2022-2023学年福建省福州十九中九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省福州十九中九年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州十九中九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  对于一个实数，如果它的倒数不存在，那么等于(    )A.  B.  C.  D. 2.  下面各图形不是轴对称图形的是(    )A. 圆 B. 长方形 C. 平行四边形 D. 等腰梯形3.  春季天气多变，易滋生细菌，是病毒性流感的高发期某市卫生部门统计，截止月日，全市有人感染了春季流行病，用科学记数法表示是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图是一个正五棱柱，它的俯视图是(    )A.
B.
C.
D. 5.  若为正整数，则的意义为(    )A. 个相加 B. 个相加 C. 个相乘 D. 个相乘6.  某口罩生产工厂个生产车间日生产量万只如图所示现再组建一个生产车间，若新车间的日生产量为万只，则下列关于现在个生产车间的日生产量的平均数和方差的说法中，正确的是(    )
A. 平均数不变，方差变大 B. 平均数不变，方差变小
C. 平均数不变，方差不变 D. 平均数变小，方差不变7.  如图，、、、为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为(    )A.
B.
C.
D. 8.  已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，小明在点处仰头看到一架直升机正从点处沿水平方向飞行，此刻望向楼顶处的仰角为，于是他立即在原地用时秒拿出手机开始录像已知录制开始时直升机已驶至小明正上方点处，若直升机继续在同一水平高度上匀速飞行，那么它被大楼遮住之前，能录像的时长为(    )
A. 秒 B. 秒
C. 秒 D. 条件不足，无法计算10.  如图，小红在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出同心圆与横线的一些交点她发现这些点的位置有一定的规律，于是以圆心为原点，如图建立平面直角坐标系，相邻横线的间距为一个单位长度则所描的点都在二次函数的图象上．(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.  如果水位升高米时水位变化记作，那么水位下降米时水位变化记作______ ．12.  “任意画一个菱形，它的对角线互相垂直”是______ 事件填“随机”、“不可能”或“必然”．13.  已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积是______ ．14.  如图，数轴上，两点对应的数分别为，，若数轴上的点满足，则点表示的数为______．
15.  如图，平移得到，交于点，交于点，两个三角形重叠部分的面积为的一半，则的值为______ ．
16.  如图，已知正方形的边长为，点是线段上的动点，过点作，使，连接交于点，交于点以下结论正确的是______ ．
∽；
；
点到直线的距离最大值为；
点到直线的距离最大值为．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
如图，，，，，求证：．
19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．20.  本小题分
如图，在中，、为弦，为直径，于，于，与相交于．
求证：；
若，，求的半径．
21.  本小题分
某校为了解学生兴趣爱好情况，从全校名学生中随机抽取了人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，初步整理数据得到扇形图和频数分布直方图如图所示．

补全频数分布直方图；
估计该校学生平均每人每周自主发展兴趣爱好的时长为多久？用组中值代表各组数据的平均数；
为了欢庆五一劳动节，初三某班班主任要在有音乐兴趣特长的名男生、名女生中随机挑选名同学合作一个节目求挑选的名同学恰好为一男一女的概率．22.  本小题分
如图，矩形的对角线、相交于点．
作，使其与线段、分别相切于点、尺规作图，保留作图痕迹；
与相交于点，连接，若与相切，求．
23.  本小题分
如图，小方站在水平球台上打高尔夫球，球台到轴的距离为米，与轴相交于点，弯道与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处打出的高尔夫球沿抛物线：运动，落在弯道的处，且到轴的距离为米．

点的坐标为______ ， ______ ；点的坐标为______ ， ______ ；
红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为．
求抛物线的解析式，并说明小球能否再次落在弯道上？
在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，求的取值范围托盘的厚度忽略不计．24.  本小题分
在等腰中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得，连接交于点．

如图，若，当点移动到中点时，若，求线段的长度；
如图，取的中点，连接猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想；
如图，若，当时，连接，与交于点，求的值．25.  本小题分
抛物线交轴于点，点在点左侧，交轴于点，已知和，点为抛物线上第四象限的动点．

求抛物线的解析式；
直线交于点，求的最大值；
直线交抛物线的对称轴于点，过点作的平行线交抛物线的对称轴于点，求当最小时，动点的横坐标．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：对于一个实数，如果它的倒数不存在，那么等于．
故选：．
根据没有倒数即可求解．
本题考查了实数的性质，倒数，关键是掌握没有倒数的知识点．
 2.【答案】 【解析】解：圆、长方形、等腰梯形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
平行四边形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 3.【答案】 【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：从上面看可得到一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，实线的两旁分别有一条纵向的虚线．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 5.【答案】 【解析】解：根据乘方的意义，的意义是个相乘．
故选：．
根据乘方的意义求几个相同因数或因式的积的运算解决此题．
本题主要考查乘方，熟练掌握乘方的意义是解决本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：原数据的平均数为，
方差为，
新数据的平均数为，
新数据的方差为，
所以新数据的平均数不变，方差变小，
故选：．
根据平均数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的平均数与方差，从而得出答案．
本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握平均数和方差的定义．
 7.【答案】 【解析】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，，
，
，
而，
这个正多边形为正十二边形，
故选：．
根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．
 8.【答案】 【解析】解：的，
反比例函数的图象在第二、四象限，
点，在反比例函数的图象上，且，
，
故选：．
根据反比例函数图象与性质即可得到答案．
本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数中与图象的象限关系是解决问题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：延长交于点，如图，设直升机的飞行速度为米秒，直升机从点飞到点用了秒
根据题意得米，米，
在中，，
，
在中，，
，
即，
解得，
所以直升机被大楼遮住之前，能录像的时长为秒．
故选：．
延长交于点，如图，设直升机的飞行速度为米秒，直升机从点飞到点用了秒，则米，米，利用得到，然后利用得到，则解方程求出即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角与俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
 10.【答案】 【解析】解：设所描的点所在的抛物线的解析式为，，
由图形可知，，的纵坐标为，
利用勾股定理求得的横坐标为，
同理的横坐标为，
，，，
代入得，
解得，
所描的点所在的抛物线的解析式为，
故选：．
设所描的点所在的抛物线的解析式为，，由图形可知，，，利用待定系数法求得抛物线的解析式即可判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，利用图形求得所描的点的坐标是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：如果水位升高时，水位变化记作，那么水位下降时，水位变化记作．
故答案为：．
根据正负数的意义即可求出答案．
本题考查了正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．
 12.【答案】必然 【解析】解：菱形的对角线互相垂直，
“任意画一个菱形，它的对角线互相垂直”是必然事件．
故答案为：必然．
根据随机事件的概念，结合菱形的性质进行判断即可．
本题考查了随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
 13.【答案】 【解析】解：依题意知母线长，底面半径，
则由圆锥的侧面积公式得．
故答案为：．
利用圆锥的底面半径为，母线长为，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可
此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
 14.【答案】或 【解析】解：设点所表示的数为，
当点在点的左侧时，
因为，
所以，
解得：；
点在点的右侧时，
因为，
所以，
解得：，
综上所述，点表示的数为或．
故答案为：或．
分两种情况进行讨论：点在点的左侧；点在点的右侧，再根据所给的条件进行求解即可．
本题主要考查数轴，解答的关键是对点的位置进行讨论．
 15.【答案】 【解析】解：由平移性质可知：
，
，
又，
∽，
，
，

故答案为：．
由平移性质可得，然后证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可求得：，从而求出：．
本题考查了平移的性质、相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求出两个相似三角形的相似比．
 16.【答案】 【解析】解：正方形中，．
，
．
如图：，；
．
∽故正确．

当点向左移动时，逐渐减小，而增大；故错误．
延长至，使，连接．
≌，
，．
，，
．
，
，
≌．
．
．
．
过作的延长线于．
≌．
．
点是线段上的动点，，故错误．
过作于．
，
≌，
．
∽，
；即：，
设，则：，
当时，取得最大值：故正确；
故答案为：．
根据相似三角形的判定定理确定．
点是线段上的动点，和都随点的变化而变化，若两角相等变化规律必然相同．
作出到的距离，同时完成了直角三角形的构造，利用可以通过全等可以将到的距离转化为的长，再观察的变化，求其最大值．
由的相关结论，发现到直线的距离等于，那么只要找到的最大值即可，再用相似得出与之间的数量关系，借助函数确定．
本题综合性强，考查内容比较全面．关键是通过观察在动态的变化过程中找到不变的关系或量，比如全等，相似，正方形边长，和之间存在二次函数的关系．
 17.【答案】解：

． 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 18.【答案】证明：，
，
即，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 【解析】根据线段的和差得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形 的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 19.【答案】解：


，
当时，原式． 【解析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 20.【答案】证明：于，于，
，
，
，
，
，
，
；
解：由得，
在中，，
设圆心为，连接，设，则，

在中，，
即，
解得：，
即的半径为． 【解析】根据，，所以，可得，利用圆周角定理得，所以，即可得出结论；
设圆心为，连接，设，则，利用勾股定理得和，即可求出半径．
本题考查了垂径定理、勾股定理，正确作出辅助线、灵活运用相关定理是解题的关键，注意勾股定理的应用．
 21.【答案】解：组的人数为：人，
补全频数分布直方图如下：

小时，
答：估计该校学生平均每人每周自主发展兴趣爱好的时长为小时；
画树状图如下：

共有种等可能结果，其中挑选的名同学恰好为一男一女的结果有种，
挑选的名同学恰好为一男一女的概率为． 【解析】求出组的人数，即可解决问题；
由加权平均数的定义列式计算即可；
画树状图，共有种等可能结果，其中挑选的名同学恰好为一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图以及加权平均数等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 22.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图，

，与分别相切于，，且为半径，
于，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
又．
，
，
． 【解析】根据要求作出图形即可；
证明，可得结论．
本题考查作图复杂作图，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 23.【答案】      【解析】解：点的坐标为，；点的坐标为，；
故答案为：，，，；
抛物线顶点，
设抛物线解析式为，
把代入，解得，
的表达式为，
点在反比例函数，且米，
点的坐标为，
当时，，
与弯道不相交，小球不能落在弯道上；
当时，；
当时，，
综上，．
球台到轴的距离为米，米，可知点的坐标，弯道：与球台交于点，可求出反比例函数解析式，到轴的距离为米，且在反比例函数图象上，可求出点的坐标，把点代入二次函数即可求解；
的最高点坐标为，根据二次函数的顶点式设二次函数的解析式，把点代入二次函数，即可求解的解析式，再计算与轴的交点，根据米，计算出点的坐标，两者进行比较即可；在轴上有托盘，小球恰好能被托盘接住，则托盘在函数的图象上，由此即可求解；
本题主要考查二次函数，反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法是解题的关键．
 24.【答案】解：，，点为中点，
，，
，由旋转得，
，，
，
又，，
≌，
，
，理由如下，
延长至点，使，连接，

又点为中点，
为的中位线，，
，，
，
，
即，
又，且旋转得，
≌，
；
延长至点，使，连接，连接交于，
由得≌；，
，，，
，，
又，，
为等边三角形，，
，，
，则、、三点共线；
由得为的中位线，

，即，
，
，
，
又，
，
又，
四边形为平行四边形，，
四边形为矩形，
，，，
为等边三角形，，
即，
，
又，
≌，
，
． 【解析】利用证明≌，得，即可得出答案；
延长至点，使，连接，利用证明≌，得；
延长至点，使，连接，连接交于，说明四边形为矩形，得，，，再利用证明≌，得，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 25.【答案】解：把和代入，
得，解得：，
；

，，，
设直线的表达式为：，
则，解得：，
，直线的表达式为：，
过点作轴，交直线于点，

轴，则∽，
，
设，
令，则，
，
，
当时，，
此时，；



设，
把代入得：，
，，
当时，，
则，
，
设，把代入，
同理得，，，
，，
设，
当时，，
则，
，
即为定值；
将点向上平移个长度单位，得到，
连接交抛物线对称轴于点，

此时最小，
由，得：，
令，得，
，
解得：．
点的横坐标为． 【解析】由待定系数法即可求解；
证明∽，则，进而求解；
证明为定值，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、最值问题、平行四边形的性质、图形的平移、三角形相似等，有一定的综合性，难度较大．