高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示学案，文件包含311《函数的概念二》导学案教师版docx、311《函数的概念二》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共8页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念（重点）
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用（难点）
3.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习函数的概念
三．课堂导学
设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”,使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间.
问题 (1)如何表示列车的运行速度的范围?
(2)还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗?
知识点一 区间的概念
1.区间的概念
设a,b是两个实数,而且a＜b.我们规定:
(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为 [a,b] ;
(2)满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间,表示为 (a,b) ;
(3)满足不等式a≤x＜b或0＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为 [a,b),(a,b] .
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
2.一般区间的表示
设a,b∈R,且a＜b,规定如下:
3.特殊区间的表示
提醒 (1)区间只能表示连续的实数集或其子集,开闭不能混淆;(2)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别;(3)区间是实数集的一种表示形式,集合的运算仍然成立;(4)∞是一个符号,而不是一个数.
知识点二 同一个函数
定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗?
提示:不一定,如果对应关系不同,这两个函数一定不是同一个函数.
1.下列选项中能表示同一个函数的是( )
A.y＝x＋1与y＝x2-1x-1 B.y＝x2＋1与s＝t2＋1 C.y＝2x与y＝2x(x≥0) D.y＝(x＋1)2与y＝x2
解析:B 对于选项A,前者定义域为R,后者定义域为{x｜x≠1},不是同一个函数;对于选项B,虽然变量不同,但定义域和对应关系均相同,是同一个函数;对于选项C,虽然对应关系相同,但定义域不同,不是同一个函数;对于选项D,虽然定义域相同,但对应关系不同,不是同一个函数.
2.用区间表示下列数集:
(1){x｜x≥1}＝ ; (2){x｜2＜x≤3}＝ ; (3){x｜x＞-1且x≠2}＝ .
答案:(1)[1,＋∞) (2)(2,3] (3)(-1,2)∪(2,＋∞)
3.函数f(x)＝(x-1)2＋1,x∈[1,2]的值域是 [1,2] .
解析:由y＝(x-1)2＋1的图象(图略)知y∈[1,2].
四．典例分析、举一反三
题型一 区间的应用
【例1】 将下列集合用区间以及数轴表示出来:
(1){x｜x＜2}; (2){x｜-1＜x＜0或1≤x≤5}; (3){x｜2≤x≤8且x≠5}.
解 (1){x｜x＜2}可以用区间表示为(-∞,2),用数轴表示如图①.
(2){x｜-1＜x＜0或1≤x≤5}可以用区间表示为(-1,0)∪[1,5],用数轴表示如图②.
(3){x｜2≤x≤8且x≠5}用区间表示为[2,5)∪(5,8],用数轴表示如图③.
练1-1. （1）集合{x｜0＜x＜1或2≤x≤4}用区间表示为 (0,1)∪[2,4] .
（2）.若区间[a-1,a]关于原点对称,则a＝ ,此时区间为 .
解析:由已知得a-1＝-a,解得a＝12.此时区间为-12,12.
答案:12 -12,12
题型二 同一个函数的判定
【例2】 (多选)下列式子表示同一个函数的是(AC)
A.f(x)＝｜x｜,φ(t)＝t2
B.y＝x2,y＝(x)2
C.y＝1+x·1-x,y＝1-x2
D.y＝(3-x)2,y＝x-3
解析 A:f(x)与φ(t)的定义域相同,又φ(t)＝t2＝｜t｜,即f(x)与φ(t)的对应关系也相同,∴f(x)与φ(t)是同一个函数;B:y＝x2的定义域为R,y＝(x)2的定义域为{x｜x≥0},两者定义域不同,故y＝x2与y＝(x)2不是同一个函数;C:y＝1+x·1-x的定义域为{x｜-1≤x≤1},y＝1-x2的定义域为{x｜-1≤x≤1},即两者定义域相同.又∵y＝1+x·1-x＝1-x2,∴两函数的对应关系也相同.故y＝1+x·1-x与y＝1-x2是同一个函数;D:∵y＝(3-x)2＝｜x-3｜与y＝x-3的定义域相同,但对应关系不同,∴y＝(3-x)2与y＝x-3不是同一个函数.
练2-1. 下列各组函数:
①f(x)＝x2-xx,g(x)＝x-1;
②f(x)＝x＋1,g(x)＝x＋x0;
③f(x)＝(x-1)2,g(t)＝t2-2t＋1;
④汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).
其中表示同一个函数的是 ③④ .(填上所有正确的序号)
解析:①f(x)的定义域为{x｜x∈R,且x≠0},g(x)的定义域为R,f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;②f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x｜x∈R,且x≠0},f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;③虽然表示自变量的字母不同,但f(x)与g(t)的定义域相同,对应关系相同,故是同一个函数.④是同一个函数,定义域、对应关系都相同.
题型三 求函数的值域
【例3】求下列函数的值域:
(1)y＝x-1;(2)y＝x2-4x＋6,x∈[1,5);
(3)y＝2x＋41-x;(4)y＝3x-1x+1.
解 (1)(直接法)∵x≥0,∴x-1≥-1,
∴y＝x-1的值域为[-1,＋∞).
(2)(配方法、图象法)y＝x2-4x＋6＝(x-2)2＋2,如图所示,∵x∈[1,5),∴函数y的值域为[2,11).
(3)(换元法)令t＝1-x(t≥0),则x＝1-t2,则y＝-2t2＋4t＋2＝-2(t-1)2＋4(t≥0),结合图象(图略)可得函数的值域为(-∞,4].
(4)(分离常数法)y＝3x-1x+1＝3x+3-4x+1＝3-4x+1.
∵4x+1≠0,∴y≠3,
∴y＝3x-1x+1的值域为{y｜y∈R,且y≠3}.
练3-1求下列函数的值域:
(1)y＝8x2,x∈[1,2);(2)y＝x＋4x(x＞0);(3)y＝-2x2＋x+3.
解:(1)因为1≤x＜2,所以1≤x2＜4,所以14＜1x2≤1.所以2＜8x2≤8.所以函数的值域是(2,8].
(2)因为x＞0,所以x＋4x≥2x·4x＝4(当且仅当x＝2时取等号),可知y＝x＋4x(x＞0)的值域为[4,＋∞).
(3)因为y＝-2x2＋x+3＝-2x-142＋258,所以0≤y≤524,所以原函数的值域为0,524.
五、课堂小结
1.函数的定义及三要素
2. 判断同一函数的方法
六、当堂检测
1.不等式x-2≥0的所有解组成的集合表示成区间是( )
A.(2,＋∞) B.[2,＋∞) C.(-∞,2) D.(-∞,2]
解析:B 不等式x-2≥0的所有解组成的集合为{x｜x≥2},表示成区间为[2,＋∞).
2.(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )
A.f(x)＝-2x3与g(x)＝x-2x B.f(x)＝x与g(x)＝x2
C.f(x)＝x0与g(x)＝1x0 D.f(x)＝x2-2x-1与g(t)＝t2-2t-1
解析:CD 对于A,f(x)＝-2x3＝-x-2x与g(x)＝x-2x的对应关系和值域不同,故不是同一个函数.对于B,g(x)＝x2＝｜x｜与f(x)＝x的对应关系和值域不同,故不是同一个函数.对于C,f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x｜x≠0},故是同一个函数.对于D,f(x)＝x2-2x-1与g(t)＝t2-2t-1的定义域都是R,对应关系也相同,而与用什么字母表示无关,故是同一个函数.故选C、D.
3.求下列函数的值域:
(1)y＝5x+4x-1; (2)y＝x-1-2x.
解:(1)∵y＝5x+4x-1＝5(x-1)+9x-1＝5＋9x-1,又9x-1≠0,知y≠5.
∴函数的值域是{y｜y∈R且y≠5}.
(2)令t＝1-2x(t≥0),∴x＝-12t2＋12,∴y＝-12t2-t＋12＝-12(t＋1)2＋1,
当t≥0时,y≤12,∴函数的值域为（-∞,12］.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1.
2.
学生签字 老师签字区间
数轴表示
[a,b]
(a,b)
[a,b)
(a,b]
区间
数轴表示
[a,＋∞)
(a,＋∞)
(-∞,b]
(-∞,b)
前提条件
定义域 相同
对应关系 完全一致
结论
这两个函数是同一个函数