2024年浙江省温州市瓯海区中考数学模拟试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年浙江省温州市瓯海区中考数学模拟试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简(−a)3⋅(−b)的结果是( )
A. −3abB. 3abC. −a3bD. a3b
2.自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐.如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在D座位，校长和学生乙在A，B，C三个座位中随机选择两个座位.则校长和学生乙坐在正对面的概率( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 23
3.已知a+1b=1,b+1c=1,则c+1a=( )
A. 1a−1B. 1b−1C. 1a(b−1)D. 1
4.已知关于x的不等式x−m≥0的负整数解只有−1，−2，则m的取值范围是( )
A. −35.如图，以AB为直径的半圆中，有一内接正方形CDEF，其边长为1，AC=a，BC=b，则ab+ba的值为( )
A. 3
B. 3
C. 52
D. 1+ 3
6.如图，菱形ABCD的对角线交于点E，边CD交y轴正半轴于点F，顶点A，D分别在x轴的正、负半轴上，反比例函数y=kx的图象经过C，E两点，过点E作EG⊥OA于点G，若CF=2DF，DG−AG=3，则k的值是( )
A. 4 5B. 12C. 4 10D. 15
7.如图，在△ABC中，∠C=Rt∠，分别以△ABC的三边为边向外构造正方形ABDE，BCGF，ACHM，分别记正方形BCGF，△ACE的面积为S1、S2，若∠ACE=30∘，则S1S2的值为( )
A. 8−4 3
B. 74
C. 2− 3
D. 2+ 3
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
8.分解因式：3m2−12=______.
9.已知一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为5，则这组数据的中位数是______.
10.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，将△ADC绕点A逆时针旋转90∘得△AEF，点D，C分别对应点E，F，连接CF，若∠BAC=62∘，则∠CFE的度数为______ ∘.
11.如图，直线y1=kx+b过点A(0,3)，且与直线y2=mx交于点P(1,m)，则不等式mx>kx+b>mx−3的解集是______.
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)对应值列表如下：
则关于x的方程ax2+bx+2=0的解是______.
13.如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE=4ED，BE的中垂线分别交BE，BC的延长线于点H，N，且BC=CN，⊙C为△BNH的外接圆，CF//BE，交⊙C于点F，FM⊥AB于点M(FM14.如图1木工师傅将三块不全等的平行四边形木板拼成了一个邻边长为5和12的大的平行四边形木板，然后通过裁剪又拼成了一个不重叠，无缝隙的大正方形木板如(图2)，数据如图所示，记图1中三个小平行四边形的中心分别为A，B，C，点A，C的图2中的对应点记为A1，C1，连结A1B和C1B.当A1B=A1C1时，MN的长为______.
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
先化简，再求值：m−33m2−6m÷(m+2−5m−2)，其中m=−3+ 52.
16.(本小题8分)
图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC=10cm，AB=24cm，∠BAD=60∘，∠ABC=50∘，求点C到AD的距离.(结果保留小数点后一位，参考数据： 3≈1.73，sin20∘≈0.342，cs20∘≈0.940，tan20∘≈0.364)
17.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2−2ax+b(a≠0).
(1)若a<0，当−4≤x≤2时，y的最小值为−21，y的最大值为4，求a+b的值；
(2)若该二次函数的图象经过点A(1,0)和B(2,3)，当m−2≤x≤m时，y的最大值与最小值的差8，求m的值.
18.(本小题10分)
2023年10月4日，亚运会龙舟赛在温州举行.某网红店看准商机，推出了A和B两款龙舟模型.该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍.已知B模型的进价为30元/个，A模型的进价为20元/个，B模型售价为45元/个，A模型的售价为30元/个.
(1)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少？
(2)如果B模型的进价上调m元(019.(本小题10分)
已知，如图四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AD=BD，点T
在BC的延长线上.BE平分∠ABC交CD延长线于E，交⊙O于F，连接AE，AF，DF.
(1)求证：CD平分∠ACT；
(2)求∠AED的度数；
(3)若CDAB=58，△DEF的面积等于25，求AC的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：原式=−a3⋅(−b)
=a3b.
故选：D.
先化简乘方，再根据单项式乘单项式的法则计算即可．
本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有：AC，CA，共2种，
∴校长和学生乙坐在正对面的概率为26=13.
故选：B.
画树状图得出所有等可能的结果数以及校长和学生乙坐在正对面的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵a+1b=1,b+1c=1，
∴a=1−1b，即1a=bb−1
1c=1−b，即c=11−b
∴c+1a=11−b+bb−1=1.
故选：D.
围绕已知等式变形，分别求c及1a，再求c+1a的值．
本题考查了分式等式的变形方法，分式的加减运算，需要灵活掌握．
4.【答案】B
【解析】解：x−m≥0，
x≥m，
∵关于x的不等式x−m≥0的负整数解只有−1，−2，
∴m的取值范围是−3故选：B.
先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据关于x的不等式x−m≥0的负整数解只有−1，−2得出答案即可．
本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能根据不等式的解集求出m的范围是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵以AB为直径的半圆中，有一内接正方形CDEF，其边长为1，
∴a+b=AC+CB=AB=2OD，OC=OF=12FC=12，CD=1.
∵OC2+CD2=OD2，
∴OD= 12+(12)2= 52.
∴a+b= 5.
∴a2+2ab+b2=5①．
∵OC=OB−BC=a+b2−b=a−b2=12，
∴a−b=1.
∴a2−2ab+b2=1②．
∴①-②得：4ab=4，
∴ab=1.
①+②得：a2+b2=3.
∴ab+ba=a2+b2ab=3.
故选：B.
利用圆的有关性质，正方形的性质和直角三角形的性质，勾股定理求得ab，a+b的值，再利用整体代入的方法解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，
∵EG⊥OA，即EG⊥AD，
∴CH//EG//OF，
∴△DFO∽△DCH，
∴OFCH=DODH=DFDC，
∵CF=2DF，DC=DF+CF，
∴DC=3DF，
∴OFCH=DODH=DFDC，
∴CH=3OF，DH=3OD，
设OD=a，则DH=3a，
∴OH=DH−OD=2a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CE=AE，即AEAC=12，
∵EG//CH，
∴△AEG∽△ACH，
∴EGCH=AGAH=AEAC=12，
∴AG=GH，
∵DG−AG=3，
∴DH+GH−AG=3，
∴DH=3，即3a=3，
∴a=1，
∴OH=2，即点C的横坐标为2，
∵反比例函数y=kx的图象经过C，E两点，
∴C(2,12k)，
∴CH=12k，
∴EG=12CH=14k，
∴E(4,14k)，
∴G(4,0)，
∴OG=4，
∴GH=OG−OH=4−2=2，
∴AG=2，
∴AD=OD+OH+GH+AG=1+2+2+2=7，
∴CD=7，
在Rt△CDH中，DH2+CH2=CD2，
∴32+(12k)2=72，
解得：k=±4 10，
∵反比例函数y=kx的图象在第一象限，
∴k>0，
∴k=4 10，
故选：C.
过点C作CH⊥AD于点H，可得CH//EG//OF，进而可得：△DFO∽△DCH，△AEG∽△ACH，结合CF=2DF和菱形性质，可推出：CH=3OF，DH=3OD，EGCH=AGAH=AEAC=12，设OD=a，则DH=3a，再结合DG−AG=3，即可求出a=1，运用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
本题考查了反比例函数的解析式，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：连接BM、EC，作EQ⊥CA交CA的延长线于点Q，则∠Q=90∘，
∵四边形ABDE、四边形BCGF和四边形ACHM都是正方形，
∴AB=AE，AM=AC，∠BAE=∠CAM=90∘，S1=S正方形BCGF=BC2，
∴∠BAM=∠EAP=90∘+∠BAC，
∴△BAM≌△EAC(SAS)，
∴∠AMB=∠ACE=30∘，
∵∠ACB=∠CAM=90∘，
∴BC//AM，
∴∠PBC=∠AMB=30∘，
∴∠CPB=∠APM=90∘−30∘=60∘，
∵∠Q=∠ACB=90∘，∠AEQ=∠BAC=90∘−∠QAE，EA=AB，
∴△EAQ≌△ABC(AAS)，
∴EQ=AC，
∴S2=S△ACE=12AC⋅EQ=12AC2，
∴设CP=m，则AP=AC−m，
∵BCCP=tan∠CPB=tan60∘= 3，ACAP=AMAP=tan∠APM=tan60∘= 3，
∴BC= 3CP= 3m，AC= 3AP= 3(AC−m)，
∴AC=3+ 32m，
∴S1=BC2=( 3m)2=3m2，S2=12AC2=12×(3+ 32m)2=6+3 34m2，
∴S1S2=3m26+3 34m2=8−4 3，
故选：A.
连接BM、EC，作EQ⊥CA交CA的延长线于点Q，可证明△BAM≌△EAC，得∠AMB=∠ACE=30∘，由BC//AM，得∠PBC=∠AMB=30∘，则∠CPB=∠APM=60∘，再证明△EAQ≌△ABC，得EQ=AC，设CP=m，则BC= 3m，AM=AC= 3(AC−m)，求得AC=3+ 32m，所以S1=BC2=3m2，S2=12AC2=6+3 34m2，即可求得S1S2=8−4 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
8.【答案】3(m−2)(m+2)
【解析】解：3m2−12
=3(m2−4)
=3(m−2)(m+2).
故答案为：3(m−2)(m+2).
利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
9.【答案】4.5
【解析】解：∵这组数据的平均数为5，
∴16×(8+4+5+4+a+7)=5，
解得：a=2，
将这组数据从小到大重新排列为：2，4，4，5，7，8，
则中位数是4+52=4.5.
故答案为：4.5.
根据平均数的定义先算出a的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
本题考查了平均数和中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
10.【答案】14
【解析】解：∵AB=AC，D是BC的中点，∠BAC=62∘，
∴BD=CD，∠ACB=∠ABC=59∘，AD⊥BC，
∵将△ADC绕点A逆时针旋转90∘得△AEF，
∴AF=AC，∠CAF=90∘，∠AFE=∠ACD=59∘，
∴∠AFC=∠ACF=45∘，
∴∠CFE=59∘−45∘=14∘，
故答案为：14.
由等腰三角形的性质可得BD=CD，∠ACB=∠ABC=59∘，AD⊥BC，由旋转的性质可得AF=AC，∠CAF=90∘，∠AFE=∠ACD=59∘，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11.【答案】1【解析】解：由于直线y1=kx+b过点A(0,3)，P(1,m)，
则有：k+b=mb=3，
解得k=m−3b=3.
∴直线y1=(m−3)x+3.
故所求不等式组可化为：mx>(m−3)x+3>mx−3，
解得：1故答案为：1由于一次函数y1同时经过A、P两点，可将它们的坐标分别代入y1的解析式中，即可求得k、b与m的关系，将其代入所求不等式组中，即可求得不等式的解集．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解决此题的关键是确定k、b与m的关系，从而通过解不等式组得到其解集．
12.【答案】500或1500
【解析】解：由表格可知，
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=12(2000+0)=1000，
则x=0和x=2000时对应的函数值都是1，
当x=0时，y=1，即c=1，
所以，当x=500时，y=−1，即−1=ax2+bx+1，
整理，得ax2+bx+2=0，
则方程ax2+bx+2=0的解是x1=500，x2=1500，
故答案为：500或1500.
根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和c的值，从而可以得到x=0和x=2000时对应的函数值都是1，再将x=500，y=−1代入函数解析式，整理可以得到方程ax2+bx+2=0，从而可以得到该方程的解．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13.【答案】130+26 5
【解析】解：过F作FK⊥BC于K，过E作EG⊥BC于G，
设ED=k，则AE=4k，
∴BC=AD=AE+ED=5k，BN=2BC=10k，
∴NG=NC+CG=5k+k=6k，
∵NH是BE的垂直平分线，
∴EN=BN=10k，
∴AB=EG= EN2−NG2= (10k)2−(6k)2=8k，
∴tan∠AEB=2，
∵AE//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵CF//BE，
∴∠GCF=∠CBE，
∴∠FCG=∠AEB，
∵CF=BC=5k，
∴CK=BC−BK=BC−FM=5k−20，
∵tan∠FCG=tan∠AEB=FKCK=2，
∴FK=2(5k−20)，
∵CF2=CK2+FK2，
∴25k2=5(5k−20)2，
∴k=5+ 5或5− 5(舍)，
∴矩形ABCD的周长=2(AD+AB)=26k=130+26 5.
故答案为：130+26 5.
过F作FK⊥BC于K，过E作EG⊥BC于G，设ED=k，则AE=4k，根据线段垂直平分线的性质及勾股定理可得AB=EG=8k，由三角函数可得tan∠AEB的值，根据平行线的性质得∠FCG=∠AEB，再得到FK=2(5k−20)，根据勾股定理求解得k，再由矩形的周长公式得出答案．
此题主要考查的是圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的性质、矩形的性质、三角函数的定义及勾股定理的应用．
14.【答案】112
【解析】解：如图，设直线AB交ZM于点R，交QH于点W，交EF于点J.设NE=2a，BW=x.
由题意，△YLZ是直角三角形，
∴LZ= 52−42=3，
∴PZ=LZ=3，
∵四边形PKQL是正方形，
∴PL=LQ=QK=PK=ZH=6，
∴HF=2，QE=6，
∵WJ是梯形FHQE的中位线，
∴WJ=12(HF+QE)=4，
∵ME=8，
∴BC=4=WJ，
∴BW=CJ，
∵CJ=a，
∴a=x，
∵A1C1=A1B，
∴a2+32=(2+a)2，
∴a=54，
∴NE=2a=52，
∴MN=8−52=112.
故答案为：112.
如图，设直线AB交ZM于点R，交QH于点W，交EF于点J.设NE=2a，BW=x.首先证明BC=4，WB=CJ，可得a=x，再根据A1C1=A1B，构建方程求出a，即可解决问题．
本题通过图形的简拼，考查平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
15.【答案】解：原式=m−33m(m−2)÷(m+2)(m−2)−5m−2
=m−33m(m−2)⋅m−2(m+3)(m−3)
=13m(m+3)
=13m2+9m，
∵m=−3+ 52，
∴2m+3= 5，
∴(2m+3)2=( 5)2，
即4m2+12m+9=5，
∴m2+3m=−1，
∴原式=13(m2+3m)=13×(−1)=−13.
【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=13m2+9m，接着把已知条件变形得到m2+3m=−1，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
16.【答案】解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点C作CG⊥AD，垂足为G，
由题意得：EF=CG，
在Rt△ABE中，AB=24cm，∠BAD=60∘，
∴BE=AB⋅sin60∘=24× 32=12 3(cm)，
∠ABE=90∘−∠BAD=30∘，
∵∠ABC=50∘，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=20∘，
在Rt△BCF中，BC=10cm，
∴BF=BC⋅cs20∘≈10×0.940=9.4(cm)，
∴EF=BE−BF=12 3−9.4≈11.4(cm)，
∴CG=EF=11.4cm，
∴点C到AD的距离约为11.4cm.
【解析】过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点C作CG⊥AD，垂足为G，根据题意可得：EF=CG，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长和∠ABE=30∘，从而求出∠CBE=20∘，最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出EF的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵a<0，对称轴x=−−2a2a=1，−4≤x≤2，
∴当x=−4时，y有最小值，
当x=1时，y有最大值，
即16a+8a+b=−21a−2a+b=4，
解得：a=−1b=3，
∴a+b=−1+3=2；
(2)由题意可知，
0=a−2a+b3=4a−4a+b，
解得：a=3b=3，
则二次函数的表达式为y=3x2−6x+3=3(x−1)2，
则对称轴x=1，顶点坐标为(1,0)，
∵m−2≤x≤m，
∴①当m−2≤x≤m在对称轴的左侧时，即m<1时，
∵y的最大值与最小值的差8，
∴3(m−2−1)2−3(m−1)2=8，
解得：m=43(舍去)，
②当m−2≤x≤m在对称轴的右侧时，即m>3时，
∵y的最大值与最小值的差8，
∴3(m−1)2−3(m−2−1)2=8，
解得：m=83(舍去)，
③当m−2≤x≤m在对称轴的两侧时，即1∵y的最大值与最小值的差8，
∴3(m−2−1)2−0=8，或3(m−1)2−0=8，
解得：m1=3−2 63，m2=3+2 63，(舍去)，或m3=1+2 63，m4=1−2 63(舍去)，
综上所述，m的值为3−2 63或1+2 63.
【解析】(1)先求出对称轴，再根据图像的性质即可列出方程式；
(2)用待定系数法求出二次函数的表达式，根据m−2≤x≤m在对称轴的同侧和异侧进行分类讨论．
本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象的点的坐标特征及二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设售完这批模型可以获得的总利润为y元，则y=(45−30)x+(30−20)(200−x)，
即y=5x+2000，
∵5>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=133时，y取得最大值，最大值=5×133+2000=2665(元).
答：售完这批模型可以获得的最大利润是2665元；
(2)根据题意得：x≥200−x，
解得：x≥100，
又∵x≤4003，且x为正整数，
∴100≤x≤133且x为整数．
当0即y=(5−m)x+2000，
∵5−m>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=133时，y取得最大值，此时133(5−m)+2000=2399，
解得：m=2；
当m=5时，y=(45−5−30)x+(30−20)(200−x)，
即y=2000，不符合题意，舍去；
当5即y=(5−m)+2000，
∵5−m<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=100时，y取得最大值，此时100(5−m)+2000=2399，
解得：m=1.01(不符合题意，舍去).
答：m的值为2.
【解析】(1)设售完这批模型可以获得的总利润为y元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量(购进数量)，可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
(2)由购进B模型的数量不少于A模型的数量，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，结合(1)的结论可确定x的取值范围，分0本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(3)分019.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DCT=∠BAD，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠ACD=∠DCT，
∴CD平分∠ACT；
(2)解：如图1，
连接BD，设∠FBD=α，
∵AD=BD，
∴AD=BD，∠BAD=∠ABD=∠ACD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADE=∠ADC=∠ABC=90∘，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=45∘，
∴∠BAD=∠ACD=∠ABD=∠ABF+∠FBD=45∘+α，
∴∠CAD=90∘−∠ACD=45∘−α，
∴∠BDC=∠BAC=∠BAD−∠CAD=(45∘+α)−(45∘−α)=2α，
∴∠BED=∠BDC−∠FBD=2α−α=α，
∴∠BED=∠FBD，
∴BD=DE，
∴AD=DE，
∴∠AED=∠DAE=45∘；
(3)解：如图2，
设AD的延长线交BC的延长线于T，作EG⊥DF，交DF的延长线于点G，
由(1)(2)得：∠ABC=∠ADC=∠CDT=90∘，∠ACD=∠DCT=∠BAD，
∴∠CAD=∠CTD，△CDT∽△ABT，
∴AC=CT，CTAT=DTBT=CDAB=58，
∴AC2AD=58，
∴ADAC=45
∴sin∠ACD=45，
∵AD=BD，
∴∠BFD=∠ACD，
∴sin∠EFG=sin∠BFD=sin∠ACD=45，
∴tan∠EFG=EGFG=43，
设DE=AD=4x，则AC=5x，
∵四边形CBFD内接于⊙O，
∴∠EDF=∠CBE=45∘，
∴DG=EG=DE⋅sin∠EDF=4x⋅ 22=2 2x，
∴FG=34EG=34×2 2x=3 2x2，
∴DF=DG−FG=2 2x−3 2x2= 22x，
由12DF⋅EG=S△DEF得，
12× 22x⋅2 2x=25，
∴x1=5，x2=−5(舍去)，
∴AC=5x=25.
【解析】(1)可推出∠DCT=∠BAD=∠ACD，从而得出结论；
(2)连接BD，设∠FBD=α，可推出∠BAD=∠ACD=∠ABD=∠ABF+∠FBD=45∘+α，∠CAD=90∘−∠ACD=45∘−α，∠BDC=∠BAC=∠BAD−∠CAD=(45∘+α)−(45∘−α)=2α，进而得出∠BED=∠FBD=α，从而得出BD=DE，进一步得出结果；
(3)设AD的延长线交BC的延长线于T，作EG⊥DF，交DF的延长线于点G，可推出AC=CT，CTAT=DTBT=CDAB=58，从而得出ADAC=45从而sin∠ACD=45，从而得出sin∠EFG=sin∠BFD=sin∠ACD=45，tan∠EFG=EGFG=43，可设DE=AD=4x，则AC=5x，解△DEF，进而得出结果．
本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形．x
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