人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质优秀学案及答案

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一．学习目标
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系（重点）
2.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习等式性质与不等式性质
三．课堂导学

在日常生活中,糖水中加些糖后就会变的更甜,也可以用不等式来表示这一现象.
问题 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗?
知识点一 等式的性质
性质1 如果a＝b,那么 b＝a ;
性质2 如果a＝b,b＝c,那么 a＝c ;
性质3 如果a＝b,那么 a±c＝b±c ;
性质4 如果a＝b,那么 ac＝bc ;
性质5 如果a＝b,c≠0,那么 ac＝bc .
提醒 (1)性质1,2反映了相等关系自身的特性:对称性和传递性;(2)性质3,4,5反映了等式在运算中保持的不变性.
知识点二 不等式的性质
提醒 (1)若a＞b＞0,则0＜1a＜1b;若a＜b＜0,则0＞1a＞1b;(2)不等式只有加法和乘法运算,没有减法和除法运算.
知识点三 重要不等式
一般地,∀a,b∈R,有a2＋b2≥ 2ab ,当且仅当 a＝b 时,等号成立.
1.某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车货总质量T(单位:吨)不超过40,则用不等式表示为( )
A.T＜40 B.T＞40
C.T≤40 D.T≥40
解析:C 限重就是不超过,可以直接建立不等式T≤40.
2.已知a∈R,p＝(a-1)(a-3),q＝(a-2)2,则p与q的大小关系为( )
A.p＞q B.p≥q
C.p＜q D.p≤q
解析:C 因为p＝(a-1)(a-3),q＝(a-2)2,所以p-q＝(a-1)(a-3)-(a-2)2＝a2-4a＋3-(a2-4a＋4)＝-1＜0.所以p＜q.
3.已知x,y∈R,且x2＋y2＝4,则xy的最大值是 .
解析:∵x2＋y2≥2xy且x2＋y2＝4,∴2xy≤4,即xy≤2,∴xy的最大值为2.
答案:2
四．典例分析、举一反三
题型一 利用不等式的性质判断命题的真假
【例1】 (多选)下列命题中为真命题的是( )
A.0＞a＞b⇒a2＞b2
B.a2＞b2⇒a＞b＞0
C.若a＜b＜0,则a2＞ab＞b2
D.若a＞b,1a＞1b,则a＞0,b＜0
解析 对于A,由0＞a＞b可知,0＜-a＜-b,则由性质7可知,(-b)2＞(-a)2,即b2＞a2,故A为假命题;对于B,性质7不具有可逆性,故B为假命题;对于C,由a＜b,a<0可得a2＞ab.因为a＜b,b<0,所以ab＞b2,从而有a2＞ab＞b2.故C为真命题;对于D,由1a＞1b,可知1a-1b＝b-aab＞0.因为a＞b,所以b-a＜0,于是ab＜0.又因为a＞b,所以a＞0,b＜0.故D为真命题.
答案 CD
练1-1. 1.下列命题中,正确的是( )
A.若a＞b,c＞d,则ac＞bd
B.若ac＞bc,则a＜b
C.若a＞b,c＞d,则a-c＞b-d
D.若ac2＜bc2,则a＜b
解析:D 选项A中,当a＞b＞0,c＞d＞0时,ac＞bd成立,但是当a,c均为负值时不成立,故A不正确;选项B中,当c＜0时,ac＞bc可推出a＜b.当c＞0时,ac＞bc可推出a＞b,故B不正确;选项C中,由a＞b,c＞d,可得a-d＞b-c,故C不正确;选项D中,式子ac2＜bc2成立,显然c≠0,所以c2＞0,根据不等式的性质:不等式两边同乘一个正数,所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向,显然有a＜b成立,故D正确.故选D.
练1-2.(多选)已知1a＜1b＜0,则下列结论正确的是( )
A.a＜b B.ab＞a＋b
C.｜a｜＜｜b｜ D.ab＞b2
解析:BC 由1a＜1b＜0可得b＜a＜0,显然选项A不正确;因为b＜a＜0,所以ab＞0,a＋b＜0,所以ab＞a＋b,故选项B正确;因为b＜a＜0,所以｜b｜＞｜a｜,故选项C正确;因为b＜a＜0,所以b＜0,a-b＞0,可得ab-b2＝b(a-b)＜0,即ab＜b2,故选项D不正确.故选B、C.
题型二 利用不等式的性质证明不等式
【例2】已知c＞a＞b＞0,求证:ac-a＞bc-b.
证明 因为a＞b＞0⇒-a＜-b⇒c-a＜c-b.
因为c＞a＞b＞0,所以0＜c-a＜c-b.
上式两边同乘1(c-a)(c-b),得1c-a＞1c-b＞0.
又因为a＞b＞0,所以ac-a＞bc-b.
练2-1. 已知a＞b＞0,求证:ab＞ba.
证明:∵a＞b＞0,∴a＞b＞0. ①
又∵a＞b＞0,两边同乘正数1ab,得1b＞1a＞0. ②
由①②得ab＞ba.
题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】 已知1＜a＜4,2＜b＜8,试求2a＋3b与a-b的取值范围.
解 ∵1＜a＜4,2＜b＜8,∴2＜2a＜8,6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8,∴-8＜-b＜-2. 又∵1＜a＜4,∴1＋(-8)＜a＋(-b)＜4＋(-2),即-7＜a-b＜2.
故2a＋3b的取值范围是{2a＋3b｜8＜2a＋3b＜32},a-b的取值范围是{a-b｜-7＜a-b＜2}.
(变设问)在本例条件下,求ab的取值范围.
解:∵2＜b＜8, ∴18＜1b＜12,而1＜a＜4,
∴1×18＜a·1b＜4×12,即18＜ab＜2.
故ab的取值范围是{ab｜18＜ab＜2}
练3-1. 已知-2＜a≤3,1≤b＜2,求下列代数式的取值范围:
(1)a＋b; (2)2a-3b.
解:(1)由-2＜a≤3,1≤b＜2,得-1＜a＋b＜5.
所以a＋b的取值范围是{a＋b｜-1＜a＋b＜5}.
(2)由-2＜a≤3得-4＜2a≤6. ①
由1≤b＜2得-6＜-3b≤-3. ②
由①＋②得,-10＜2a-3b≤3. 所以2a-3b的取值范围是{2a-3b｜-10＜2a-3b≤3}.
五、课堂小结
等式性质与不等式性质
六、当堂检测
1.与a＞b等价的不等式是( )
A.｜a｜＞｜b｜ B.a2＞b2 C.ab＞1 D.a3＞b3
解析:D 可利用赋值法.令a＝1,b＝-2,满足a＞b,但｜a｜＜｜b｜,a2＜b2,ab＝-12＜1,故A、B、C都不正确.
2.已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是( )
A.a＞b⇒ac2＞bc2 B.ac＞bc⇒a＞b C.a＞b,ab<0⇒1a＞1b D.a＞b＞0⇒1a2＞1b2
解析:C 当c＝0时,A不成立;当c＜0时,B不成立;ab＜0,a＞b⇒aab＜bab,即1a＞1b,C成立;当a＞b＞0时,1a2＜1b2,D不成立.
3.若2＜a＜5,3＜b＜10,则a-2b的取值范围为 .
解析:由3＜b＜10得-20＜-2b＜-6,又因为2＜a＜5,所以-18＜a-2b＜-1.
答案:{a-2b｜-18＜a-2b＜-1}
4.(1)已知a＞b,c＜d,求证:a-c＞b-d;
(2)已知a＞b,ab＞0,求证:1a＜1b.
证明:(1)因为a＞b,c＜d,所以a＞b,-c＞-d.则a-c＞b-d.
(2)因为ab＞0,所以1ab＞0.
又因为a＞b,所以a·1ab＞b·1ab,即1b＞1a,因此1a＜1b.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1.
2.
学生签字 老师签字性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a＞b⇔b ＜ a
可逆
2
传递性
a＞b,b＞c⇒a＞c
不可逆
3
可加性
a＞b⇔a＋c ＞ b＋c
可逆
4
可乘性
a＞b,c>0⇒ac ＞ bc
c的
符号
a＞b,c<0⇒ac ＜ bc
5
同向可加性
a＞b,c＞d⇒a＋c ＞ b＋d
同向
6
同向同正
可乘性
a＞b>0,c＞d>0⇒ac ＞ bd
同向
同正
7
可乘方性
a＞b＞0⇒an ＞ bn (n∈N,n≥2)
同正