2023年浙江省杭州市拱墅区公益中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年浙江省杭州市拱墅区公益中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，属于轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  新型冠状病毒的直径大约为米，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  “是实数，”这一事件是(    )

A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件

4.  已知实数，，，下列结论中一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  底面半径为，高为的圆锥的侧面展开图的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有这样一题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价格是多少？设共有个人，该物品价格是元，则下列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，点在边上，线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处如果，那么与满足的关系式是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，，，以为边作一个等边三角形，将四边形折叠，使与重合，为折痕，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知二次函数为常数经过点，一元二次方程的两个解为，，当时，则的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  ______．

12.  若边形的每一个外角都是，则的值为______．

13.  不透明袋子中装有个红球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机摸出个球，摸出一红球一黄球的概率是______ ．

14.  如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则 ______ ．

15.  以初速度单位：从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度单位：与小球的运动时间单位：之间的关系式是现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为，经过时间落回地面，运动过程中小球的最大高度为如图；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为，经过时间落回地面，运动过程中小球的最大高度为如图若，则： ______ ．

 

16.  如图，已知是的直径，弦于点，点是劣弧上任意一点不与点，重合，交于点，与的延长线相交于点，设．
则 ______ ，用含的代数式表示；
当时，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
以下是小滨在解方程时的解答过程．
解原方程可化为，
解得原方程的解是．
小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

18.  本小题分
农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高单位：进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图和图．

请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ本次抽取的麦苗的株数为______，图中的值为______；
Ⅱ求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．

19.  本小题分
如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边、分别相交于点、，且．
求证：；
当，时，求的长．

20.  本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交．
判断是否经过点．
若的图象过点，且．
求的函数表达式．
当时，比较，的大小．

21.  本小题分
在中，，分别是，的中点，延长至点，使得，连结．
求证：四边形是平行四边形．
于点，连结，若是的中点，，，
求的度数；
求平行四边形的周长．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，当和时，二次函数是常数，的函数值相等．
若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．
记中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．

23.  本小题分
如图，在中，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点，连接，．
图中，求证：；
当绕点旋转到如图所示的位置时，
是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；
若：：，和的面积分别是，，的面积为，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、、不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：为实数，，是一定成立的问题，是必然事件．
故选：．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别．根据实际情况即可解答．
本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，如，但，那么不正确，故A不符合题意．
B.由，如，但，那么不正确，故B不符合题意．
C.由，如，但，那么不正确，故C不符合题意．
D.由，则，那么C正确，故D符合题意．
故选：．
根据绝对值的定义、乘方的定义、实数大小关系解决此题．
本题主要考查绝对值、乘方、实数大小比较，熟练掌握绝对值的定义、乘方的定义、实数大小关系是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据平方差公式和已知条件即可得出结果．
本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，高为，
圆锥的母线为，
圆锥的侧面展开图的面积为，
故选：．
先求出圆锥的母线，再根据圆锥的侧面展开图的面积列式计算即可．
本题考查圆锥的计算，解题的关键是求出圆锥的母线和掌握圆锥的侧面展开图的面积公式．
 

7.【答案】 

【解析】解：若设有人，物品价值元，根据题意，可列方程组为，
故选：．
根据“人数物品价值、物品价值人数”可得方程组．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，
线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处，
，
，
，，
，
，
，
即，
，，
，
即．
故选：．
过点作于点，如图，先利用旋转的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，接着利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用等线段代换得到，从而得到．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：过作交延长线于，过作于，如图：

，，
，
在中，，，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：，即，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
设，则，，，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
在中，
，
故选：．
过作交延长线于，过作于，设，在中，可得，解得，即得，，，由，可得，设，在中，有，解得，故DK，，在中，．
本题考查直角三角形，等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握含角的直角三角形三边的关系，能熟练应用勾股定理解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知抛物线经过点和，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线为，
一元二次方程的两个解为，，
抛物线经过点和，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据题意求出抛物线的对称轴，从而求出的值，根据抛物线的对称性得出，即可得到，代入不等式，即可解得的取值范围，根据图象上点的特征即可解答．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的性质，熟悉二次函数的对称性是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值进行求解是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：边形的每一个外角都是，
此边形是正边形，
，
故答案为：．
先判断出此多边形是正多边形，然后根据正多边形的边数等于除以每一个外角的度数计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正多边形的边数、每一个外角的度数、外角和三者之间的关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中摸出一红球一黄球的结果有种，
摸出一红球一黄球的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中摸出一红球一黄球的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：由作法设，，，
，，，
由勾股定理可得，
，
，
．
故答案为：．
由作法得，，先利用勾股定理计算出，则，所以，然后计算的值．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
利用，求出，，再根据，求出，可得结论．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出，，证明即可．
【解答】
解：由题意，，，，，
，
，
：，
故答案为：．  

16.【答案】  

【解析】解：连接，，，
弦于点，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
，
，
，
，
，
，
∽，
：：，
直径，
，
：：，
设圆的半径是，，
，，
：：，
，
，
，，
．
故答案为：．
连接，，，由线段垂直平分线的性质得到是等边三角形，由圆周角定理得到，由直角三角形的性质即可求出．
设圆的半径是，，由，求出，得到，因此，推出∽，得到：：，代入有关数据即可求出的长，得到，的长，即可得到答案．
本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明∽，求出与半径的数量关系，从而解决问题．
 

17.【答案】解：小滨的解答有错误，忽略了的情况，
正确的解答为：
方程可化为：，
移项得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，． 

【解析】有错误，忽略了的情况，写出正确的解答过程即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：Ⅰ，；
Ⅱ平均数是：，
众数是，
中位数是． 

【解析】

【分析】
本题考查条形统计图、扇形统计图、算数平均数、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
Ⅰ根据长的株数和所占的百分比，可以求得本次抽取的麦苗的株数，再根据扇形统计图中的数据，可以计算出的值；
Ⅱ根据条形统计图中的数据，可以计算出平均数，写出众数和中位数．
【解答】
解：Ⅰ本次抽取的麦苗有：株，
，
故答案为：，；
Ⅱ见答案．  

19.【答案】证明：连接，，

，
，
，
，
，
，
，
与边相切于点，
，
，
；

解：在，，，，
，
，
设的半径为，则，
在中，，
，
． 

【解析】连接，，因为，所以，从而易证，所以，从可证明；
设的半径为，则，在中，由求得，，从而可求出的值．
本题考查了平行线的判定与性质，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
 

20.【答案】解：点满足反比例函数的关系式，
因此经过点．
把代入一次函数得，，
又，
解得：，，
的函数表达式为．
由函数的图象可知：当时，，当时，． 

【解析】把点的坐标代入反比例函数的关系式，若满足，点在图象上，否则不在函数的图象上，
把代入一次函数的关系式，得到一个方程，再与联立方程组求出、的值，确定函数关系式，
根据图象交点坐标以及函数的增减性进行判断，当自变量在不同取值范围时，两个函数的值的大小不同，
考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法，也是最基本的方法．
 

21.【答案】证明：，分别是，的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
解：设与交于点，

是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，，
设，则，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
平行四边形的周长． 

【解析】根据三角形中位线定理证明，，进而可以解决问题；
设与交于点，设，则，证明∽，得，所以，，由，得，然后证明是等腰直角三角形，即可得答案；
利用勾股定理求出值，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到∽．
 

22.【答案】解：当和时，的函数值相等，
该二次函数图象的对称轴为直线，
又该函数的最大值为，
故可设函数解析式为，即，
，
解得，
该函数的表达式为，
图象的顶点坐标为；
二次函数的图象与轴有且只有一个交点，
二次方程满足，
又，
，
把代入得，
，
解得舍去或，
；
由可知，，
将抛物线向上平移个单位得到抛物线，
即，
由于时，抛物线的最大值与最小值之差为，因此分以下情况讨论：
当时，
，，
，即，
解得： 不合题意，舍去
，
当时，
，，显然，故不合题意，
当时，
，
，即，
解得：， 两解均不合题意，故舍去，
综上：． 

【解析】根据当和时，的函数值相等，求出抛物线对称轴，再根据该函数的最大值为，写出抛物线解析式的顶点式，再把解析式化为一般式比较系数即可；
根据函数的图象与轴有且只有一个交点，得出二次方程的判别式，再根据对称轴为，从而解得，的值；
根据得出抛物线解析式，再根据平移的性质得出平移后的解析式，再分三种情况讨论．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换等知识，关键是对知识的掌握和运用．
 

23.【答案】解：如图，在中，，点、分别在边、上，，
，
即，
点、、分别为、、的中点，
，，
，

仍然成立，
如图，连接，，由题意知，，，
≌，
，
点、、分别为、、的中点，
，分别是和的中位线，
，，
；
如图中，：：，
∽，
，
，
，，
，，
∽，
，
，同法可得，
≌，
，
，
，
．
故答案为：． 

【解析】利用等腰三角形的性质以及三角形的中位线定理解决问题即可．
证明≌，推出，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
由≌，推出，推出，求出，，的面积即可解决问题．
此题属于几何变换综合题，考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．