=an2，基本不等式有a+b=2ab(a>0,b>0)，考查公式的使用，考查化归与转化思想.
【举一反三】
1.（2020山东省济宁市模拟）已知正项等比数列an满足：a2a8=16a5,a3+a5=20，若存在两项am,an使得aman=32，则1m+4n的最小值为
【答案】34
【解析】因为数列{an}是正项等比数列，a2a8=16a5，a3+a5=20，
所以a2a8=a52=16a5，a5=16，a3=4，
所以a5=a3q2，q=2，a5=a1q4，a1=1，an=a1qn−1=2n−1，
因为aman=32，所以2m−12n−1=210，m+n=12，
1m+4n=112(m+n)(1m+4n)=112(5+nm+4mn)≥112(5+2nm⋅4mn)=34(m>0,n>0)，
当且仅当n=2m时“=”成立，
所以1m+4n的最小值为34.
2．（2020·江苏扬州中学）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为
【答案】4
【解析】
【分析】a1，a3，a13成等比数列，a1=1，可得：a32=a1a13，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．
【详解】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，∴a32=a1a13，
∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．Sn=n+×2=n2．
∴===n+1+-2≥2-2=4，
当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4
1.2 数列中的恒成立问题
【例2】（2020·四川双流中学）已知定义域为R的函数满足fx=4fx+2，当x∈0,2时，fx=−x2+x+1,x∈0,112x−32,x∈1,2，设fx在2n−2,2n上的最大值为ann∈N∗，且{an}的前n项和为Sn，若Sn(n−1)(12n−5)，
∴1