2024年浙江省山海联盟中考数学模拟试卷（二）（含详细答案解析）

这是一份2024年浙江省山海联盟中考数学模拟试卷（二）（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.第十九届亚运会在杭州举行，旅游市场活力得到进一步释放.据统计，中秋国庆假期，浙江共接待游客43720000人次.数据43720000用科学记数法表示为( )
A. 0.4372×108B. 43.72×106C. 4.372×107D. 4.372×106
2.如图，是由四个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列运算中，正确的是( )
A. 2a2+a=3a3B. (a−b)2=a2−b2
C. a4b÷a2=a2D. (ab2)2=a2b4
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若BD所对圆心角的度数为80∘，则∠C=( )
A. 110∘
B. 120∘
C. 135∘
D. 140∘
5.若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为5，则数据x1−2，x2−2，x3−2，…，xn−2的方差是( )
A. 1B. 2C. 5D. 15
6.在课题学习《用绳子测量木头长》中，若用一根绳子去量一根木头的长，则绳子还剩余1.2米；若将绳子对折再量木头，则木头还剩余0.3米，问木头长多少米？若设木头长为x米，绳子长为y米，则所列方程组正确的是( )
A. y=x+1.212y=x−0.3B. y=x+1.2y=2x−0.3C. y=x−1.212y=x+0.3D. y=x−1.2y=2x−0.3
7.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AB=AC，D是AC上一点.CE⊥BD交直线BD于点E，且∠AEB=45∘，当BE=7，AE=3 2，点F为BC的中点，连结EF，则EF的长为( )
A. 92 2B. 72 2C. 52 2D. 32 2
8.已知P(x,y)是反比例函数y=6x的图象上的动点，若我们把Q(2y,x3)叫做点P的伴随点，则点Q所在函数的表达式为( )
A. y=6xB. y=xC. y=32xD. y=23x
9.如图，在▱ABCD中，∠A=30∘.利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠ABC内相交于点G；作射线BG交DC于点H.若AD=2 3+2，则BH的长为( )
A. 3+1B. 5C. 2 2D. 2 3
10.已知：m=12a2−a−12(0≤a≤4)，n=4b(1≤b≤4)，m+n=2，则下列说法中正确的是( )
A. n有最大值4，最小值1B. n有最大值3，最小值−32
C. n有最大值3，最小值1D. n有最大值3，最小值52
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：a2−9a=______.
12.在学校举行的“读书节”活动中，提供了四类适合学生阅读的书籍：A.文学类，B.科幻类，C.漫画类，D.数理类.小文同学从A，B，C，D四类书籍中随机选择一类，则选中A类书籍的概率为______.
13.若扇形的圆心角为80∘，半径为 3，则它的面积为______.
14.在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=4，D是AB的中点，则CD的长为______.
15.如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于y轴对称.其中半圆与y轴相交于点D，两支抛物线的顶点分别为E，C，与x轴分别相交于点A，B.已知CE=2，OD=1.9，AB=5，则图案中AE这段抛物线的函数表达式为______.
16.如图1所示为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.现将△BCG向左平移，相应的△CDH和△ABF进行相似变换.如图2，当GE//AD时，已知AE=a，DE=b，则EF=______(结果用含a，b的代数式表示).
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
小海解方程3x−1−1−2xx−1=1的过程如下.请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程.
解：方程两边同乘(x−1)，得3−(1−2x)=1.…①
去括号，得3−1−2x=1.…②
移项，得−2x=1+1−3.…③
合并同类项，得−2x=−1.…④
两边同除以−2，得x=12.…⑤
∴原方程的解为x=12.…⑥
18.(本小题6分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画出以线段AB为一边且面积为12的平行四边形ABCD(点C和点D均在小正方形的顶点上，画出一个即可).
(2)在图2中画出以线段AB为腰，底边长为2 5的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上.再画出该三角形向左平移4个单位后的△A′B′E′(画出一个即可).
19.(本小题8分)
已知：如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC.若DE=CF，连结EF.求证：四边形ABFE是菱形.
20.(本小题8分)
如图，已知反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于A(n−1,yA)，B(n+1,yB)两点，点C(n,yC)在一次函数的图象上，且n>1.
(1)求证：yA+yB=2yC；
(2)比较kn−1+kn+1与2kn的大小关系.
21.(本小题10分)
某校要组织八年级学生进行两天一晚的红色研学活动，向社会公开招标旅行社.前期收到5家旅行社的报价(如图)，经过第一轮筛选后，留下金秋、万事达、太平洋三家旅行社.第二轮要对这三家旅行社从宾馆服务、路线规划、安全措施三方面进行考量，打分如表.
(1)求出图中费用的众数和中位数.
(2)假如你是负责人，请你根据表中三个项目的重要程度，赋予不同的“权”，并通过计算，得出三家旅行社的排名顺序.
22.(本小题10分)
如图，从地面A，B两地测量空中C处一个气球，分别测得仰角为37∘，70∘.已知AB两地相距50m，当气球沿着与AB平行的线路飘移5秒后到达点C′，在B处测得气球的仰角为45∘.求：
(1)气球距离地面的高度.
(2)气球飘移的速度.
(精确到0.01米，参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，sin70∘≈0.94，cs70∘≈0.34，tan70∘≈2.75)
23.(本小题12分)
已知二次函数y=x2−2kx+k−2的图象过点(5,5).
(1)求二次函数的表达式.
(2)若A(x1,y1)和B(x2,y2)都是二次函数图象上的点，且x1+2x2=2，求y1+y2的最小值.
(3)若点P(a,n)和Q(b,n+2)都在二次函数的图象上，且a24.(本小题12分)
在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形.
(1)概念理解：若△ABC为和谐三角形，且∠A<∠B<∠C，则∠A=______ ∘，∠B=______ ∘，∠C=______ ∘.(任意写一种即可)
(2)问题探究：如果在和谐三角形ABC中，∠A<∠B<∠C，那么∠B的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若∠B的度数改变，写出∠B的变化范围；若∠B的度数不变，写出∠B的度数，并说明理由.
(3)拓展延伸：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC为锐角，BD为圆的直径，∠OBC=30∘.过点A作AE⊥BD，交直径BD于点E，交BC于点F，若AF将△ABC分成的两部分的面积之比为1：2，则△ABC一定为和谐三角形吗？”请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：43720000=4.372×107，
故选：C.
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：这个组合体的俯视图为：
故选：A.
画出这个组合体的俯视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确判断的前提．
3.【答案】D
【解析】解：2a2+a不能合并，故选项A错误，不符合题意；
(a−b)2=a2−2ab+b2，故选项B错误，不符合题意；
a4b÷a2=a2b，故选项C错误，不符合题意；
(ab2)2=a2b4，故选项D正确，符合题意；
故选：D.
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：如图，连接OD，
∵BD所对圆心角的度数为80∘，
∴∠BOD=80∘，
由圆周角定理得：∠A=12∠BOD=40∘，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180∘，
∴∠C=180∘−40∘=140∘，
故选：D.
连接OD，根据题意求出∠BOD=80∘，根据圆周角定理求出∠A，再根据圆内接四边形的性质求出∠C.
本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn的方差为5，
∴数据x1−2，x2−2，x3−2，…，xn−2的方差是5.
故选：C.
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都减2，所以波动不会变，方差不变．
此题考查了方差，掌握当数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可得y=x+1.212y=x−0.3，
故选：A.
设设木头长为x米，绳子长为y米，根据“用一根绳子去量一根木头的长，则绳子还剩余1.2米；若将绳子对折再量木头，则木头还剩余0.3米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
7.【答案】C
【解析】解：过点A作AF⊥AE交BE于点F，如下图所示：
∵∠AEB=45∘，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF=AE=3 2，
由勾股定理得：EF= AF2+AE2=6，
∵BF=BE−EF=7−6=1，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAC=∠FAE=90∘，
即∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAE，
∴∠BAF=∠CAE，
在△ABF和△ACE中，
AB=AC∠BAF=∠CAEAF=AE，
∴△ABF≌△ACE(SAS)，
∴BF=CE=1，
∵CE⊥BD交直线BD于点E，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC= BE2+CE2=5 2，
∵点F是Rt△BCE斜边BC的中点，
∴EF=12BC=5 22.
故选：C.
过点A作AF⊥AE交BE于点F，证△AEF为等腰直角三角形，由勾股定理得EF=6，则BF=BE−EF=1，再证△ABF和△ACE全等得BF=CE=1，然后在Rt△BCE中由勾股定理可求出BC=5 2，进而根据直角三角形的性质可得EF的长．
此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形．
8.【答案】B
【解析】解：∵P(x,y)在反比例函数y=6x的图象上，
∴y=6x，
又∵点Q的坐标为(2y,x3)，
∴2y=26x=x3，
所以点Q所在的函数的表达式为y=x.
故选：B.
根据点P在反比例函数图象上得出y=6x，再用x表示y，发现点Q横纵坐标之间的关系即可解决问题．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由作法得BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，∠C=∠A=30∘，BC=AD=2 3+2，
∴∠CHB=∠CBH，
∴BC=HC=2 3+2，
过B点作BM⊥CD于M点，如图，
在Rt△BCM中，∵∠C=30∘，
∴BM=12BC=12(2 3+2)= 3+1，
∴CM= 3BM= 3( 3+1)=3+ 3，
∴HM=CH−CM=2 3+2−(3+ 3)= 3−1，
在Rt△BMH中，BH= HM2+BM2= ( 3−1)2+( 3+1)2=2 2.
故选：C.
利用基本作图可判断BH平分∠ABC，则∠ABH=∠CBH，再根据平行四边形的性质得AB//CD，∠C=∠A=30∘，BC=AD=2 3+2，则可证明∠CHB=∠CBH，所以BC=HC=2 3+2，过B点作BM⊥CD于M点，如图，利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出BM= 3+1，CM=3+ 3，然后利用勾股定理计算BH的长．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
10.【答案】C
【解析】解：由题意，∵m+n=2，
∴n=2−m=2−(12a2−a−12)=−12a2+a+52=−12(a−1)2+3.
又当a=0时，n=52；a=4时，n=−32；a=1时，n取最大值为3.
∴当0≤a≤4时，−32≤n≤3.
∵1≤b≤4，
∴14≤1b≤1.
∴1≤4b≤4.
∴1≤n≤4.
又−32≤n≤3，
∴1≤n≤3.
∴n有最大值3，最小值1.
故选：C.
依据题意，由m+n=2，从而n=2−m=−12(a−1)2+3，进而根据二次函数的性质可得，−32≤n≤3，再结合1≤b≤4，可得1≤n≤4，最后可得n的范围，故可判断得解．
本题主要考查了二次函数的最值，解题时要能熟练掌握并能灵活进行变形配方是关键．
11.【答案】a(a−9)
【解析】解：原式=a(a−9).
故答案为：a(a−9).
原式提取公因式a即可．
此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12.【答案】14
【解析】解：∵小文同学从A，B，C，D四类书籍中随机选择一类，
∴选中A类书籍的概率为14，
故答案为：14.
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
13.【答案】2π3
【解析】解：扇形的面积=80π×( 3)2360=2π3.
故答案为：2π3.
根据扇形的面积公式即可求解．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
14.【答案】 10
【解析】解：方法一：过C作CH⊥AB于H，
∴∠AHC=∠BHC=90∘，
∴AC2−AH2=BC2−BH2=CH2，
∴62−AH2=42−(8−AH)2，
∴AH=214，
∴CH= AC2−AH2=3 154，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=4，
∴DH=54，
∴CD= 10；
方法二：延长CD到E使CD=DE，连接AE，BE，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵CD=DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=BE=6，AE=BC=4，
由阿波罗尼奥斯定理得，AB2+CE2=AC2+BC2+AE2+BE2，
∴82+CE2=2×(62+42)，
∴CE=2 10，
∴CD=12CE= 10，
故答案为： 10.
方法一：过C作CH⊥AB于H，根据勾股定理即可得到结论；
方法二：延长CD到E使CD=DE，连接AE，BE，根据线段中点的定义得到AD=BD，推出四边形ABCD是平行四边形，得到AC=BE=6，AE=BC=4，根据阿波罗尼奥斯定理解方程即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15.【答案】y=−25(x+1)2+910(−52≤x≤−1)
【解析】解：记CE与y轴的交点为F，
∵CE=2，且半圆关于y轴对称，
∴FE=FC=FD=1，
∵OD=1.9，
∴OF=0.9，
则左侧抛物线的顶点E坐标为(−1,0.9)，
将点E(−1,0.9)代入抛物线解析式得：
y=a(x+1)2+910，
∵AB=5，
∴A(−52,0)，
将A点代入抛物线解析式得：a=−25，
∴y=−25(x+1)2+910，
故答案为：y=−25(x+1)2+910(−52≤x≤−1).
记CE与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径CE=2，OD=1.9，得出点E(−1,−0.9)，由AB=5确定出A点坐标，将点A坐标代入左侧抛物线解析式y=a(x+1)2−0.9，求出a的值即可得出答案．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据轴对称图形的性质得出点E坐标及待定系数法求函数解析式的能力．
16.【答案】ab2−a3a2+b2
【解析】解：由图形变换可知，在图2中，四边形ABCD为矩形，△AED≌△CGB，△CHD≌△AFB，△AED∽△DHC，△AFB≌△BGC，
∵AD//EG，
∴∠GEF=∠DAE，
∴tan∠GEF=tan∠DAE=DEAE=ba，
∵△AED≌△CGB，
∴BG=DC=b，CG=AE=a，
∵△CHD≌△AFB，
∴设DH=BF=x，则HE=GF=b−x，
∵tan∠GEF=GFEF=ba，
∴EF=abGF=ab(b−x)=a−abx，
∵△AED∽△DHC，
∴AEDH=DECH，即：CH=DH⋅DEAE=bxa，
∵△CHD≌△AFB，
∴AF=CH=abx，
∴EF=AF−AE=abx−a，
∴a−abx=abx−a，解得：x=2a2ba2+b2，
∴EF=a−abx=a−ab⋅2a2ba2+b2=ab2−a3a2+b2.
故答案为：ab2−a3a2+b2.
根据平移的性质可得△AED≌△CGB，△CHD≌△AFB，△AED∽△DHC，△AFB≌△BGC，在根据正切的定义可得tan∠GEF=tan∠DAE=DEAE=ba，在根据全等三角形的性质可得BG=DC=b，CG=AE=a，DH=BF=x，则HE=GF=b−x，进而得到EF=abGF=ab(b−x)=a−abx；在根据相似三角形的性质可得CH=DH⋅DEAE=bxa，AF=CH=abx，进而得到EF=AF−AE=abx−a，即a−abx=abx−a可得x=2a2ba2+b2，最后代入EF=abx−a即可解答．
本题主要考查了平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
17.【答案】解：第①步中，方程的右边漏乘(x−1)，第②步中，去括号时，由于括号前是负号，去括号未变号，第⑥步前，未进行检验就直接写出了答案；
正确的解法如下：
方程两边同乘(x−1)，得3−(1−2x)=x−1，
去括号，得3−1+2x=x−1，
移项，得2x−x=−1+1−3，
合并同类项，得x=−3，
经检验x=−3是原方程的解，
所以原方程的解为x=−3.
【解析】根据分式方程的解法步骤逐步进行判断即可．
本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键．
18.【答案】解：(1)如图1，平行四边形ABCD即为所求(答案不唯一).
(2)如图2，等腰三角形ABE和△A′B′E′即为所求(答案不唯一).

【解析】(1)根据平行四边形的判定按要求画图即可．
(2)根据等腰三角形的判定、勾股定理、平移的性质分别画图即可．
本题考查作图-平移变换、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握平移的性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理是解答本题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
又∵DE=CF，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【解析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可得AB=AE，可得结论．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，角平分线的定义等知识，证明AB=AE是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵点A(n−1,yA)，B(n+1,yB)，C(n,yC)在一次函数y=ax+b的图象上，
∴yA=a(n−1)+b.yB=a(n+1)+b，yC=an+b，
∴yA+yB=a(n−1)+b+a(n+1)+b=2(an+b)=2yC，
∴yA+yB=2yC；
(2)如图示，点C为线段AB的中点，由(1)可知yA+yB=2yC；
∵yA+yB=kn−1+kn+1，yC>yD=kn，
∴2yC>2yD=2kn，
∴kn−1+kn+1>2kn，
【解析】(1)将点A(n−1,yA)，B(n+1,yB)，C(n,yC)代入一次函数y=ax+b即可证明；
(2)通过数形结合和反比例函数图象上点的坐标特征比较大小即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握解答坐标满足两个函数解析式是关键．
21.【答案】解：(1)将图中费用重新排列为：570、580、600、600、620，
所以其众数为600元，中位数为600元；
(2)将宾馆服务、路线规划、安全措施赋予不同的“权”为：4：3：3，
则金秋旅行社的最终得分为85×4+90×3+90×310=88(分)，
万事达旅行社的最终得分为95×4+85×3+80×310=87.5(分)，
太平洋旅行社的最终得分为90×4+88×3+85×310=87.9(分)，
∵88>87.9>87.5，
∴从高到低排名顺序为：金秋、太平洋、万事达(答案不唯一).
【解析】(1)根据中位数和众数的定义求解即可；
(2)依据加权平均数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数及加权平均数的定义．
22.【答案】解：(1)过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
设BD=xm，
∵AB=50m，
∴AD=AB+BD=(50+x)m，
在Rt△ACD中，∠CAD=37∘，
∴CD=AD⋅tan37∘≈0.75(x+50)m，
在Rt△BCD中，∠CBD=70∘，
∴CD=BC⋅tan70∘≈2.75x(m)，
∴2.75x=0.75(x+50)，
解得：x=18.75，
∴CD=2.75x≈51.56(m)，
∴气球距离地面的高度约为51.56m；
(2)过点C′作C′E⊥AB，交AB的延长线于点E，
由题意得：CD=C′E=51.5625m，CC′=DE，
在Rt△BEC′中，∠C′BE=45∘，
∴BE=C′Etan45∘=51.5625(m)，
∵BD=18.75m，
∴DE=CC′=BE−BD=51.5625−18.75=32.8125(m)，
∴气球飘移的速度=32.8125÷5=6.5625≈6.56(m/s)，
∴气球飘移的速度约为6.56m/s.
【解析】(1)过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，然后设BD=xm，则AD=(50+x)m，分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答；
(2)过点C′作C′E⊥AB，交AB的延长线于点E，根据题意可得：CD=C′E=51.5625m，CC′=DE，然后在Rt△BEC′中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而求出DE的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵二次函数y=x2−2kx+k−2的图象过点(5,5)，
∴5=25−10k+k−2，
∴k=2，
∴二次函数的表达式为y=x2−4x；
(2)∵A(x1,y1)和B(x2,y2)都是二次函数图象上的点，
∴y1=x12−4x1，y2=x22−4x2，
∴y1+y2=x12−4x1+x22−4x2，
∵x1+2x2=2，
∴x1=2−2x2，
∴y1+y2
=x12−4x1+x22−4x2
=(2−2x2)2−4(2−2x2)+x22−4x2
=5x22−4x2−4
=5(x2−25)2−245，
∵5>0，
∴y1+y2的最小值是−245；
(3)∵抛物线y=x2−4x=(x−2)2−4，
∴t图象开口向上，对称轴为直线x=2，
∵点P(a,n)和Q(b,n+2)都在二次函数的图象上，且a∴点P(a,n)和Q(b,n+2)在对称轴的右侧，此时b−a=1，则b=a+1，
∴a2−4a=n①，(a+1)2−4(a+1)=n+2②，
②-①得a=52，
∴b=a+1=72，
∴此时点P(52,n)和Q(72,n+2)，
当点P是点(52,n)的对称点时，则b−a的值最大，
∵对称轴为直线x=2，
∴点(52,n)的对称点为(32,n)，
∴此时a=32，
∴b−a的最大值为：72−32=2.
【解析】(1)利用待定系数法即可求解；
(2)根据图象上点的坐标特征得出y1+y2=x12−4x1+x22−4x2，由x1+2x2=2可知x1=2−2x2，即可求得y1+y2=x12−4x1+x22−4x2=5(x2−25)2−245，利用二次函数的性质即可求得最小值；
(3)由题意可知当点P(a,n)和Q(b,n+2)在对称轴的同侧时b−a的值最小，当点P(a,n)和Q(b,n+2)在异侧是b−a的值最大，据此求解即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
24.【答案】30 60 90
【解析】解：(1)由题意得：设∠A：∠B：∠C=(n−1)：n：(n+1)，其中n≥2，n为正整数，
∴∠B=180∘×n(n−1)+n+(n+1)=180∘×13=60∘.
可设n=2，由∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠A=16×180∘=30∘ ∠C=36×180∘=90∘.
故答案为：30；60；90.
(2)∠B的度数不变．由题意得：设∠A：∠B：∠C=(n−1)：n：(n+1)，其中n≥2，n为正整数，
∴∠B=180∘×n(n−1)+n+(n+1)=180∘×13=60∘.
∴∠B的度数不变，且∠B=60∘.
(3)△ABC一定为和谐三角形．理由如下：分两种情况讨论：
①当S△ACF=2S△ABF 时，如图1，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G.
由OA=OB=OC=r，∠OBC=30∘，可得∠OCB=30∘，∠BOC=180∘−30∘−30∘=120∘.
∴OG=12r,BG=CG=OB⋅cs30∘= 32r2.
∴BC=2BG= 3r.
∵BC=BC，
∴∠BAC=12∠BOC=60∘.
又∵S△ACF=2S△ABF，
∴CF=2BF.
∴BF=13BC= 33r.
∵AF⊥BD，∠OBC=30∘，
∴∠AFB=60∘=∠BAC.
又∵∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA.
∴AB2=BF⋅BC.
∴AB2= 33r⋅ 3r.
∴解得：AB=r.
∴△AOB为等边三角形．
∵AB=AB，
∴∠ACB=12∠AOB=30∘.
∴∠ABC=90∘.
∵30∘：60∘：90∘=1：2：3，
∴△ABC为和谐三角形．
②当S△ABF=2S△ACF 时，如图2，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G.
同理可得OA=OB=OC=r，BC= 3r∠BAC=60∘，
BF=23BC=2 33r，△ABF∽△CBA，
∴AB2=BF⋅BC.
∴AB= 2r.
∴△AOB为等腰直角三角形．
∴∠ACB=12∠AOB=45∘.
∴∠ABC=75∘.
∵45∘：60∘：75∘=3：4：5，
∴△ABC为和谐三角形．
综上所述，△ABC一定为和谐三角形．
(1)依据题意，设∠A：∠B：∠C=(n−1)：n：(n+1)，其中n≥2，n为正整数，从而∠B=180∘×n(n−1)+n+(n+1)=180∘×13=60∘，再设n=2，由∠A：∠B：∠C=1：2：3，故可得∠A=16×180∘=30∘，∠C=36×180∘=90∘，进而可以得解；
(2)依据题意，设∠A：∠B：∠C=(n−1)：n：(n+1)，其中n≥2，n为正整数，从而可得∠B=180∘×n(n−1)+n+(n+1)=180∘×13=60∘，进而可以得解；
(3)依据题意，结合所给和谐三角形的定义可分两种情况讨论：①当S△ACF=2S△ABF 时，如图1，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G.由OA=OB=OC=r，∠OBC=30∘，可得∠OCB=30∘，∠BOC=180∘−30∘−30∘=120∘，从而OG=12r,BG=CG=OB⋅cs30∘= 32r2，故BC=2BG= 3r，进而可得∠BAC=12∠BOC=60∘.
又∵S△ACF=2S△ABF，则CF=2BF，即BF=13BC= 33r，结合AF⊥BD，∠OBC=30∘，可得∠AFB=60∘=∠BAC，又∠ABF=∠CBA，故△ABF∽△CBA，进而AB2=BF⋅BC，从而AB2= 33r⋅ 3r，解得AB=r，则△AOB为等边三角形，可得∠ACB=12∠AOB=30∘，最后求出∠ABC=90∘，即可判断得解；
②当S△ABF=2S△ACF 时，如图2，连结OA，OC，过点O作OG⊥BC于点G，同理可得OA=OB=OC=r，BC= 3r，∠BAC=60∘，从而BF=23BC=2 33r，△ABF∽△CBA，故AB2=BF⋅BC，AB= 2r.进而△AOB为等腰直角三角形，则∠ACB=12∠AOB=45∘，从而∠ABC=75∘，由45∘：60∘：75∘=3：4：5，进而可以判断得解．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理及三角形相似判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．项目
旅行社
宾馆服务
路线规划
安全措施
金秋
85
90
90
万事达
95
85
80
太平洋
90
88
85