2023-2024学年福建省福州十九中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州十九中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列式子中，不是的函数的是( )
A. B. C. D.
2.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 为任意实数
3.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角战互相平分C. 对角线互相垂直D. 对角线平分对角
4.八年级某班正在筹备班班有歌声比赛，班长对全班同学进行了问卷调查他将三首备选歌曲编号，让每位同学选取其中一首下列调查数据中你认为最值得关注的是( )
A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 加权平均数
5.一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
6.如图，在菱形中，对角线，相交于点若，，则菱形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了八年级某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间单位：进行统计，数据如图表，两组数据的平均数分别为、，方差分别为、，则( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8.已知关于的一次函数，下列说法不正确的是( )
A. 函数图象与轴交于点
B. 函数图象不经过第三象限或第四象限
C. 函数图象向下平移个单位长度得到正比例函数的图象
D. 若点，为函数图象上的两个点，则当时，
9.如表是关于某个一次函数的自变量及其对应的函数值的信息，则的值为( )
A. B. C. D.
10.在一节综合与实践课上，老师和同学们正在进行剪纸活动老师用一张边长为的正方形纸片按如下步骤确定线段的位置，最后剪下矩形：
作的垂直平分线分别交，于点，；
连接，作的角平分线，交于点；
过点作于点；
小刘同学通过推理计算出的值为，于是他明白了老师的用意．( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若是关于的方程的一个解，则代数式的值为______．
12.在对某样本进行方差计算时，计算的公式是：，该样本的样本容量是______．
13.如图，在▱中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为______．
14.在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为______．
15.中，，，在内，且，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的面积为______．
16.如图，直线与轴、轴分别交于点、，且．为线段上一点，轴于点，的平分线交轴于点线段上有一动点，在轴上有一动点，连接、、，则周长的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程：
；
．
18.本小题分
如图，四边形是平行四边形，点，分别为线段，的中点若，求的度数．
19.本小题分
一次函数的图象经过点．
在平面直角坐标系内画出该函数的图象，并求出的值；
根据函数图象，直接写出当时，的取值范围．
20.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：不论取何值，该方程都有两个实数根．
若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．
21.本小题分
如图，平行四边形的对角线，相交于点，．
求证：四边形是矩形；
过点作，交点，若，，求的长．
22.本小题分
福建某企业生产甲、乙两款武夷山大红袍，为了解两款茶叶的质量，分别请消费者和专业机构进行测评随机抽取名消费者对两款大红袍评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
A.甲款大红袍分数百分制的频数分布表如下表，
其中甲款大红袍分数在这一组的是：，，，，，，，，，
B.甲、乙两款大红袍分数的平均数、众数、中位数如表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
补全甲款大红袍分数的频数分布直方图；
表格中的值为______，的值为______；
专业机构对两款大红袍进行综合评分如下：甲款大红袍分，乙款大红袍分若将这名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照：的比例确定最终成绩，那么哪款大红袍的最终成绩更高？请通过计算说明理由．
23.本小题分
某蜂巢物流决定在新社区安装物流箱，现有型和型两种物流箱可供选择，若安装个型物流箱和个型物流箱共万元，且型物流箱单价比型物流箱单价高万元．
求型物流箱和型物流箱的单价；
该社区需安装物流箱共个，设安装型物流箱个，安装全部物流箱总费用为元，求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
为了更多地推广型物流箱，蜂巢物流决定将每个型物流箱降价元，型物流箱价格不变，在的条件下，若总费用不低于万元，求的取值范围．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点．
求直线的解析式和线段、的长度；
在线段上有一动点点不与点、重合，过点作轴于点，直线于点，以、为邻边作▱．
求▱的周长；
当▱为菱形时，求点的坐标．
25.本小题分
如图，四边形是平行四边形，点是对角线上一点，点是▱外一点，连接、和，且，，

【初步探究】求证：四边形是菱形；
【拓展延伸】如图，连接交于点，延长交于点，求证：；
【实践应用】我校生态社在校内的蔬菜种植活动硕果累累，备受关注如图所示的一块正方形种植区被、、分割种植着不同植物，经测量得，现学校决定延长交于点，以为边长，在该种植区的左边再开辟一块小正方形新区域种植更多蔬菜，求新区域的面积．
答案和解析
1.【答案】
解：对于的每一个取值，都有唯一确定的值，
、；、；、，当取值时，有唯一的值对应；
故选：．
根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
2.【答案】
解：关于的方程是一元二次方程，
．
故选：．
根据一元二次方程的定义得出即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能能熟记当时方程是一元二次方程是解此题的关键．
3.【答案】
解：对于选项A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有；
对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分；
对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有；
对于选项D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有．
综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：．
根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．
此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．
4.【答案】
解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故最值得关注的是众数．
故选：．
根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、加权平均数的意义．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
5.【答案】
解：，
故原方程有两个不相等的实数根．
故选：．
利用根的判别式进行求解即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6.【答案】
解：四边形是菱形，对角线，交于点，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质得，，利用勾股定理求出，则求出，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质，根据转化思想求图形的面积等知识与方法，证明菱形的面积等于它的两条对角线的乘积的一半是解题的关键．
7.【答案】
解：，
，
所以，，
从表格中可以看出，甲组的数据分布于，乙组的数据分布于，
根据方差的概念和意义可知，甲组的数据波动比乙组的数据波动更小，离散程度更小，稳定性也更大，
所以，
故答案为：．
先计算甲乙两组的平均数判断和的大小，再根据方差的概念和意义，分析和的大小，即可解答．
本题考查了方差和平均数，熟练掌握方差和平均数的相关知识，并结合题意加以分析是解题的关键．
8.【答案】
解：时，，
函数图象与轴交于点，
故选项A正确，不合题意；
对于一次函数，当时，函数图象不经过第三象限，当时，图象不经过第四象限，
故选项B正确，不合题意；
函数图象向下平移个单位长度得到正比例函数的图象，
故选项C正确，不合题意；
当时，随的增大而减小，
若点，为函数图象上的两个点，则，
故选项D不正确，符合题意．
故选：．
利用图象上点的坐标特征即可判断；利用一次函数的性质即可判断、；利用平移的规律即可判断．
此题主要考查了一次函数的图象及性质，一次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解对于一次函数，当且时，函数的图象经过第一、二、三象限；当且时，函数的图象经过第一、三、四象限；当且时，函数的图象经过第二、三、四象限；当且时，函数的图象经过第一、二、四象限；反之亦成立是解答此题的关键．
9.【答案】
解：设关于的函数解析式为，
根据题意得：，
得：，
．
故选：．
设关于的函数解析式为，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于，的方程组，利用，可得出，代入，即可求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
10.【答案】
解：过点作于点，连接，
四边形为正方形，
，，
为的平分线，
，
，
≌，
．
直线为线段的垂直平分线，
，
，
．
设，
则．
在和中，由勾股定理得，，
即，
解得，
的值为．
故选：．
过点作于点，连接，根据正方形的性质、角平分线的性质可得，≌，则结合线段垂直平分线的性质可得，进而可得，设，则在和中，由勾股定理得，，代入求出的值，即可得出答案．
本题考查正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
11.【答案】
解：是关于的方程的一个解，
，
，
．
故答案为：．
根据是关于的方程的一个解，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值代入，即可解答本题．
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义．
12.【答案】
解：公式，
它的样本容量是，
故答案为：．
根据方差的计算公式求出样本容量．
本题考查了方差公式中各字母的意义，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差．
13.【答案】
解：四边形是平行四边形，
，，，
平分交于，平分交于，
，，
，，
．
，
．
故答案为：．
先证明，，再根据求出，即可得出答案．
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
14.【答案】
解：将点代入，
得，
，
原方程组的解为．
故答案为：．
先将点代入，求出，即可确定方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
15.【答案】
解：连接并延长交于点，
，，
是线段的垂直平分线，
，，
在中，，，
，
在中，，
，
、分别是、的中点，
是的中位线，
，，
同理，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，，，
四边形为矩形，
四边形的面积，
故答案为：．
连接并延长交于点，根据线段垂直平分线的定义得到，，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，得到的长，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形为矩形，根据矩形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是中点四边形，掌握矩形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】
解：如图，作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交于点，交轴于，
则周长的最小值就是，
平分，
点在直线上，
为线段上一点，
，解得，
直线解析式为：，
是等边三角形，
的横坐标为，
当时，，
，，
．
作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交于点，交轴于，则周长的最小值就是，据此根据已知数据计算即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握轴对称最短路径的求法是解答本题的关键．
17.【答案】解：由原方程，得
，
开方，得
，；
由原方程，得
，
配方，得
，即，
开方，得
，
解得，．
【解析】先移项，然后利用直接开平方法解方程；
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解．
本题考查了解一元二次方程--配方法、直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；同号且；；同号且法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为，再开平方取正负，分开求得方程解”．
18.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，
点，分别为线段，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
【解析】由平行四边形的性质推出，，由线段中点定义推出，即可证明四边形是平行四边形，得到．
本题考查平行四边形的判定和性质，关键是证明四边形是平行四边形．
19.【答案】解：一次函数的图象经过点，
，解得，
，
图象过点，，
函数图象如下：

当时，，
根据函数图象，当时，的取值范围为：．
【解析】函数过点，画出函数图象即可；
根据函数图象直接写出时，的取值范围即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质是关键．
20.【答案】证明：，
无论取何值，，
不论取何值，该方程都有两个相等的实数根；
解：设方程的另一个根为，
则，
解方程组得，
的值为，方程的另一根为．
方法二：
解：把代入方程可得，
解得，
则方程为，
解得，，
即方程的另一根为．
【解析】根据根的判别式，即可得出，由此可证出不论取何值，方程必有两个的实数根；
设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，解方程组即可．
本题考查了根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系为：，也考查了根的判别式．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是平行四边形，
，
连接，
，，
，
，
，
，
解得，
故AE的长为．
【解析】根据平行四边形的性质得到，，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是矩形；
根据平行四边形的性质得到，连接，根据勾股定理得到结论．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
22.【答案】
解：甲款分数在的频数为，
分数在这一组的频数为，
补全频数分布直方图：
根据所给数据可得众数为，中位数为从小到大排列的第个数据为，
故答案为：，；
以这名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照：的比例确定最终成绩为：
甲的成绩：分，
乙的成绩：分，
，
甲款大红袍的最终成绩更高．
求出甲款大红袍分数在这一组的频数，即可补全频数分布直方图；
分别根据众数和中位数定义即可求出答案；
根据加权平均数公式分别求得两款红茶的得分，即可得出结论．
本题考查频数率分布直方图，频数率分布表，中位数，众数，同时还要掌握加权平均数的计算方法，解题的关键是有较强的识图能力和计算能力．
23.【答案】解：设型物流箱的单价为元，则型物流箱的单价为．
根据题意，得，
解得，
万元，
型物流箱的单价为万元，型物流箱的单价为万元．
根据题意，安装型物流箱个，
，
关于的函数解析式为．
根据题意，得．
当时，，随的减小而减小，
，
当时，取最小值，，
由题意，得，解得，
；
当时，，
，
不符合题意，应舍去；
当时，，随的增大而减小，
，
当时，取最小值，，
由题意，得，解得，
此时不存在．
综上，的取值范围是．
【解析】设型物流箱的单价为元，则型物流箱的单价为，根据题意列方程并求解即可；
根据“安装总费用安装型物流箱的费用安装型物流箱的费用”作答即可；
根据“安装总费用安装型物流箱的费用安装型物流箱的费用”写出关于的函数解析式，分情况讨论的系数，根据一次函数的增减性和的取值范围，求出对应的最小值，令的最小值大于或等于，求出对应的取值范围即可．
本题考查一次函数、一元一次不等式的应用，掌握一次函数的增减性和一元一次不等式的解法是本题的关键．
24.【答案】解：将点代入直线：得，
，
直线：，
，
直线：，令，则，解得，
，
，；
如图，连接，

，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
▱的周长为；
如图，连接，

四边形为菱形，
，
轴于点，直线于点，
平分，
，
，
轴，轴于点，
，
，
，，
设，
，
，
解得，
，
点的坐标为
【解析】将点代入直线：得，可得，直线：，令，可得，利用两点的距离公式即可求得线段、的长度；
利用面积法可得，即可求解；
根据菱形的性质可得，则平分，根据等腰三角形的性质得，则，设，由求出，则，根据菱形的性质即可求解．
本题为一次函数综合题，考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确的理解题意是解题的关键．
25.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
．
，
．
，
．
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
证明：在上取一点，连接，使，如图，

由知：≌，
，，
．
，
．
四边形是菱形，
，
，．
在和中，
，
≌，
；
解：过点作于点，如图，

，，
，
，
．
四边形为正方形，
，
．
，
∽，
，
．
，，．
∽，，
，
．
，
∽．
，
，
，
，
新区域的面积．
【解析】利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质和菱形的判定定理解答即可；
在上取一点，连接，使，利用的结论，菱形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
过点作于点，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理求得线段，利用相似三角形的判定与性质求得线段，，利用等腰直角三角形的性质求得，利用相似三角形的判定与性质求得，则，最后利用正方形的面积公式解答即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．甲组
乙组
分数
频数
品种
平均数
众数
中位数
甲
乙