2023-2024学年福建省福州十九中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州十九中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．﹣C．0.5D．9
2．（4分）在平面直角坐标系中，点（2023，﹣2024）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（4分）在数轴上表示不等式2x﹣6＜0的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（4分）已知是二元一次方程ax+y＝2的一个解，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
5．（4分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．85°
6．（4分）在下列命题中，为真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．同旁内角互补
D．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
7．（4分）我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，﹣1），棋子“马”的坐标为（1，﹣1），则棋子“炮”的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（3，2）D．（3，﹣2）
9．（4分）点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
10．（4分）已知a，b为非零实数，下面四个不等式组中，解集有可能为﹣1＜x＜2的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）4的平方根是 ．
12．（4分）将方程x﹣3y＝5变形为用含y的代数式表示x，即x＝ ．
13．（4分）已知点P（﹣3，2），则P到y轴的距离是 ．
14．（4分）如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，若EC＝2，BF＝10，则BE＝ ．
15．（4分）如果关于x的不等式3x﹣a≤﹣1的解集为x≤﹣1，则a的值是 ．
16．（4分）已知关于x，y的方程组，以下结论：
①当k＝0时，方程组的解也是方程3x+4y＝1的解；
②不存在实数k，使得x﹣2y＝0；
③不论k取什么实数，3x﹣y的值始终不变；
④若将方程组的每一组解都写成有序数对（x，y），并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第二象限．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（8分）解方程组：
（1）
（2）
19．（8分）解不等式组：．
20．（8分）如图，在△ABC中，E是CA延长线上一点，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠3．
求证：∠1＝∠2．
21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知三角形ABC，将三角形ABC向上平移m个单位，向右平移n个单位后，得到三角形OB'C'，其中点A的对应点为原点O．
（1）画出平移后得到的三角形OB'C'；
（2）m+n＝ ；
（3）连接AC′，BC′，则三角形AC′B'的面积＝ ．
22．（10分）如图，用两个边长为cm的小正方形剪拼成一个大的正方形，
（1）则大正方形的边长是 cm；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
23．（10分）又是一年春光好，八闽大地植树忙，某商家销售的A，B两种果苗，进价分猢为70元，50元，下表是近两天的销售情况：
（1）求A，B两种果苗的销售单价．
（2）若该商家购进这两种果苗总计500棵，要使得总利润不低于13523元，最少需购进A种果苗多少棵？
24．（12分）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝ ，∠β＝ ．
（2）现固定三角形ABC的位置不变，将三角形DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠GHF的度数．
（3）现固定三角形DEF，将三角形ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段AC与三角形DEF的一条边垂直时，请直接写出∠BAM的度数．
25．（14分）定义：在平面直角坐标系xOy中，将点P（x，y）变换为P′（kx+b，by+k），（其中k，b为常数），我们把这种变换称为“L变换”．
（1）当k＝0，b＝2时，点P（2，﹣1）经过“L变换”得到的点P′的坐标为 ．
（2）已知点A（2，1），B（a﹣b，a+c），C（6﹣2b，b+2c）经过“L变换”的对应点分别是A′（4，3），B′（1﹣c，2b+c），C′．
①已知M（3m﹣2，1﹣2m），N（n+3，2n﹣5），MN⊥BC′且MN＝2BC'．求出M，N两点的坐标；
②点Q在x轴上，三角形QBC的面积是三角形A′B′C′面积的2倍，直接写出点Q的坐标．
2023-2024学年福建省福州十九中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂
1．（4分）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．﹣C．0.5D．9
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．﹣是无理数，故本选项符合题意；
C．0.5是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．9是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：B．
2．（4分）在平面直角坐标系中，点（2023，﹣2024）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据坐标系不同象限点坐标的特点判断，第一象限坐标（+，+），第二象限坐标（﹣，+），第三象限坐标（﹣，﹣），第四象限坐标（+，﹣）．
【解答】解：点（2023，﹣2024）在第四象限，
故选：D．
3．（4分）在数轴上表示不等式2x﹣6＜0的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：2x﹣6＜0，
2x＜6，
x＜3，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
4．（4分）已知是二元一次方程ax+y＝2的一个解，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：把代入方程得：2a+4＝2，
解得：a＝﹣1，
故选：D．
5．（4分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．85°
【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可．
【解答】解：如图：
∵∠BCA＝60°，∠DCE＝45°，
∴∠2＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵HF∥BC，
∴∠1＝∠2＝75°，
故选：C．
6．（4分）在下列命题中，为真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．同旁内角互补
D．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
【分析】分别利用对顶角的性质以及平行线的性质和推论进而判断得出即可．
【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；
C、两直线平行，同旁内角互补，故此选项错误；
D、垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故此选项错误．
故选：B．
7．（4分）我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据每人分6本，则剩余40本可以得到方程6y+40＝x，根据每人分8本，则还缺50本，可以得到方程8y﹣50＝x，从而可以写出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
8．（4分）如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，﹣1），棋子“马”的坐标为（1，﹣1），则棋子“炮”的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（3，2）D．（3，﹣2）
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：棋子“炮”的坐标为：（3，﹣2）．
故选：D．
9．（4分）点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【分析】先计算出﹣1的取值范围，再对照点M，N，P，Q在数轴上的位置，即可得出结果．
【解答】解：∵，
∴2＜3，
∴1﹣1＜2，
由数轴可知，只有点P的取值范围在1和2之间，
故选：C．
10．（4分）已知a，b为非零实数，下面四个不等式组中，解集有可能为﹣1＜x＜2的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的解集﹣1＜x＜2，推出﹣x＜1和x＜2，然后从选项中找出有可能的不等式组．
【解答】解：∵﹣1＜x＜2，
∴x＞﹣1和x＜2，
从而得出，
与四个选项中的不等式组比较知，A选项的不等式组符合题意．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）4的平方根是 ±2 ．
【分析】一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可得出答案．
【解答】解：∵22＝4，（﹣2）2＝4，
∴4的平方根为±2，
故答案为：±2．
12．（4分）将方程x﹣3y＝5变形为用含y的代数式表示x，即x＝ 5+3y ．
【分析】将y看作已知数进行计算．
【解答】解：x﹣3y＝5，
x＝5+3y．
故答案为：5+3y．
13．（4分）已知点P（﹣3，2），则P到y轴的距离是 3 ．
【分析】根据到y轴的距离是横坐标的绝对值可得答案．
【解答】解：点P（﹣3，2），则P到y轴的距离是3，
故答案为：3．
14．（4分）如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，若EC＝2，BF＝10，则BE＝ 4 ．
【分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解答】解：由平移的性质可知，BE＝CF，
∵BF＝10，EC＝2，
∴BE+CF＝10﹣2＝8，
∴BE＝CF＝4，
故答案为：4．
15．（4分）如果关于x的不等式3x﹣a≤﹣1的解集为x≤﹣1，则a的值是 ﹣2 ．
【分析】根据不等式3x﹣a≤﹣1的解集为x≤﹣1，可得方程＝﹣1，再解方程即可．
【解答】解：解不等式3x﹣a≤﹣1，得x≤，
∵不等式的解集为x≤﹣1，
∴＝﹣1，
解得a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（4分）已知关于x，y的方程组，以下结论：
①当k＝0时，方程组的解也是方程3x+4y＝1的解；
②不存在实数k，使得x﹣2y＝0；
③不论k取什么实数，3x﹣y的值始终不变；
④若将方程组的每一组解都写成有序数对（x，y），并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第二象限．
其中正确结论的序号是 ① ．
【分析】当k＝0时，方程为，再把两个方程相加可判断①；由两个方程相减，再建立方程可判断②；解方程组可得，求解3x﹣y可判断③；解方程组可得，再建立不等式组可判断④．
【解答】解：当k＝0时，
方程组为，
（1）+（2）得：3x+4y＝1，故①符合题意；
∵，
（3）﹣（4）得：x﹣2y＝3﹣2k；
∵x﹣2y＝0，
∴3﹣2k＝0，解得k＝1.5，故②不符合题意；
∵，
（3）×3﹣（4）得：6x﹣x＝6﹣2k+1，
解得x＝，
把x＝代入（3）得2×+y＝2，
解得y＝，
∴3x﹣y＝3×﹣＝﹣2k+5，故③不符合题意；
解＜0可得：k＞3.5；
解＞0可得：k＞1，
∴不等式组的解为：k＞3.5，
∴将方程组的每一组解都写成有序数对（x，y），并在坐标系中描出所有点，则这些点可能落在第三象限，故④不符合题意；
故答案为：①．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）根据立方根的意义进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝9+（﹣3）+2﹣
＝8﹣；
（2），
（x﹣1）3＝﹣8，
x﹣1＝﹣2，
x＝﹣1．
18．（8分）解方程组：
（1）
（2）
【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1），
把①代入②得：3（y+3）﹣8y＝14，
∴﹣5y＝5，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：x＝2；
∴方程组的解为：．
（2）
①×2+②得：5x＝15，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝4，
∴方程组的解为：．
19．（8分）解不等式组：．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得到答案．
【解答】解：解不等式﹣x+4≥3x，得x≤1，
解不等式，得x＞﹣4
所以原不等式组的解集为：﹣4＜x≤1．
20．（8分）如图，在△ABC中，E是CA延长线上一点，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠3．
求证：∠1＝∠2．
【分析】由AD⊥BC，EG⊥BC，利用垂直的定义可得，∠EGC＝∠ADC＝90°，利用平行线的判定可得EG∥AD，利用平行线的性质可得，）∠2＝∠E，∠1＝∠3，又因为∠E＝∠3，等量代换得出结论．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠EGC＝∠ADC＝90°
∴EG∥AD
∴∠2＝∠E，∠1＝∠3，
∵∠E＝∠3，
∴∠1＝∠2．
21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知三角形ABC，将三角形ABC向上平移m个单位，向右平移n个单位后，得到三角形OB'C'，其中点A的对应点为原点O．
（1）画出平移后得到的三角形OB'C'；
（2）m+n＝ 7 ；
（3）连接AC′，BC′，则三角形AC′B'的面积＝ ．
【分析】（1）由题意知，三角形ABC向上平移3个单位，向右平移4个单位后，得到三角形OB'C'，根据平移的性质作图即可．
（2）由题意得，m＝3，n＝4，即可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）∵点A的对应点为原点O，
∴三角形ABC向上平移3个单位，向右平移4个单位后，得到三角形OB'C'，
如图，三角形OB'C'即为所求．
（2）∵三角形ABC向上平移3个单位，向右平移4个单位后，得到三角形OB'C'，
∴m＝3，n＝4，
∴m+n＝7．
故答案为：7．
（3）三角形AC′B'的面积为8×3﹣﹣7×3﹣8×1＝24﹣1﹣﹣4＝．
故答案为：．
22．（10分）如图，用两个边长为cm的小正方形剪拼成一个大的正方形，
（1）则大正方形的边长是 4 cm；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可．
【解答】解：（1）大正方形的边长是＝4（cm）；
故答案为：4；
（2）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
则2x•3x＝12，
解得：x＝，
3x＝3＞4，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2，且面积为12cm2．
23．（10分）又是一年春光好，八闽大地植树忙，某商家销售的A，B两种果苗，进价分猢为70元，50元，下表是近两天的销售情况：
（1）求A，B两种果苗的销售单价．
（2）若该商家购进这两种果苗总计500棵，要使得总利润不低于13523元，最少需购进A种果苗多少棵？
【分析】（1）设A种果苗的销售单价为x元/株，B种果苗的销售单价为y元/株，根据近两天的销售情况，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A种果苗m棵，则购进B种果苗（500﹣m）棵，根据商家购进这两种果苗总计500棵，要使得总利润不低于13523元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A种果苗的销售单价为x元/株，B种果苗的销售单价为y元/株，
由题意得：，
解得：，
答：A种果苗的销售单价为100元/株，B种果苗的销售单价为75元/株；
（2）设购进A种果苗m棵，则购进B种果苗（500﹣m）棵，
由题意得：（100﹣70）m+（75﹣50）（500﹣m）≥13523，
解得：m≥204.6，
∵m为正整数，
∴最少需购进A种果苗205棵，
答：最少需购进A种果苗205棵．
24．（12分）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝ 15° ，∠β＝ 150° ．
（2）现固定三角形ABC的位置不变，将三角形DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠GHF的度数．
（3）现固定三角形DEF，将三角形ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段AC与三角形DEF的一条边垂直时，请直接写出∠BAM的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（3）分当AC⊥DE时，当AC⊥EF时，当AC⊥DF时，三种情况进行解答即可．
【解答】解：（1）∵PQ∥MN，
∴∠E＝∠α+∠BAC，
∴α＝∠E﹣∠BAC＝60°﹣45°＝15°，
∵E、C、A三点共线，
∴∠β＝180°﹣∠DFE＝180°﹣30°＝150°；
故答案为：15°；150°；
（2）∵PQ∥MN，
∴∠GEF＝∠CAB＝45°，
∴∠FGQ＝75°，
∵GH，FH分别平分∠FGQ和∠GFA，
∴∠FGH＝37.5°，∠GFH＝75°，
∴∠GHF＝67.5°；
（3）当AC⊥DE，即BC∥DE时，如图1，
此时∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴∠BAM+∠BAC＝∠MAE+∠CAE，∠BAM＝∠MAE+∠CAE﹣∠BAC＝45°+30°﹣45°＝30°；
当AC⊥EF，即BC∥EF时，如图2，
此时∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE+∠EAM＝45°+45°＝90°，
当AC⊥DF，即BC∥DF时，如图3，
此时，AC∥DE，∠CAN＝∠DEG＝15°，
∴∠BAM＝∠MAN﹣∠CAN﹣∠BAC＝180°﹣15°﹣45°＝120°．
综上所述，∠BAM的度数为30°或90°或120°．
25．（14分）定义：在平面直角坐标系xOy中，将点P（x，y）变换为P′（kx+b，by+k），（其中k，b为常数），我们把这种变换称为“L变换”．
（1）当k＝0，b＝2时，点P（2，﹣1）经过“L变换”得到的点P′的坐标为 （2，﹣2） ．
（2）已知点A（2，1），B（a﹣b，a+c），C（6﹣2b，b+2c）经过“L变换”的对应点分别是A′（4，3），B′（1﹣c，2b+c），C′．
①已知M（3m﹣2，1﹣2m），N（n+3，2n﹣5），MN⊥BC′且MN＝2BC'．求出M，N两点的坐标；
②点Q在x轴上，三角形QBC的面积是三角形A′B′C′面积的2倍，直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）解析根据新定义求得P的坐标，即可求解
（2）先根据题意和“L变换”的定义，分别求得A，B，C，A′，B′，C′的坐标，画出图形；①根据MN⊥BC且MN＝2BC，建立二元一次方程组求得m，n的值，即可求解；
②根据题意可得：△A′B′C′的面积是2，当Q在x轴上时，△QBC的面积为4，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵P（2，﹣1），当k＝0，b＝2时：
kx+b＝2，by+k＝﹣2+0＝﹣2，
点P（2，﹣1）经过“L变换”得到的点P′的坐标为P（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）；
（2）∵点A（2，1），经过“L变换”的对应点分别是A′（4，3），
∴，
解得：，
∴将点P（x，y）变换为P′（x+2，2y+1），
∵B（a﹣b，a+c）即（a﹣2，a+c），经过“L变换”的对应点B′（a﹣2+2，2a+2c+1），即B′（a，2a+2c+1），
∵B′（1﹣c，2b+c），
∴，
解得：，
∴B（0，1），B′（2，3），
∴C（6﹣2b，b+2c）即C（2，0）经过“L变换”的对应点C′（4，1），
如图所示：
①∵MN⊥BC′，B（0，1），C′（4，1），M（3m﹣2，1﹣2m），N（n+3，2n﹣5），
∴MN∥y轴，则M，N横坐标相等，即3m﹣2＝n+3①，BC′＝4，
MN＝|1﹣2m﹣2n+5|＝|6﹣2m﹣2n|，
∵MN＝2BC′，
∴MN＝8，
∴|6﹣2m﹣2n|＝8②，
联立①②得：
或，
解得：或，
∴M（1，﹣1），N（1，﹣9）或M（7，﹣5），N（7，3）；
②∵A′（4，3），B′（2，3），C′（4，1），
∴S△A′B′C′＝×2×2＝2，
∵三角形QBC的面积是三角形A′B′C′面积的2倍，
∴三角形QBC的面积是4，
设Q（q，0），
∵B（0，1），C（2，0），
∴S△QBC＝×1×|q﹣2|＝4，解得q＝10或﹣6，
∴点Q的坐标为（10，0）或（﹣6，0）．
销售量/株
销售收入/元
A果苗
B果苗
第一天
40
30
6250
第二天
25
50
6250
销售量/株
销售收入/元
A果苗
B果苗
第一天
40
30
6250
第二天
25
50
6250