江西省抚州市南城县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份江西省抚州市南城县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法的计算法则进行计算即可．
【详解】解：a2•a3=a2+3=a5，因此选项A不正确；
（-a4）2=a4×2=a8，因此选项B正确；
a10÷a2=a10-2=a8，因此选项C不正确；
a2+a2=2a2，因此选项D不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘除法，掌握计算法则是正确计算的前提．
2. 如图，直线a∥b∥c，直角三角板的直角顶点落在直线b上，若∠1=40°，则∠2等于( )
A. 40°B. 60°C. 50°D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质求解即可.
详解】如图所示：该试卷源自 全站资源不到一元，每日更新。
∴
∴
又
∴
故选C.
【点睛】本题主要考查平行线的性质.
3. 下列从左到右的变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方差公式、多项式乘多项式、完全平方公式分别对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．，原变形错误，故此选项不符合题意；
B．，原变形错误，故此选项不符合题意；
C．，原变形正确，故此选项符合题意；
D．，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式和完全平方式，准确运用乘法公式是解决问题的关键．
4. 已知是一个完全平方式，则常数m的值是（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，
∴，
故选：D．
5. 已知，则代数式的值为（ ）
A. 10B. 12C. 5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先根据完全平方公式变形，然后把两个式子的左右两边分别相加即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，得
，
∴．
故选C．
6. 如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（ ）

A. A地与B地之间的距离是180千米B. 前3小时汽车行驶的速度是40千米/时
C. 汽车中途共休息了5小时D. 汽车返回途中的速度是60千米/时
【答案】C
【解析】
【分析】根据路程、速度与时间的关系结合图象逐项分析判断即可.
【详解】解：A、A地与B地之间的距离是180千米，故本选项说法正确；
B、前3小时汽车行驶的速度是千米/时，故本选项说法正确；
C、从图象可得：汽车中途共休息了两次，一次休息了3小时，另一次休息时间不明确，故本选项说法错误；
D、汽车返回途中的速度是千米/时，故本选项说法正确；
故选：C.
【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确理解题意、从图象中获取解题所需要的信息是关键.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 新型冠状病毒是依靠飞沫和直接接触传播，所以我们要带好口罩做好防护．其中飞沫的直径大约为0.00000301米，数0.00000301用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往右移动到的后面，所以
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
8. 宋代词人蒋捷曾在《一剪梅·舟过吴江》中提到：“流光容易把人抛．红了樱桃，绿了芭蕉”．昭通鲁甸樱桃上市后，每千克樱桃16元，则购买樱桃的费用y（元）与樱桃重量之间的关系式是 ______________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据费用单价数量进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，正确理解题意是解题的关键．
9. 一个角的补角比这个角的两倍还多，则这个角度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查余角和补角，根据余角和补角的定义解决此题．
【详解】解：设这个角的度数为x，
由题意得，．
∴．
∴这个角的度数为．
故答案为：．
10. 如图，，，平分交于点F，如果，则________．
【答案】##32度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质：“两直线平行，内错角相等” 根据角平分线的定义及平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
11. 如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，按此规律摆下去，若第n个图案中有y个三角形，则y与n之间的关系式是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．由图形可知第1个图案有个三角形，第2个图案有个三角形，第3个图案有个三角形．．．依此类推即可解答．
【详解】解：由图形可知：
第1个图案有个三角形，
第2个图案有个三角形，
第3个图案有个三角形，
．．．，
第n个图案有个三角形，
∴．
故答案为．
12. 已知，点D在的边上，，且的一边与平行，则的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质和角的运算，需要分三种情况讨论：，且位于上方；，且位于下方，根据平行线的性质分别求解即可．
【详解】解：①如图所示，．

∵，
∴．
②如图所示，，且位于上方．

∵，
∴．
∴．
③如图所示，，且位于下方．

∵，
∴，
∴，
综上所述，．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1） （运用乘法公式简便计算）．
（2）
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
（1）把原式变为，利用平方差公式计算即可；
（2）先根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减．
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
14. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查整式的化简求值．先根据平方差公式和单项式乘多项式化简中括号内的，再利用整式的除法法则化简式子，再代入求解即可得到答案．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
15. 如图，在中，已知，边，，点P为边上一点，当动点P沿从点C向点B运动时，的面积发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量是_______________；因变量是_______________；
（2）如果设长为，的面积为，则y与x的关系可表示为_______________；
（3）当点P从点D（D为的中点）运动到点B时，则的面积从____变到_____
（4）如果设长为，的面积为，则S与x的关系可表示为________________．
【答案】（1）的长；的面积
（2）
（3）15；30 （4）
【解析】
【分析】本题考查的是函数关系式、自变量和因变量、求函数值：
（1）根据函数自变量和因变量的概念解答即可；
（2）根据三角形的面积公式列出关系式；
（3）计算出的长度，求出相应的面积，求差得到答案；
（4）根据三角形的面积公式列出关系式．
【小问1详解】
解：在这个变化过程中，自变量是的长；因变量是的面积
故答案为：的长；的面积
小问2详解】
解：y与x的关系可表示为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，
,
所以，当点P从点D（D为的中点）运动到点B时，则的面积从变到，
故答案为：15；30；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：
16. 如图，在由小正方形组成的的网格中，点A，B，C都是格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．

（1）在上面左图中，过点C作的平行线；
（2）在上面右图中，过点C作的垂线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定和性质等知识：
（1）根据平行线的判定方法作出平行线即可；
（2）根据垂线的定义作出图形即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所作，
【小问2详解】
解：如图，即为所作，
17. 补充完成下面的推理过程．
如图，已知点分别是的边上的点，，．求证：．
证明：，（ 已知 ）
（ ）
，
（ ）
（ ）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，，等量代换即可得证．
【详解】证明：，
（两直线平行，内错角相等）
，
（两直线平行，同位角相等）
（等量代换）
四、解答题（ 本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 已知直线与相交于点O，，平分，，求和的度数．

【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查角的和差运算，根据角的平分线的定义，垂线的定义，对顶角及角的和差进行求解．
【详解】解：直线与相交于点O，，
，

∴，
，
平分，
，
，
19. 如图为某校七（1）和七（2）两个班级的劳动实践基地，右图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n（）的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分分别表示七（1）和七（2）两个班级的基地面积．若，，求的值．
【答案】39
【解析】
【分析】此题考查了乘法公式和因式分解应用，根据题意得到，再求出，再根据因式分解得到即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，，，
∴，
．
．
∴
又．
．
答：的值为39．
20. 在探究水沸腾时温度变化特点的实验中，下表记录了实验中水的温度（）随时间（）变化的数据．实验中温度的变化是均匀的．
（1）若设实验中水的温度为，时间为，试写出y关于x的关系式．
（2）试求出18分钟时的水温．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了利用表格和关系式表示变量间的关系、求函数值，读懂表格，正确找出自变量和因变量之间的关系是解题关键．
（1）根据时间每增加5分钟，温度升高15摄氏度可得答案；
（2）将代入（1）中的函数关系式，即可得到相应的温度
【小问1详解】
根据时间每增加5分钟，温度升高15摄氏度可得
【小问2详解】
当时，
五、解答题（本大题共两小题，每小题9分，共18分）
21. 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它可以解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：求代数式的最小值．
解：．
因为，所以．可知当时，有最小值，最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）当_____时，代数式有最小值为________．
（2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．（要求写出解答过程）
【答案】（1）2，1 （2）当时，有最小值，最小值是7，过程见解析
【解析】
【分析】本题考查了配方法的运用、完全平方公式的应用，此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数积的2倍．
（1）将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的最小值．
（2）将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的最小值．
【小问1详解】
∵，
∴当时，代数式有最小值为1．
故答案为：2，1；
【小问2详解】


．
上可知：当时，有最小值，最小值是7．
22. 如图，一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图1，蚂蚁从圆心出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬完下列三条线路：（1）线段、（2）半圆弧、（3）线段后，回到出发点．蚂蚁离出发点的距离（蚂蚁所在位置与点之间线段的长度）与时间之间的图象如图2所示，问：（注：圆周率的值取3）
（1）请直接写出：花坛的半径是______米，______．
（2）当时，求与之间的关系式；
（3）若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了2分钟，并知蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变，请你求出蚂蚁停下来吃食物的地方，离出发点的距离．
【答案】（1）4，8 （2）
（3）蚂蚁在段吃食物，吃食的地方距出发点2米
【解析】
【分析】本题考查了动点问题和函数图象问题，读懂题目信息，理解S与t的含义是解题的关键．
（1）由图像可知蚂蚁离出发点的最大距离为4，可得到半径的值，分钟为蚂蚁到点B的时间，通过图像中的数据求出蚂蚁的速度和到B点时的路程即可求出a；
（2）设，然后利用待定系数法求正比例函数解析式解答；
（3）根据蚂蚁吃食时离出发点的距离不变判断出蚂蚁在段，再求出蚂蚁从B爬到吃食时的时间，然后列式计算即可得解．
【小问1详解】
由图可知，蚂蚁离出发点的最大距离为4，
∴花坛的半径是4米，
蚂蚁的速度为米/分，
；
故答案为：4，8；
【小问2详解】
设，
∵函数图象经过点，
代入得，
解得，
∴；
【小问3详解】
∵沿途只有一处食物，
∴蚂蚁只能在段吃食物，，
∴蚂蚁从B爬1分钟找到食物，
（米），
∴蚂蚁停下来吃食的地方距出发点2米．
六、解答题（本大题共12分）
23. 已知；直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．
（1）如图1，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．求∠G的度数；
（2）如图2，EI和EK为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点I和K，猜想∠FIE和∠K的关系，并证明；
（3）如图3，点Q为线段EF（端点除外）上的一个动点，过点Q作EF的垂线交AB于R，交CD于J，∠AEF、∠CJR的平分线相交于P，问∠EPJ的度数是否会发生变化？若不发生变化，求出∠EPJ的度数；若会发生变化，请说明理由．
【答案】（1）90°；（2）∠EIF+∠K＝180°；（3）∠EPJ＝45°；
【解析】
【分析】（1）根据、分别平分和，得到，，由于到，于是得到，即可得到结论；
（2）过点作，由已知可得，，得到，由于平分，求得，由于，于是得到，由于，得到，然后根据平行线的性质即可得到结论；
（3）根据、的平分线相交于，得到，，由于，得到，且；根据，得，再利用等量代换即可得到结论．
【详解】解：（1）∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴2∠FEG+2∠GFE＝180°，
∴∠FEG+∠GFE＝90°，
∵∠EGF+∠FEG+∠GFE＝180°，
∴∠EGF＝90°；
（2）猜想：∠EIF+∠K＝180°．如图，过点I作IH∥AB，
∵AB∥CD，∴IH∥CD，
由已知可得∠K＝∠1+∠3，∠EIF＝∠BEI+∠IFD，
∴∠3＝∠KFD，
∵FK平分∠EFD，
∴∠4＝∠KFD，
∵∠1＝∠2，
∴∠K＝∠2+∠4，
∵∠EIF＝∠BEI+∠IFD，
∴∠EIF+∠K＝∠2+∠4+∠BEI+∠IFD＝∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠EIF+∠K＝180°；
（3）∠EPJ＝45°，理由如下：
∵AB∥CD，
∴易得∠EPJ＝∠AEP+∠PIC，且∠AEF＝∠JFE，
∵∠AEF、∠CJR平分线相交于P，
∴∠AEF＝2∠AEP，∠CJR＝2∠PJC，
∵RJ⊥EF，
∴∠FQJ＝90°，
∴∠EFJ+∠CJR＝90°，
∴∠AEF+∠CJR＝90°，
∴2∠AEP+2∠PJC＝90°，
∴∠AEP+∠PJC＝45°，
∴∠EPJ＝45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．时间
0
5
10
15
20
25
温度
10
25
40
55
70
85