2023年浙江省温州市瓯海区联盟学校中考数学冲刺试卷（含解析）

2023年浙江省温州市瓯海区联盟学校中考数学冲刺试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的几何体，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  某校九年级学生视力情况的统计图如图所示．若九年级近视的学生人数有名，则九年级学生视力正常的有(    )

A. 名
B. 名
C. 名
D. 名

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的一元二次方程有两个相等的实数根，的取值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，是的直径，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知点，在二次函数的图象上，若，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 着，则

10.  如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长交于点，若平分，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  因式分解：____________．

12.  计算：______．

13.  某射击运动员射击次的成绩统计如下：

则该射击运动员的平均成绩为______环．

14.  如图是一副制作弯形管道的示意图，工人师傅需要先按中心线计算“展直长度”再施工，半径，，则这段管道的长为______ ．

15.  如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是边的中点，则线段的长是______ ．

16.  如图，在中，，，是中线，，分别是，上的动点，且，的延长线分别与，交于点，．
______ ．
若，连接，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解不等式组．

18.  本小题分
如图，是由边长为的小正方形构成的的网格图，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹．

在图中画一个平行四边形，要求一条边长为且面积为；
在图中画一个矩形，要求一条边长为且面积为．

19.  本小题分
学校为了解九年级学生中考体育成绩的情况，从九年级学生中随机抽取男生、女生各名学生进行考前检测，这些学生的成绩记为成绩为整数，单位：分，满分为分，将所得的数据分为个等次：等：；等：；等：；等：学校对数据进行分析后，得到了如下部分信息：男生成绩在这一组的数据是：，，，；
男生成绩的频数统计表

女生成绩是：，，，，，，，，，；
抽取的男生和女生中考体育测试成绩的平均数、中位数、众数如下表：

请根据以上信息解答下列问题：
______ ； ______ ； ______ ；
请选取一个统计量对该校九年级男生与女生的中考体育测试成绩进行评价，并说明理由；
若该校九年级共有名学生，请估计这次中考体育测试成绩为等次的人数．

20.  本小题分
如图，在中，，是边上的中点，连结，平分交于点．
过点作交于点，求证：．
若，求的度数．

21.  本小题分
已知反比例函数的图象的左支如图所示，它经过点．
求这个反比例函数的表达式补画这个反比例函数图象的另一支．
当，且时，求自变量的取值范围．

22.  本小题分
如图，在中，是上的一点，延长至，使，连结、．
当时，求证：四边形是平行四边形．
过作交于，连结，若，，，求的长．

23.  本小题分

24.  本小题分
如图，点在线段上，，点是线段上一动点，以为边向下方作正方形，以为腰向下方作等腰直角三角形，，当时，．
如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求的长，请你将解答过程补充完整．

过点，，的交边于点．
连结，，若是等腰三角形，求的长．
当与边有两个交点时，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

，
故选：．
根据有理数的加法法则计算即可．
本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：被调查的总人数为人，
九年级学生视力正常的有人，
故选：．
先由近视的学生人数及其所占百分比求出总人数，再用总人数乘以对应的百分比可得答案．
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，本选项错误；
B、，本选项错误；
C、，本选项错误；
D、，本选项正确；
故选D．
根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，逐一检验．
本题考查了同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则．关键是熟练掌握每个法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲与乙恰好被选中的结果有种，
甲与乙恰好被选中的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲与乙恰好被选中的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
根据根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
又，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由是的直径，，可得，根据同弧所对的圆周角相等求出得，从而得到，根据等腰求出，再加上的度数即可．
本题考查圆周角定理，解题的关键是抓住两个特殊三角形：等腰和等腰直角．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数的正负情况分情况讨论．
分和两种情况，根据二次函数的对称性确定出与的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：时，二次函数图象开口向上，
，
，
无法确定的正负情况，
，
时，二次函数图象开口向下，
，
，
无法确定的正负情况，
，
综上所述，表达式正确的是．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，若，则，

故A选项错误；
如图所示，若，则或，

故B选项错误；
如图所示，若，则，

故C选项正确，选项错误；
故选：．
根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作，设，，

平分，
，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
即，
解得：，
，
∽，
，
故选：．
过点作，设，，先证得，可得，再证∽，可得，即，解出，再证∽，列比例式求解即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．
观察原式，找到公因式，提出后再对括号内运用平方差公式分解即可得出答案．
【解答】
解：

．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：环，
故答案为：．
利用加权平均数的定义列式计算可得．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，半径，，
则．
故答案为：．
利用弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，代入计算即可．
本题考查了弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握弧长公式的形式，也要知道每个字母所表示的含义，难度一般．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，交于，

四边形是正方形，
，，
点是的中点，
，
在中，，
，
∽，
，
，
，
，
，
是正方形的对角线，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，即，
，
，
，
，
，
≌，
，
是等腰直角三角形，
，
将沿翻折，得到，
，，
，
．
故答案为：．
过点作于，交于，利用勾股定理求出，再证明∽，得出，进而求得，可证得≌，得出，推出是等腰直角三角形，进而得出，由翻折得出：，，可得，再运用勾股定理即可得出答案．
本题是几何综合题，也是常见的中考数学填空压轴题，有一定难度，主要考查了正方形的性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：，是中线，
，
，
，是的中线，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故答案为：；
取的中点，的中点，连接、，，

，是的中线，，
，
由，
，
，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
线段的最小值为，
故答案为：．
证明，，再证明≌，可得，再利用三角形的内角和定理可得结论；
取的中点，的中点，连接、，，由，证明，，，，可得，，由，可得，从而可得答案．
此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、三角形的中位线定理、勾股定理、两点之间线段最短，平行线分线段成比例等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
解不等式，得，，
解不等式，去分母得，，
移项，合并同类项得，，
故不等式组的解集为：． 

【解析】先计算算术平方根、乘方、负整数指数幂和绝对值，再计算加减即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：如图：

▱即为所求；
矩形即为所求． 

【解析】根据勾股定理及平行四边形的面积作图；
根据矩形的面积求出高，再作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握平行四边形的面积公式和性质是解题的关键．
 

19.【答案】     

【解析】解：女生成绩是：，，，，，，，，，，
平均数；
由男生成绩的频数统计表可得：等人数有人，等人数有人，男生成绩在这一组的数据是：，，，，
中位数；
由男生成绩的频数统计表可得：等人数有人，
频率；
本题答案不唯一，如：因为男生与女生的平均数相等，所以在中考体育测试中男生与女生的成绩相当；因为女生的中位数大于男生的中位数，所以在中考体育测试中女生的成绩较好；
人．
答：估计这次中考体育测试成绩为等次的人数为人．
根据平均数，中位数，频率的计算公式求解即可；
从平均数的角度或者中位数的角度讨论即可；
用抽取人中获得等次人数的频率．
本题考查统计的相关内容，灵活运用所学知识是解题关键．
 

20.【答案】证明：平分，
，即，
，
，
，
．
解：，是边上的中点，
，，
，
，
的度数是． 

【解析】由平分得，由，得，则，所以；
由，是边上的中点，得，，则，所以．
此题重点考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明及是解题的关键．
 

21.【答案】解：把点代入，得，
解得：，
反比例函数的表达式为，
补充其函数图象如下：

当时，，
解得：，
当，且时，或． 

【解析】利用待定系数法求函数解析式，利用描点法补充函数图象；
利用数形结合思想确定关键点，从而求得相应的自变量的取值范围．
本题考查反比例函数图象，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法及反比例函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
 

22.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：，，，
，，，
，
，
，
，
由可知，四边形是平行四边形，
，
，
即的长为． 

【解析】证≌，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
由线段垂直平分线的性质得，则，再由锐角三角函数定义得，则，然后由平行四边形的性质得，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：任务：以为原点，以所在直线为轴，以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，
顶点为，
抛物线过，
设抛物线的解析式为：，
把代入解析式得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
任务：
普通货车的高度大约为 ，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ，
当悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，
，
悬挂点的横坐标的取值范围是：；
任务：
方案一：如图坐标轴的横轴，从顶点处开始悬挂灯带，

，相邻两盏灯带悬挂点的水平间距均为，
若顶点一侧悬挂条灯带时，，
若顶点一侧悬挂条灯带时，，
顶点一侧最多悬挂条灯带，
灯挂满后成轴对称分布，
共可挂条灯带，
最右边一条灯带的横坐标为：；
方案二：如图，

若顶点一侧悬挂条灯带时，，
若顶点一侧悬挂条灯带时，，
顶点一侧最多悬挂条灯带，
灯挂满后成轴对称分布，
共可挂条灯带，
最右边一条灯带的横坐标为：．
综上，挂条或条，最右边一条灯带安装点的横坐标分别为和． 

【解析】任务：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
任务：根据普通货车的高度大约为 ，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ，计算悬挂点的纵坐标的最小值是；
任务：两种方案：分别挂条和条．
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．
 

24.【答案】解：探究：，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
．
探究：，，
，
四边形是正方形，，
，
是等腰直角三角形，，
，
；
是等腰三角形，
Ⅰ当时，如图，
则，
，
．
，
，
四边形为矩形，
．
；
Ⅱ当时，则，此种情形不存在．
Ⅲ当时，
过点作于点，于点，如图，

，
．
．
．
，，，
四边形为矩形，
，．
连接，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
．
．
．
综上，是等腰三角形，的长为或；
当点在上时，连接，，如图，

设，则，，，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
，
，
．
，
∽，
，
，
解得：或舍去，
当与边相切于点时，
连接，，作交于点，作，，如图，

，
为的直径，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，．
设，则．
，，
，．
，
与相切，
．
，
，
为等腰直角三角形，
．
在中，
．
，
，
，
解得：．
，，
，
，
．
．
与边有两个交点，
的取值范围为． 

【解析】依据题干中给出的方法，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：Ⅰ当时，利用等腰直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可；Ⅱ当时，则，此种情形不存在；Ⅲ当时，过点作于点，于点，利用等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，求得，在中求得，则可得；
若与边有两个交点，求得当点在上时，和当与边相切于点时这两个临界值即可：当点在上时，连接，，设，则，，，，利用相似三角形的判定与性质求得值；当与边相切于点时，连接，，作交于点，作，，设，则，，，利用同圆的半径相等和勾股定理列出关于的方程，解方程求得值，则．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，分类讨论的思想方法，本题综合性较强，依据题意添加适当的辅助线是解题的关键．