2024年浙江省杭州市拱墅区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年浙江省杭州市拱墅区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在0，−2，−5，3这四个数中，最小的数是( )
A. 0B. −2C. −5D. 3
2.第19届亚洲运动会于2023年10月8日在杭州圆满闭幕，据统计，杭州亚运会的票务收入超过610000000元，数据610000000用科学记数法可以表示为( )
A. 61.0×107B. 6.1×107C. 6.1×108D. 0.61×109
3.下面四个算式的计算结果为负数的是( )
A. (−1)−(−2)B. (−1)×(−2)C. (−1)+(−2)D. (−1)÷(−2)
4.在平面直角坐标系中，点A(2,−3)与点B(a,b)关于y轴对称，则( )
A. a=2，b=−3B. a=2，b=3
C. a=−2，b=−3D. a=−2，b=3
5.对某班学生进行最喜欢的球类体育项目的问卷调查，统计后得到如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是( )
A. 该班最喜欢足球的学生数最多
B. 该班最喜欢排球的学生数和最喜欢篮球的学生数一样多
C. 若该班有12人最喜欢羽毛球，则该班总有36名学生
D. 该班最喜欢乒乓球的学生数是最喜欢排球的学生数的2倍
6.我国古代数学专著《九章算术》中记载了一个“盈不足”的问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足.”大概意思是说：现有几个人共同买猪，若每人出100钱，则多出100钱；若每人出90钱，则钱刚刚好.设人数为x人，则( )
A. 100x−100=90xB. 100x+100=90x
C. x+100100=x90D. x−100100=x90
7.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上(不与点A，点C重合)，点E在线段BC的延长线上，且BD=DE.设ADAC=x，CEBC=y，则( )
A. y=x
B. y=2x
C. y=1x
D. y=x2
8.如图是一张矩形纸片ABCD，点E，点F分别在边AB，边BC上，把△BEF沿直线EF折叠，使点B落在对角线AC上的中点G处.若AB=6，BC=8，则BE=( )
A. 2 7
B. 4
C. 5
D. 256
9.设二次函数y=ax2+c(a,c为实数，a≠0)的图象过点(−3,y1)，(−1,y2)，(2,y3)，(4,y4)，( )
A. 若y1y4>0，y2+y3>0，则a>0B. 若y1y4>0，y2+y3<0，则a>0
C. 若y1y4<0，y2+y3>0，则a<0D. 若y1y4<0，y2+y3<0，则a<0
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
10.如图，点A，点B，点C在⊙O上，连接AB，BC.若⊙O的半径为2，∠B=45∘，则AC的长为______.
11.计算：a(a−1)=______.
12.一个仅装有球的不透明布袋里共有12个球，(只有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为13，则这个布袋里红球的个数是______.
13.如图，⊙O的切线PA交半径OB的延长线于点P，A为切点.若∠P=30∘，OB=2，则PB=______.
14.如图，AB//CD.以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，点F；再分别以点E，点F为圆心，大于12EF为半径作弧，两圆弧交于点G；连接AG并延长交CD于点H，若∠AHD=115∘，则∠C=______ ∘.
15.小真用100元钱去购买笔记本和钢笔共20件.已知每本笔记本3元，每支钢笔8元.则小真最多能买______支钢笔.
16.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是斜边AB上的高线，AE是边BC上的中线，过点D作DF⊥AC于点F，DF与AE相交于点G.若EC=EG，BC=6，则AF=______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
以下是小李同学的数学错题整理本的一道错题，请你在订正区域给出正确解答过程.
18.(本小题6分)
在矩形ABCD中，取CD的中点E，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
(1)求证：AE=EF.
(2)已知AB=4，AF=6，求AD的长.
19.(本小题8分)
设函数y1=8x，y2=kx+2(k是实数，k≠0)都经过点A(2,m).
(1)求k的值，并求出函数y2的图象与x轴的交点B的坐标；
(2)将点B先向右平移t个单位，再向上平移2个单位后，恰好落在y1的图象上，求t的值.
20.(本小题8分)
女生小雅打算在立定跳远与跳绳两个项目中选择一项作为体育中考项目，学校共组织了5次测试，小雅的成绩见表1、表2.某市体育中考女生跳跃类评分标准(部分)如表所示，(考试成绩未达上限，均按下限评分)：
表1
表2
(1)写出a，b的值，并分别求出小雅立定跳远成绩的平均数和跳绳成绩的众数.
(2)若你是小雅，你会选择哪个项目作为中考项目？请结合小雅的测试成绩，给出你的建议，并简述理由.
21.(本小题10分)
图1是放置在写字台上的一盏折叠式台灯，其主视图如图2，座杆AB与水平桌面垂直，臂杆BC可绕点B旋转调节，灯体CD可绕点C旋转调节.若AB，BC，CD在同一平面上，AB=5厘米，BC=40厘米，CD=40厘米，臂杆BC与座杆AB的夹角即∠ABC=138∘，臂杆BC与灯体CD的夹角即∠BCD=90∘.灯体上D点到水平桌面的高度为DE.
(1)求∠CDE的度数.
(2)求DE的长.(结果精确到0.1厘米.参考数据：sin48∘≈0.743，cs48∘≈0.669，tan48∘≈1.111)
22.(本小题10分)
如图1是一款固定在地面O处的高度可调的羽毛球发球机，A是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球.在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状(如图2所示).设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为x(米)，与地面的高度为y(米)，y与x的部分对应数据如表所示.
(1)求y关于x的函数表达式，并求出羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离.
(2)为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口A的高度来实现.此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.5米，则发球机的弹射口高度OA应调整为多少米？
23.(本小题12分)
综合与实践：
如图1，在菱形ABCD中，点O为对角线AC的中点，将对角线AC绕点O逆时针旋转到MN，且旋转角α满足0∘≤α≤180∘，构造出四边形AMCN，连结BM，DN.
(1)探究发现
四边形AMCN是哪种特殊的四边形？请写出你的猜想，并证明.
(2)性质应用
若AC=4，BC=5，设△ABM的面积为S1，△BMC的面积为S2，当MN//BC时，求S1S2的值.
(3)延伸思考
如图2，若四边形ABCD是正方形，当MN经过AB中点时，探究MB，MC，BC三条边存在的等量关系.请给出结论，并说明理由.
24.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB>AC.作∠ACD=∠B，交边AB于点D.以CD为直径作圆，交BC于点E，连结AE交CD于点F.
(1)求证：AC=AE.
(2)若BD=7，DAEA=34，求CE的长？
(3)设AD=kAE(k为常数)，求sin∠ECD的值(用含k的代数式表示).
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵5>2，
∴−5<−2，
∴−5<−2<0<3，
∴最小的数是−5.
故选：C.
根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出答案．
本题考查了有理数的大小比较，掌握正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：610000000=6.1×108，
故选：C.
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、原式=−1+2=1，不合题意；
B、原式=2，不合题意；
C、原式=−3，符合题意；
D、原式=12，不合题意，
故选C
原式各项利用加减乘除法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：在平面直角坐标系中，点A(2,−3)与点B(a,b)关于y轴对称，则a=−2，b=−3.
故选：C.
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求出a、b的值．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
5.【答案】D
【解析】解：A选项，通过扇形图可知喜欢足球的学生占比为25%，而羽毛球的占比为30%，30%>25%，所以A选项错误
B选项，通过扇形图可知，喜欢排球的学生占比为：1−15%−30%−20%−25%=10%，而喜欢篮球的学生占比为15%，10%<15%，所以B选项错误；
C选项，根据给定条件可求出该班学生数量为：12÷30%=40人，40≠36，所以C选项错误；
D选项，根据喜欢乒乓球和喜欢排球人数的占比可知20%÷10%=2，所以最喜欢乒乓球的学生数是最喜欢排球的学生数的2倍，故D选项正确．
故答案为：D.
根据喜欢足球的人数占比和喜欢羽毛球的学生占比，即可判断A选项；
用单位“1”减篮球、羽毛球、乒乓球和足球的学生占比，可得到排球的人数占比，再比较喜欢排球和喜欢篮球的学生占比，即可判断B选项；
根据羽毛球的占比和给定的喜欢羽毛球人数，求出该班学生数量，再和给定的班级总数比较，即可判断C选项；
根据喜欢乒乓球和喜欢排球人数的占比，求出二者的倍数关系，即可判断D选项．
本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6.【答案】A
【解析】解：∵每人出90钱，恰好合适，
∴猪价为90x钱，
根据题意，可列方程为100x−100=90x.
故选：A.
先根据每人出90钱，恰好合适，用x表示出猪价，再根据“每人出100钱，则会多出100钱”，即可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：过点D作DF//BC，
∴∠FDB=∠DBE，
∵AB=AC，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF=∠ACB，
∴∠BFD=∠DCE，
∵BD=DE，
∴∠DBE=∠E=∠FDB，
∴△BDN≌△DEC(AAS)，
∴CE=DF，
∵DF//BC，
∴△ADF∽△ACB，
∴ADAC=DFBC=CEBC，
∵ADAC=x，CEBC=y，
∴y=x.
故选：A.
过点D作DF//BC，证明△BDN≌△DEC，得出CE=DF，再证明△ADF∽△ACB，根据对应边成比例即可解答．
本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：连接BG交EF于点H，
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，
∴∠ABC=90∘，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∵把△BEF沿直线EF折叠，点B落在AC的中点G处，
∴点G与点B关于直线EF对称，BG=AG=CG=12AC=5，
∴EF垂直平分BG，∠HBE=∠BAC，
∴BH=GH=12BG=52，∠BHE=90∘，
∴BHBE=cs∠HBE=cs∠BAC=ABAC=610=35，
∴BE=53BH=53×52=256，
故选：D.
连接BG交EF于点H，由矩形的性质得∠ABC=90∘，则AC= AB2+BC2=10，而G是AC的中点，所以BG=AG=CG=12AC=5，因为EF垂直平分BG，所以BH=GH=52，∠BHE=90∘，由BHBE=cs∠HBE=cs∠BAC=ABAC=35，求得BE=53BH=256，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由题意知：
A.y1=9a+c，y2=a+c，y3=4a+c，y4=16a+c，
若y1y4>0，则(9a+c)(16a+c)>0，即(a+c16)(a+c9)>0，
∴a>0或a<−c9且a<−c16，故选项A错误；
B.若y1y4>0，则(a+c16)(a+c9)<0，
∴−c9C.若y2+y3>0，则a+c+4a+c>0，即5a+2c>0，
∴a>−25c，故选项C正确；
D.若y1y4<0，则(a+c16)(a+c9)<0，
∴−c9故选：C.
将三个点的坐标代入解析式，根据每个选项解不等式即可解答．
本题考查二次函数的图象与性质，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.【答案】π
【解析】解：∵∠B=45∘，
∴∠AOC=2∠B=90∘，
∴AC的长为90π×2180=π.
故答案为：π.
根据圆周角定理求出∠AOC=90∘，再根据弧长公式即可求解．
本题考查了圆周角定理和弧长的计算，关键是熟练掌握圆周角定理和弧长的计算公式．
11.【答案】a2−a
【解析】解：原式=a2−a.
故答案为：a2−a.
原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】4个
【解析】解：13×12=4(个)，
故答案为：4个．
将摸出一个球是红球的概率乘以球的总数即可求出个布袋里红球的个数．
本题考查概率公式，理解题意，掌握概率公式是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90∘，
∵∠P=30∘，
∴OP=2OA=4，
∴PB=OP−OB=4−2=2.
故答案为：2.
根据切线的性质得到∠OAP=90∘，再利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OP=4，然后计算OP−OB即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
14.【答案】50
【解析】解：由作图过程可知，AH为∠BAC的平分线，
∴∠BAH=∠CAH，
∵AB//CD，∠AHD=115∘，
∴∠BAH=180∘−115∘=65∘，
∴∠CAH=65∘，
∴∠C=∠AHD−∠CAH=50∘.
故答案为：50.
由作图过程可知，AH为∠BAC的平分线，则∠BAH=∠CAH，根据平行线的性质可得∠BAH=∠CAH=180∘−115∘=65∘，再由三角形的外角性质可得∠C=∠AHD−∠CAH=50∘.
本题考查作图-基本作图、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的作图方法是解答本题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：设小真购买x支钢笔，则购买(20−x)本笔记本，
根据题意得：8x+3(20−x)≤100，
解得：x≤8，
∴x的最大值为8，即小真最多能买8支钢笔．
故答案为：8.
设小真购买x支钢笔，则购买(20−x)本笔记本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过100元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16.【答案】4 2
【解析】解：连接DE，过点E作DG的垂线，垂足为M，
∵CD是斜边AB上的高线，
∴CD⊥AB，
又∵AE是边BC上的中线，
∴E为BC的中点，
∴DE=12BC=BE=CE.
∵EC=EG，
∴ED=EG.
∵EM⊥DG，
∴DM=GM.
令DM=GM=x，
∵BC=6，
∴BE=CE=3，
∴FG=3−x，FD=3+x.
∵DF//BC，
∴△AGF∽△AEC，
∴GFEC=AFAC.
同理可得，
△ADF∽△ABC，
∴DFBC=AFAC，
∴GFEC=DFBC，
则3−x3=3+x6，
解得x=1，
∴MG=1，FG=3−1=2.
在Rt△EMG中，
EM= 32−12=2 2.
∵EM//AC，
∴△MEG∽△FAG，
∴EMAF=MGAF，
即2 2AF=12，
∴AF=4 2.
故答案为：4 2.
连接DE，过点E作DG的垂线，垂足为M，利用相似三角形的性质，可求出DM及GM的长，最后根据△EMG与△AFG相似，即可求出AF的长．
本题考查直角三角形的性质及三角形的角平分线，中线和高，通过作DF的垂线，构造出相似三角形是解题的关键．
17.【答案】解：正确解法：
原式=2x+3x−2−3x−2
=2xx−2，
当x=4时，原式=2×44−2=4.
【解析】化为同分母后再进行运算即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
18.【答案】(1)证明：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，∠D=∠C=90∘
∵E为CD中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△CEF中，
∠D=∠CDE=CE∠DEA=∠CEF，
∴△ADE≌△CEF(ASA)
∴AE=EF.
(2)解：由(1)△ADE≌△CEF，得出AD=CF，
∵AD=BC，
∴BC=CF=AD，
在Rt△ABF中，
BF= AF2−AB2= 62−42=2 5，
∴AD=12BF= 5.
【解析】(1)根据矩形的性质，得出AD=BC，∠D=∠C=90∘，又因为E为CD中点，得出DE=CE，利用ASA证明△ADE≌△CEF，得出结论；
(2)由(1)△ADE≌△CEF，得出AD=CF，因为AD=BC，得出BC=CF=AD，利用勾股定理求出BF，则进一步可推理出答案．
本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19.【答案】解：(1)∵点A(2,m)在反比例函数图象上，
∴m=82=4，
∴A(2,4)，
∵A(2,4)在直线y2=kx+2图象上，
∴4=2k+2，解得k=1，
∴一次函数解析式为：y2=x+2，
令y2=0，则x=−2，
∴B(−2,0).
(2)根据题意，点B先向右平移t个单位，再向上平移2个单位后得到点的坐标为B′(t−2,2)，
∵B′(t−2,2)在反比例函数图象上，
∴2=8t−2，解得t=6，
经检验t=6是分式方程的解，
∴t=6.
【解析】(1)将A点坐标代入反比例函数解析式求出m值，再将已知的A点坐标代入一次函数解析式求出k值，令y2=0，求出x值，即可得到点B坐标；
(2)根据题意得到平移后点B′的坐标，将坐标代入反比例函数解析式求出t值即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)根据考试成绩未达上限，均按下限评分的原则，
可知立定跳远为1.90米时，她的成绩为8分；
当跳绳成绩为173次时，她的成绩为8.5分；
(6.5+8+8+9.5+10)÷5=8.4(分)，所以跳远成绩的平均分为8.4；
将跳绳成绩从小到大排序为：8.5、8.5、8.5、8.5、9，
成绩为8.5分出现的次数最多，
所以跳绳成绩的众数为8.5.
(2)若我是小雅，你会选择跳绳作为中考项目，
这是因为跳绳成绩平均分大于跳远成绩，且跳绳成绩的数据比跳远成绩的数据波动小，更稳定(答案不唯一).
【解析】(1)根据表格，将小雅立定跳远的距离和跳绳的次数与评分标准进行对比，即可求出a、b的值；再根据平均数和众数的概念，即可解答．
(2)结合数据，合理分析即可．
此题考查了平均数，中位数，众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：(1)过点C作CF⊥DE，垂足为F，延长AB交CF于点G，
由题意得：AG⊥CF，
∴∠AGC=∠CFD=90∘，
∵∠ABC=138∘，
∴∠CBG=180∘−∠ABC=42∘，
∴∠BCG=90∘−∠CBG=48∘，
∵∠BCD=90∘，
∴∠DCF=∠BCD−∠BCG=42∘，
∴∠CDE=90∘−∠DCF=48∘，
∴∠CDE的度数为48∘；
(2)由题意得：AG=EF，
在Rt△CBG中，BC=40厘米，∠BCG=48∘，
∴BG=BC⋅sin48∘≈40×0.743=29.72(厘米)，
在Rt△CDF中，∠CDF=48∘，CD=40厘米，
∴DF=CD⋅cs48∘≈40×0.669=26.76(厘米)，
∵AB=5厘米，
∴DE=DF+EF=DF+AG=DF+BG+AB=26.76+29.72+5≈61.5(厘米)，
∴DE的长约为61.5厘米．
【解析】(1)过点C作CF⊥DE，垂足为F，延长AB交CF于点G，根据题意可得：AG⊥CF，从而根据垂直定义可得∠AGC=∠CFD=90∘，再利用平角定义可得∠CBG=42∘，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCG=48∘，从而可得∠DCF=42∘，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
(2)根据题意可得：AG=EF，然后分别在Rt△CBG和Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出BG和DF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由表格信息可知，抛物线的顶点为(2,2.25)，
∴可设抛物线的解析式为：y=a(x−2)2+2.25，
其图象过点(2.2,2.24)，
∴2.24=a(2.2−2)2+2.25，
解得a=−0.25，
∴y关于x的函数表达式为：y=−0.25(x−2)2+2.25，
当y=0时，0=−0.25(x−2)2+2.25，
解得x1=5，x2=−1<0(舍去)，
故羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离为5米；
(2)∵抛物线的形状和对称轴位置都不变，
∴可设抛物线的解析式为：y=−0.25(x−2)2+k，
∵要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.5米，
∴当y=0时，x=5+0.5=5.5，
∴0=−0.25(5.5−2)2+k，
解得k=3.0625，
∴y=−0.25(x−2)2+3.0625，
当x=0时，y=−0.25(0−2)2+3.0625=2.0625，
∴发球机的弹射口高度OA应调整为2.0625米．
【解析】(1)由y与x的部分对应数据中的表格信息，利用待定系数法即可求出y关于x的函数表达式；由求出的解析式令y=0，求出x的值即可得到羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离；
(2)设新抛物线的解析式，再令y=0，x=(OB+0.5)米，列方程求出函数解析式，再令x=0，求出y值即可求出发球机的弹射口高度OA应调整为多少米．
本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)四边形AMCN为矩形，
证明：四边形形ABCD为菱形，
∴O是AC中点，
∴OA=OC，
由旋转知OM=OA=OC=ON，AC=AN，
∴四边形AMCN为矩形；
(2)连接AB，延长AM交B于G，如图1，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD过AC中点O，且BO⊥AC，
∵AC=4，
∴AO=CO=2，
在Rt△BOC中，
BO= BC2−CO2= 21，
S△BOC=12CO⋅BO= 21，
∴S△ABC=2S△BOC=2 21，
∵MN//BC，
∴S△BMC=S△BOC= 21，
∴S2= 21，
∵OM=OC，
∴∠OMC=∠OCM，
∵MN//BC，
∴∠GCM=∠NMC，
∴∠ACM=∠GCM，
又∵四边形AMCN为矩形，
∴∠AMC=∠GMC=90∘，
CM=CM，
∴△AMC≌△GMC(ASA)，
∴AC=CG=4，AM=MG，
∴S△AMB=S△BMG=12S△ABG，
∴BG=BC−CG=1=15BC，
∴S△ABG=15S△ABC=25 21，
∴S△AMB= 215，
∴S1= 215，
∴S1S2=15；
(3)连接OB，如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
O为AC中点，
∴∠BAC=45∘，OB=OA，∠AOB=90∘，AC2=AB2+BC2=2AB2，
∵MN过AB中点O，
∴OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠BOM，
∵OM=OM，OA=OB，
∴△AOM≌△BOM(SAS)，
∴AM=BM，
由(1)知四边形AMCN为矩形，
∴∠AMC=90∘，
∴AC2=AM2+MC2，
又∵AM=BM，AC2=AB2+BC2=2AB2，
∴2BC2=BM2+MC2.
【解析】(1)四边形形ABCD为菱形，OA=OC，再根据旋转即可证明；
(2)连接AB，延长AM交B于G，根据菱形性质及在Rt△BOC中，BO= BC2−CO2，S△ABC=2S△BOC，S△BMC=S△BOC，进而求出S2，再根据△AMC≌△GMC(ASA)，S△AMB=S△BMG=12S△ABG，S△ABG=15S△ABC，进而求出S1，计算即可；
(3)根据正方形的性质，O为AC中点，推出AC2=AB2+BC2=2AB2，再根据△AOM≌△BOM(SAS)，推出AC2=AM2+MC2，进而作答即可．
本题考查三角形全等，四边形的综合应用，解题的关键是根据菱形矩形和正方形的性质综合三角形全等作辅助线．
24.【答案】证明：(1)∵CD是圆的直径，
∴∠CAD=90∘，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ADC=∠ACB，
∴AC=AE；
(2)解：∵∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC2=AD⋅AB，
∵DAEA=34，
设AD=3x，EA=4x，则AC=4x，
∴16x2=3x⋅(7+3x)，
解得x=3，
∴AD=9，AC=12，
∴BC=20，
过点A作AH⊥BC交于H点，
∴AH=16×1220=485，
∴CH=365，
∴CE=2CH=725；
(3)解：设AE=1，则AD=k，CD= 1+k2，
连接DE，
∴DE⊥CE，
∵∠ADC=∠ACH，
∴△ADC∽△HCA，
∴CH=AD⋅ACCD=k 1+k2，
∴CE=2k 1+k2，
∴DE=1−k2 1+k2，
∴sin∠ECD=1−k21+k2.
【解析】(1)根据等角的余角相等可得∠ADC=∠ACB，再证明AC=AE即可；
(2)设AD=3x，EA=4x，则AC=4x，根据△ACD∽△ABC，可得AC2=AD⋅AB，从而求出x=3，能求出AD=9，AC=12，BC=20，过点A作AH⊥BC交于H点，求出CE=2CH=725；
(3)设AE=1，则AD=k，CD= 1+k2，连接DE，证明△ADC∽△HCA，可求AH=k 1+k2，从而推导出DE=1−k2 1+k2，即可得sin∠ECD=1−k21+k2.
本题考查圆的综合应用，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．题目：先化简，再求值：2x+3x−2+32−x，其中x=4.
错解摘录：
解：去分母得
原式=2x+3−3=2x
当x=4时
原式=2×4=8
订正：
错题反思：分式加减运算时不能“去分母”.可化为同分母后再进行运算.
立定跳远
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
距离(米)
1.78
1.88
1.90
1.98
2.00
成绩(分)
6.5
8
a
9.5
10
跳绳
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
次数(次)
172
178
173
174
172
成绩(分)
8.5
9
b
8.5
8.5
项目成绩(分)
立定跳远(米)
跳绳(次/分)
10
2.00
185
9.5
1.97
180
9
1.94
175
8.5
1.91
170
8
1.88
165
7.5
1.84
160
7
1.80
155
6.5
1.76
150
6
1.72
145
x(米)
…
1.8
2
2.2
2.4
2.6
…
y(米)
…
2.24
2.25
2.24
2.21
2.16
…