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2024年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春旗中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春旗中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为( )
A. 0.675×105B. 6.75×104C. 67.5×103D. 675×102
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.如图是用五个相同的立方块搭成的几何体，其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.则该矩形草坪BC边的长是( )
A. 12
B. 18
C. 20
D. 12或20
5.某篮球队12名队员的年龄如表：
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是( )
A. 18，19B. 19，19C. 18，19.5D. 19，19.5
6.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1,3)，与x轴的一个交点B(4,0)，有下列结论：①2a+b=0，②abc>0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，④当y<0时，−2A. ②③
B. ①③
C. ①③④
D. ①②③④
7.下列各式计算正确的是( )
A. (a−b)2=a2−b2B. (−a4)3=a7
C. 2a⋅(−3b)=6abD. a5÷a4=a(a≠0)
8.以下说法正确的有( )
①正八边形的每个内角都是135°
② 27与 13是同类二次根式
③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°
④反比例函数y=−2x，当x<0时，y随x的增大而增大．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是( )
A. 2000x−2000x+50=2B. 2000x+50−2000x=2
C. 2000x−2000x−50=2D. 2000x−50−2000x=2
10.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )
A. B. C. D.
11.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE=40°，则∠DBC=度．( )
A. 15
B. 30
C. 20
D. 40
12.如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，若MN=2 2，AB=1，则△PAB周长的最小值是( )
A. 2 2+1
B. 2+1
C. 2
D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.分解因式：x3−2x2y+xy2=______．
14.函数y=2x−1+ x+2中，自变量x的取值范围为______．
15.如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=kx (x>0)经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D.若S△OCD=9，则S△OBD的值为_________．
16.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是______cm2(结果保留π)．
17.如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1.先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为______．
三、计算题：本大题共1小题，共13分。
18.如图，顶点坐标为(2,−1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于A、B两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：2sin60°+(−12)−2−(π−3.14)0−|1− 3|．
20.(本小题6分)
如果实数x满足x2+2x−3=0，求代数式的值(x2x+1+2)÷2x−2x2−1．
21.(本小题6分)
如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB=AE=10米．求标识牌CD的高．
22.(本小题6分)
在一个不透明的盒子里放有三张卡片，每张卡片上有一个实数，分别是4， 3， 3+5(卡片除了实数不同外，其余均相同)
(1)从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率．
(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数，卡片不放回；再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或者树形图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数的概率．
23.(本小题7分)
某校为提高学生身体素质，决定开展足球、篮球、排球、乒乓球四项课外体育活动，并要求学生必须并且只能选择一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题．(要求写出简要的解答过程)
(1)这次活动一共调查了多少名学生？
(2)补全条形统计图．
(3)若该学校总人数是1300人，请估计选择篮球项目的学生人数．
24.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，∠B=60°，AC=BC，点E在AB上，将CE绕点C顺时针旋转60°得CF，且点F在AD上．
(1)求证：AF=BE；
(2)若AE=DF，求证：四边形ABCD是菱形；
(3)若BC=2 3，求四边形AFCE的面积．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
(1)求证：直线DF是⊙O的切线；
(2)求证：BC2=4CF⋅AB；
(3)若⊙O的半径为2，∠CDF=22.5°，求图中阴影部分的面积．
26.(本小题9分)
为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
(1)求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？
(3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：将67500用科学记数法表示为：6.75×104．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】B
【解析】解：从左到右第一个图形是中心对称图形，不是对称轴图形；第二个图形不是中心对称图形，是对称轴图形；第三和第四法图形既是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】D
【解析】解：从正面看：上边一层最右边有1个正方形，
下边一层有3个正方形．
故选：D．
根据三视图的知识求解．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4.【答案】A
【解析】解：设草坪BC的长为x米，则宽为32−x2，
由题意得，x⋅32−x2=120，
解得：x1=12，x2=20，
∵墙为16米，
∴x=20不合题意．
故x=12．
故选：A．
设草坪BC的长为x米，则宽为32−x2，根据面积为120平方米，列方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
5.【答案】A
【解析】解：年龄为18岁的队员人数最多，众数是18；
平均数=18×5+19×4+20×1+21×212=19．
故选：A．
根据众数及平均数的概念求解．
本题考查了众数及平均数的知识，掌握众数及平均数的定义是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：①∵抛物线的对称轴x=−b2a=1，
∴b=−2a，即2a+b=0，故此结论正确；
②∵由图可知a<0、c>0，
∴b=−2a>0，
则abc<0，故此结论错误；
③由图象可知该抛物线与直线y=3只有唯一交点A(1,3)，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，此结论正确；
④抛物线与x轴的交点为(4,0)且抛物线的对称轴为x=1，
则抛物线与x轴的另一交点为(−2,0)，
∴当y<0时，x<−2或x>4，此结论错误；
故选：B．
结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．
本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质．
7.【答案】D
【解析】解：A、(a−b)2=a2−2ab+b2，故选项错误；
B、(−a4)3=−a12，故选项错误；
C、2a⋅(−3b)=−6ab，故选项错误；
D、a5÷a4=a(a≠0)，故选项正确．
故选：D．
根据完全平方公式、积的乘方、单项式乘单项式的计算法则和同底数幂的除法法则计算即可求解．
考查了完全平方公式、积的乘方、单项式乘单项式和同底数幂的除法，熟练掌握计算法则是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：①正八边形的每个内角都是：180°×(8−2)8=135°，故①正确；
②∵ 27=3 3， 13= 33，
∴ 27与 13是同类二次根式；故②正确；
③如图：∵OA=OB=AB，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=12∠AOB=30°，
∴∠D=180°−∠C=150°，
∴长度等于半径的弦所对的圆周角为：30°或150°；故③错误；
④反比例函数y=−2x，当x<0时，y随x的增大而增大．故④正确．
故正确的有①②④，共3个．
故选：C．
①由正多边形的性质，即可求得正八边形的每个内角的度数；
②首先化简，则可求得 27与 13是同类二次根式；
③可求得长度等于半径的弦所对的圆周角为30°或150°；
④由反比例函数的性质，可得反比例函数y=−2x，当x<0时，y随x的增大而增大．
此题考查了圆周角定理、正多边形的性质、同类二次根式以及反比例函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9.【答案】A
【解析】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工(x+50)米，
根据题意，可列方程：2000x−2000x+50=2，
故选：A．
设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设(x+50)米，根据：原计划所用时间−实际所用时间=2，列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下.根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【解答】
解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的(0,c)，
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a>0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a<0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
故选D．
11.【答案】A
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，AD=BD，
∴∠AED=90°，∠ABD=∠A，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ABD=∠A=50°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=65°，
∴∠DBC=15°．
故选：A．
根据线段垂直平分线的概念得到∠AED=90°，进一步求出∠ABD=∠A=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的概念和等腰三角形的性质，掌握三角形内角和等于180°、等腰三角形等边对等角是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：作B关于MN的对称点B′，连接AB′，交MN于P，连接PB，则△PAB的周长最小，
连接OA、OB′，OB，
∵B、B′关于MN对称，
∴PB=PB′，∠NOB′=∠NOB，
∴PA+PB=PA+PB′=AB′，
∵点A是半圆上的三等分点，
∴∠AON=60°，
∵点B是劣弧AN的中点，
∴∠BON=∠AOB=12∠AON=30°，
∴∠NOB′=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠NOB′=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB′= 2OA，
∵MN=2 2，
∴OA= 2，
∴AB′=2，
∴△PAB的周长=PA+PB+AB=AB′+AB=2+1=3，
∴△PAB周长的最小值是3．
故选：D．
作B关于MN的对称点B′，连接AB′，交MN于P，连接PB，则△PAB的周长最小，由轴对称的性质得到PB=PB′，∠NOB′=∠NOB，推出PA+PB=PA+PB′=AB′，求出∠AON=60°，由圆周角定理得到∠BON=∠AOB=12∠AON=30°，因此∠NOB′=30°，求出∠AOB′=∠AON+∠NOB′=90°，得到△AOB是等腰直角三角形，求出AB′=2，即可求出△PAB周长的最小值是3．
本题考查轴对称−最短路线问题，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，关键是作B关于MN的对称点B′，连接AB′，交MN于P，连接PB，此时△PAB的周长最小．
13.【答案】x(x−y)2
【解析】解：x3−2x2y+xy2，
=x(x2−2xy+y2)，
=x(x−y)2．
故答案为：x(x−y)2．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14.【答案】x≥−2且x≠1
【解析】解：由题意得：x+2≥0且x−1≠0，
解得：x≥−2且x≠1，
故答案为：x≥−2且x≠1．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是12|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．
过C点作CE⊥x轴，垂足为E，由C是OA的中点，CE//AB，得CE为Rt△OAB的中位线，则有CE=12AB，OE=12OB，即S△AOB=4S△COE，再通过反比函数k的几何意义，根据题意列出关于k得一元一次方程，即可解得k的值，继而求出S△OBD的值．
【解答】
解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，
∴CE//AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∴CE=12AB，OE=12OB，
∴S△AOB=4S△COE
∵双曲线的解析式是y=kx(k>0)，即xy=k，
∴S△BOD=S△COE=12|k|=12k，
∴S△AOB=4S△COE=2|k|=2k，
由S△AOB−S△BOD=S△AOD=2S△DOC=18，得2k−12k=18，
则k=12，
S△BOD=S△COE=12k=6，
故答案为6．
16.【答案】18π
【解析】解：设展开侧面扇形的圆心角为n°．
∴底面圆的周长=2×π×3=6π，
弧长=nπ×6180，
∴nπ×6180=6π，
∴n=180，
∴圆锥的侧面积=n×π×62360=18π(cm2).
故答案为：18π．
由于展开后扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，结合弧长公式和圆的周长公式即可求出展开扇形的圆心角，直接代入扇形的面积公式即可求出圆锥的侧面积．
本题侧重考查圆锥的计算，掌握其公式是解决此题的关键．
17.【答案】(1342,0)
【解析】解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB．
∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2014=335×6+4，
∴点B4向右平移1340(即335×4)到点B2014．
∵B4的坐标为(2,0)，
∴B2014的坐标为(2+1340,0)，
∴B2014的坐标为(1342,0)．
故答案为：(1342,0)．
连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4.由于2014=335×6+4，因此点B4向右平移1340(即335×4)即可到达点B2014，根据点B4的坐标就可求出点B2014的坐标．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)依题意，设抛物线的解析式为y=a(x−2)2−1，代入C(0,3)后，得：
a(0−2)2−1=3，a=1
∴抛物线的解析式：y=(x−2)2−1=x2−4x+3；
(2)由(1)知，A(1,0)、B(3,0)；
设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：
3k+3=0，k=−1
∴直线BC：y=−x+3；
由(1)知：抛物线的对称轴：x=2，则D(2,1)；
∴AD= AG2+DG2= 2，AC= OC2+OA2= 10，CD= (3−1)2+22=2 2，
即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴S△ACD=12AD⋅CD=12× 2×2 2=2；
(3)由题意知：EF//y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：
①∠DFE=90°，即DF//x轴；
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
x2−4x+3=1，解得x=2± 2；
当x=2+ 2时，y=−x+3=1− 2；
当x=2− 2时，y=−x+3=1+ 2；
∴E1(2+ 2,1− 2)、E2(2− 2,1+ 2).
②∠EDF=90°；
易知，直线AD：y=x−1，联立抛物线的解析式有：
x2−4x+3=x−1，
x2−5x+4=0，
解得x1=1、x2=4；
当x=1时，y=−x+3=2；
当x=4时，y=−x+3=−1；
∴E3(1,2)、E4(4,−1)．
综上，存在符合条件的点E，且坐标为：(2+ 2,1− 2)、(2− 2,1+ 2)、(1,2)或(4,−1)．
【解析】此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识；需要注意的是，已知两个三角形相似时，若对应边不相同，那么得到的结果就不一定相同，所以一定要进行分类讨论．
(1)已知抛物线的顶点，可先将抛物线的解析式设为顶点式，再将点C的坐标代入上面的解析式中，即可确定待定系数的值，由此得解．
(2)可先求出A、C、D三点坐标，求出△ACD的三边长后，可判断出该三角形的形状，进而得到该三角形的面积．(也可将△ACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差)
(3)由于直线EF与y轴平行，那么∠OCB=∠FED，若△OBC和△EFD相似，则△EFD中，∠EDF和∠EFD中必有一角是直角，可据此求出点F的横坐标，再代入直线BC的解析式中，即可求出点E的坐标．
19.【答案】解：2sin60°+(−12)−2−(π−3.14)0−|1− 3|
=2× 32+4−1−( 3−1)
= 3+4−1+1− 3
=4．
【解析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：原式=x2+2x+2x+1×(x+1)(x−1)2(x−1)
=x2+2x+22，
∵x2+2x−3=0，
∴x2+2x+2=5，
∴原式=52．
【解析】先将原式进行化简，求得原式=x2+2x+22，根据x2+2x−3=0，可知x2+2x+2=5，代入原式计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：过点B作BF⊥EA，交EA的延长线于点F，作BG⊥DE于点G．
则BF=EG，BG=EF，
在Rt△ABF中，∠BAF=30°，AB=10米，
sin30°=BFAB=BF10=12，
cs30°=AFAB=AF10= 32，
∴BF=5米，AF=5 3米，
∵AE=10米，
∴BG=EF=AF+AE=(10+5 3)米，
在Rt△BCG中，∠CBG=45°，
∴BG=CG，
即CG=(10+5 3)米，
∴CE=CG+EG=(15+5 3)米，
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=10米，
tan60°=DEAE=DE10= 3，
∴DE=10 3米，
∴CD=CE−DE=15+5 3−10 3=(15−5 3)米．
即标识牌CD的高为(15−5 3)米．
【解析】过点B作BF⊥EA，交EA的延长线于点F，作BG⊥DE于点G.在Rt△ABF中，sin30°=BFAB=BF10=12，cs30°=AFAB=AF10= 32，可求得BF=5米，AF=5 3米，即可得BG=EF=AF+AE=(10+5 3)米，在Rt△BCG中，∠CBG=45°，可得BG=CG，即CG=(10+5 3)米，CE=CG+EG=(15+5 3)米，在Rt△ADE中，tan60°=DEAE=DE10= 3，可求出DE=10 3米，根据CD=CE−DE，可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22.【答案】解(1)抽出一张卡片是无理数的概率是23，
理由：∵三张卡片，其中卡片上的实数是无理数有2张，
∴抽出一张卡片是无理数的概率是23；
(2)列表得
∵一共有6种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数有2种可能的结果，
∴P(差为有理数)=26=13．
【解析】(1)直接关键概率公式解答即可；
(2)用列表法或用画树状图法解答即可．
本题考查概率公式，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，实数的运算，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)这次活动一共调查学生：140÷35%=400(人)；
(2)选择“篮球”的人数为：400−140−20−80=160(人)，
；
(3)估计该学校选择篮球项目的学生人数约是：1300×160400=520(人)．
【解析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
(1)由“足球”人数及其百分比可得总人数；
(2)根据各项目人数之和等于总人数求出“篮球”的人数，补全图形即可；
(3)用总人数乘以样本中篮球所占百分比即可得．
24.【答案】(1)证明：∵∠B=60°，AC=BC，CE=CF，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠ECB=∠FCA，
∴△ECB≌△FCA(SAS)，
∴AF=BE；
(2)证明：由(1)得∠FAC=∠EBC=∠ACB=60°，
∴AF//BC，
∵AF=BE，AE=DF，
∴AD=AB，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)解：∵△ECB≌△FCA，
∴四边形ACFE的面积=△ACB的面积
过A作AM垂直BC于M，
∵BC=2 3，∠ABC=60°，
∴BM= 3
∴AM= 3BM=3，
∴四边形AFCE的面积=12×2 3×3=3 3．
【解析】(1)利用旋转证明∠ECB=∠ACF，再证△ECB≌△FCA求证可得；
(2)由(1)可证四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC四边形ABCD是菱形；
(3)证出四边形ACFE的面积=△ACB的面积过A作AM垂直BC于M，则可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．
25.【答案】解：(1)连接OD，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD//AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥AC，
∴直线DF是⊙O的切线；
(2)连接AD，如图：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DAC=90°−∠ADF=∠FDC，
而∠C=∠C，
∴△ADC∽△DFC，
∴CDCF=ACCD，即CD2=CF⋅AC，
∵AB=AC，∠ADB=∠ADC=90°，
∴CD=12BC，
∴(12BC)2=CF⋅AB，
∴BC2=4CF⋅AB；
(3)连接AD，OE，如图：
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠C=∠B=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半径为2，
∴S扇形AOE=π，S△AOE=2，
∴S阴影=S扇形AOE−S△AOE=π−2．
【解析】(1)连接OD，由DF⊥AC，证明OD//AC即可；
(2)连接AD，由△ADC∽△DFC，可得CDCF=ACCD，即CD2=CF⋅AC，再证明CD=12BC即可；
(3)连接AD，OE，根据已知求出∠AOE=90°，从而可得S扇形AOE和S△AOE，即可得到答案．
本题考查圆的切线、性质及应用，扇形面积等，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质．
26.【答案】解：(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得：
2a+b=35a+3b=30，解得，a=15b=5,
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
(2)根据题意得：
955≤15x+5(120−x)≤1000，
解得35.5≤x≤40，
∵x是整数，
∴x=36，37，38，39，40．
∴有5种购买方案；
(3)W=15x+5(120−x)=10x+600，
∵10>0，
∴W随x的增大而增大，
当x=36时，W最小=10×36+600=960(元)，
∴120−36=84．
答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于x的一次函数关系式．
(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；
(2)根据题意列不等式组解答即可；
(3)求出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．年龄(岁)
18
19
20
21
人数
5
4
1
2
被减数
4
3
3+5
减数
3
3+5
4
3+5
4
3
差
4− 3
−1− 3
3−4
−5
3+1
5
1.中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为( )
A. 0.675×105B. 6.75×104C. 67.5×103D. 675×102
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.如图是用五个相同的立方块搭成的几何体，其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.则该矩形草坪BC边的长是( )
A. 12
B. 18
C. 20
D. 12或20
5.某篮球队12名队员的年龄如表：
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是( )
A. 18，19B. 19，19C. 18，19.5D. 19，19.5
6.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1,3)，与x轴的一个交点B(4,0)，有下列结论：①2a+b=0，②abc>0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，④当y<0时，−2
B. ①③
C. ①③④
D. ①②③④
7.下列各式计算正确的是( )
A. (a−b)2=a2−b2B. (−a4)3=a7
C. 2a⋅(−3b)=6abD. a5÷a4=a(a≠0)
8.以下说法正确的有( )
①正八边形的每个内角都是135°
② 27与 13是同类二次根式
③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°
④反比例函数y=−2x，当x<0时，y随x的增大而增大．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是( )
A. 2000x−2000x+50=2B. 2000x+50−2000x=2
C. 2000x−2000x−50=2D. 2000x−50−2000x=2
10.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )
A. B. C. D.
11.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE=40°，则∠DBC=度．( )
A. 15
B. 30
C. 20
D. 40
12.如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，若MN=2 2，AB=1，则△PAB周长的最小值是( )
A. 2 2+1
B. 2+1
C. 2
D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.分解因式：x3−2x2y+xy2=______．
14.函数y=2x−1+ x+2中，自变量x的取值范围为______．
15.如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=kx (x>0)经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D.若S△OCD=9，则S△OBD的值为_________．
16.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是______cm2(结果保留π)．
17.如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1.先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为______．
三、计算题：本大题共1小题，共13分。
18.如图，顶点坐标为(2,−1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于A、B两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：2sin60°+(−12)−2−(π−3.14)0−|1− 3|．
20.(本小题6分)
如果实数x满足x2+2x−3=0，求代数式的值(x2x+1+2)÷2x−2x2−1．
21.(本小题6分)
如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB=AE=10米．求标识牌CD的高．
22.(本小题6分)
在一个不透明的盒子里放有三张卡片，每张卡片上有一个实数，分别是4， 3， 3+5(卡片除了实数不同外，其余均相同)
(1)从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率．
(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数，卡片不放回；再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或者树形图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数的概率．
23.(本小题7分)
某校为提高学生身体素质，决定开展足球、篮球、排球、乒乓球四项课外体育活动，并要求学生必须并且只能选择一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题．(要求写出简要的解答过程)
(1)这次活动一共调查了多少名学生？
(2)补全条形统计图．
(3)若该学校总人数是1300人，请估计选择篮球项目的学生人数．
24.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，∠B=60°，AC=BC，点E在AB上，将CE绕点C顺时针旋转60°得CF，且点F在AD上．
(1)求证：AF=BE；
(2)若AE=DF，求证：四边形ABCD是菱形；
(3)若BC=2 3，求四边形AFCE的面积．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
(1)求证：直线DF是⊙O的切线；
(2)求证：BC2=4CF⋅AB；
(3)若⊙O的半径为2，∠CDF=22.5°，求图中阴影部分的面积．
26.(本小题9分)
为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
(1)求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案？
(3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：将67500用科学记数法表示为：6.75×104．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】B
【解析】解：从左到右第一个图形是中心对称图形，不是对称轴图形；第二个图形不是中心对称图形，是对称轴图形；第三和第四法图形既是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】D
【解析】解：从正面看：上边一层最右边有1个正方形，
下边一层有3个正方形．
故选：D．
根据三视图的知识求解．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4.【答案】A
【解析】解：设草坪BC的长为x米，则宽为32−x2，
由题意得，x⋅32−x2=120，
解得：x1=12，x2=20，
∵墙为16米，
∴x=20不合题意．
故x=12．
故选：A．
设草坪BC的长为x米，则宽为32−x2，根据面积为120平方米，列方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
5.【答案】A
【解析】解：年龄为18岁的队员人数最多，众数是18；
平均数=18×5+19×4+20×1+21×212=19．
故选：A．
根据众数及平均数的概念求解．
本题考查了众数及平均数的知识，掌握众数及平均数的定义是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：①∵抛物线的对称轴x=−b2a=1，
∴b=−2a，即2a+b=0，故此结论正确；
②∵由图可知a<0、c>0，
∴b=−2a>0，
则abc<0，故此结论错误；
③由图象可知该抛物线与直线y=3只有唯一交点A(1,3)，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，此结论正确；
④抛物线与x轴的交点为(4,0)且抛物线的对称轴为x=1，
则抛物线与x轴的另一交点为(−2,0)，
∴当y<0时，x<−2或x>4，此结论错误；
故选：B．
结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．
本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质．
7.【答案】D
【解析】解：A、(a−b)2=a2−2ab+b2，故选项错误；
B、(−a4)3=−a12，故选项错误；
C、2a⋅(−3b)=−6ab，故选项错误；
D、a5÷a4=a(a≠0)，故选项正确．
故选：D．
根据完全平方公式、积的乘方、单项式乘单项式的计算法则和同底数幂的除法法则计算即可求解．
考查了完全平方公式、积的乘方、单项式乘单项式和同底数幂的除法，熟练掌握计算法则是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：①正八边形的每个内角都是：180°×(8−2)8=135°，故①正确；
②∵ 27=3 3， 13= 33，
∴ 27与 13是同类二次根式；故②正确；
③如图：∵OA=OB=AB，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=12∠AOB=30°，
∴∠D=180°−∠C=150°，
∴长度等于半径的弦所对的圆周角为：30°或150°；故③错误；
④反比例函数y=−2x，当x<0时，y随x的增大而增大．故④正确．
故正确的有①②④，共3个．
故选：C．
①由正多边形的性质，即可求得正八边形的每个内角的度数；
②首先化简，则可求得 27与 13是同类二次根式；
③可求得长度等于半径的弦所对的圆周角为30°或150°；
④由反比例函数的性质，可得反比例函数y=−2x，当x<0时，y随x的增大而增大．
此题考查了圆周角定理、正多边形的性质、同类二次根式以及反比例函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9.【答案】A
【解析】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工(x+50)米，
根据题意，可列方程：2000x−2000x+50=2，
故选：A．
设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设(x+50)米，根据：原计划所用时间−实际所用时间=2，列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下.根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【解答】
解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的(0,c)，
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a>0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a<0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
故选D．
11.【答案】A
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，AD=BD，
∴∠AED=90°，∠ABD=∠A，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ABD=∠A=50°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=65°，
∴∠DBC=15°．
故选：A．
根据线段垂直平分线的概念得到∠AED=90°，进一步求出∠ABD=∠A=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的概念和等腰三角形的性质，掌握三角形内角和等于180°、等腰三角形等边对等角是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：作B关于MN的对称点B′，连接AB′，交MN于P，连接PB，则△PAB的周长最小，
连接OA、OB′，OB，
∵B、B′关于MN对称，
∴PB=PB′，∠NOB′=∠NOB，
∴PA+PB=PA+PB′=AB′，
∵点A是半圆上的三等分点，
∴∠AON=60°，
∵点B是劣弧AN的中点，
∴∠BON=∠AOB=12∠AON=30°，
∴∠NOB′=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠NOB′=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB′= 2OA，
∵MN=2 2，
∴OA= 2，
∴AB′=2，
∴△PAB的周长=PA+PB+AB=AB′+AB=2+1=3，
∴△PAB周长的最小值是3．
故选：D．
作B关于MN的对称点B′，连接AB′，交MN于P，连接PB，则△PAB的周长最小，由轴对称的性质得到PB=PB′，∠NOB′=∠NOB，推出PA+PB=PA+PB′=AB′，求出∠AON=60°，由圆周角定理得到∠BON=∠AOB=12∠AON=30°，因此∠NOB′=30°，求出∠AOB′=∠AON+∠NOB′=90°，得到△AOB是等腰直角三角形，求出AB′=2，即可求出△PAB周长的最小值是3．
本题考查轴对称−最短路线问题，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，关键是作B关于MN的对称点B′，连接AB′，交MN于P，连接PB，此时△PAB的周长最小．
13.【答案】x(x−y)2
【解析】解：x3−2x2y+xy2，
=x(x2−2xy+y2)，
=x(x−y)2．
故答案为：x(x−y)2．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14.【答案】x≥−2且x≠1
【解析】解：由题意得：x+2≥0且x−1≠0，
解得：x≥−2且x≠1，
故答案为：x≥−2且x≠1．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是12|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．
过C点作CE⊥x轴，垂足为E，由C是OA的中点，CE//AB，得CE为Rt△OAB的中位线，则有CE=12AB，OE=12OB，即S△AOB=4S△COE，再通过反比函数k的几何意义，根据题意列出关于k得一元一次方程，即可解得k的值，继而求出S△OBD的值．
【解答】
解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，
∴CE//AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∴CE=12AB，OE=12OB，
∴S△AOB=4S△COE
∵双曲线的解析式是y=kx(k>0)，即xy=k，
∴S△BOD=S△COE=12|k|=12k，
∴S△AOB=4S△COE=2|k|=2k，
由S△AOB−S△BOD=S△AOD=2S△DOC=18，得2k−12k=18，
则k=12，
S△BOD=S△COE=12k=6，
故答案为6．
16.【答案】18π
【解析】解：设展开侧面扇形的圆心角为n°．
∴底面圆的周长=2×π×3=6π，
弧长=nπ×6180，
∴nπ×6180=6π，
∴n=180，
∴圆锥的侧面积=n×π×62360=18π(cm2).
故答案为：18π．
由于展开后扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，结合弧长公式和圆的周长公式即可求出展开扇形的圆心角，直接代入扇形的面积公式即可求出圆锥的侧面积．
本题侧重考查圆锥的计算，掌握其公式是解决此题的关键．
17.【答案】(1342,0)
【解析】解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB．
∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2014=335×6+4，
∴点B4向右平移1340(即335×4)到点B2014．
∵B4的坐标为(2,0)，
∴B2014的坐标为(2+1340,0)，
∴B2014的坐标为(1342,0)．
故答案为：(1342,0)．
连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4.由于2014=335×6+4，因此点B4向右平移1340(即335×4)即可到达点B2014，根据点B4的坐标就可求出点B2014的坐标．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)依题意，设抛物线的解析式为y=a(x−2)2−1，代入C(0,3)后，得：
a(0−2)2−1=3，a=1
∴抛物线的解析式：y=(x−2)2−1=x2−4x+3；
(2)由(1)知，A(1,0)、B(3,0)；
设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：
3k+3=0，k=−1
∴直线BC：y=−x+3；
由(1)知：抛物线的对称轴：x=2，则D(2,1)；
∴AD= AG2+DG2= 2，AC= OC2+OA2= 10，CD= (3−1)2+22=2 2，
即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴S△ACD=12AD⋅CD=12× 2×2 2=2；
(3)由题意知：EF//y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：
①∠DFE=90°，即DF//x轴；
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
x2−4x+3=1，解得x=2± 2；
当x=2+ 2时，y=−x+3=1− 2；
当x=2− 2时，y=−x+3=1+ 2；
∴E1(2+ 2,1− 2)、E2(2− 2,1+ 2).
②∠EDF=90°；
易知，直线AD：y=x−1，联立抛物线的解析式有：
x2−4x+3=x−1，
x2−5x+4=0，
解得x1=1、x2=4；
当x=1时，y=−x+3=2；
当x=4时，y=−x+3=−1；
∴E3(1,2)、E4(4,−1)．
综上，存在符合条件的点E，且坐标为：(2+ 2,1− 2)、(2− 2,1+ 2)、(1,2)或(4,−1)．
【解析】此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识；需要注意的是，已知两个三角形相似时，若对应边不相同，那么得到的结果就不一定相同，所以一定要进行分类讨论．
(1)已知抛物线的顶点，可先将抛物线的解析式设为顶点式，再将点C的坐标代入上面的解析式中，即可确定待定系数的值，由此得解．
(2)可先求出A、C、D三点坐标，求出△ACD的三边长后，可判断出该三角形的形状，进而得到该三角形的面积．(也可将△ACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差)
(3)由于直线EF与y轴平行，那么∠OCB=∠FED，若△OBC和△EFD相似，则△EFD中，∠EDF和∠EFD中必有一角是直角，可据此求出点F的横坐标，再代入直线BC的解析式中，即可求出点E的坐标．
19.【答案】解：2sin60°+(−12)−2−(π−3.14)0−|1− 3|
=2× 32+4−1−( 3−1)
= 3+4−1+1− 3
=4．
【解析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：原式=x2+2x+2x+1×(x+1)(x−1)2(x−1)
=x2+2x+22，
∵x2+2x−3=0，
∴x2+2x+2=5，
∴原式=52．
【解析】先将原式进行化简，求得原式=x2+2x+22，根据x2+2x−3=0，可知x2+2x+2=5，代入原式计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：过点B作BF⊥EA，交EA的延长线于点F，作BG⊥DE于点G．
则BF=EG，BG=EF，
在Rt△ABF中，∠BAF=30°，AB=10米，
sin30°=BFAB=BF10=12，
cs30°=AFAB=AF10= 32，
∴BF=5米，AF=5 3米，
∵AE=10米，
∴BG=EF=AF+AE=(10+5 3)米，
在Rt△BCG中，∠CBG=45°，
∴BG=CG，
即CG=(10+5 3)米，
∴CE=CG+EG=(15+5 3)米，
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=10米，
tan60°=DEAE=DE10= 3，
∴DE=10 3米，
∴CD=CE−DE=15+5 3−10 3=(15−5 3)米．
即标识牌CD的高为(15−5 3)米．
【解析】过点B作BF⊥EA，交EA的延长线于点F，作BG⊥DE于点G.在Rt△ABF中，sin30°=BFAB=BF10=12，cs30°=AFAB=AF10= 32，可求得BF=5米，AF=5 3米，即可得BG=EF=AF+AE=(10+5 3)米，在Rt△BCG中，∠CBG=45°，可得BG=CG，即CG=(10+5 3)米，CE=CG+EG=(15+5 3)米，在Rt△ADE中，tan60°=DEAE=DE10= 3，可求出DE=10 3米，根据CD=CE−DE，可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22.【答案】解(1)抽出一张卡片是无理数的概率是23，
理由：∵三张卡片，其中卡片上的实数是无理数有2张，
∴抽出一张卡片是无理数的概率是23；
(2)列表得
∵一共有6种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数有2种可能的结果，
∴P(差为有理数)=26=13．
【解析】(1)直接关键概率公式解答即可；
(2)用列表法或用画树状图法解答即可．
本题考查概率公式，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，实数的运算，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)这次活动一共调查学生：140÷35%=400(人)；
(2)选择“篮球”的人数为：400−140−20−80=160(人)，
；
(3)估计该学校选择篮球项目的学生人数约是：1300×160400=520(人)．
【解析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
(1)由“足球”人数及其百分比可得总人数；
(2)根据各项目人数之和等于总人数求出“篮球”的人数，补全图形即可；
(3)用总人数乘以样本中篮球所占百分比即可得．
24.【答案】(1)证明：∵∠B=60°，AC=BC，CE=CF，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠ECB=∠FCA，
∴△ECB≌△FCA(SAS)，
∴AF=BE；
(2)证明：由(1)得∠FAC=∠EBC=∠ACB=60°，
∴AF//BC，
∵AF=BE，AE=DF，
∴AD=AB，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)解：∵△ECB≌△FCA，
∴四边形ACFE的面积=△ACB的面积
过A作AM垂直BC于M，
∵BC=2 3，∠ABC=60°，
∴BM= 3
∴AM= 3BM=3，
∴四边形AFCE的面积=12×2 3×3=3 3．
【解析】(1)利用旋转证明∠ECB=∠ACF，再证△ECB≌△FCA求证可得；
(2)由(1)可证四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC四边形ABCD是菱形；
(3)证出四边形ACFE的面积=△ACB的面积过A作AM垂直BC于M，则可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键．
25.【答案】解：(1)连接OD，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD//AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥AC，
∴直线DF是⊙O的切线；
(2)连接AD，如图：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DAC=90°−∠ADF=∠FDC，
而∠C=∠C，
∴△ADC∽△DFC，
∴CDCF=ACCD，即CD2=CF⋅AC，
∵AB=AC，∠ADB=∠ADC=90°，
∴CD=12BC，
∴(12BC)2=CF⋅AB，
∴BC2=4CF⋅AB；
(3)连接AD，OE，如图：
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠C=∠B=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半径为2，
∴S扇形AOE=π，S△AOE=2，
∴S阴影=S扇形AOE−S△AOE=π−2．
【解析】(1)连接OD，由DF⊥AC，证明OD//AC即可；
(2)连接AD，由△ADC∽△DFC，可得CDCF=ACCD，即CD2=CF⋅AC，再证明CD=12BC即可；
(3)连接AD，OE，根据已知求出∠AOE=90°，从而可得S扇形AOE和S△AOE，即可得到答案．
本题考查圆的切线、性质及应用，扇形面积等，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质．
26.【答案】解：(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得：
2a+b=35a+3b=30，解得，a=15b=5,
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
(2)根据题意得：
955≤15x+5(120−x)≤1000，
解得35.5≤x≤40，
∵x是整数，
∴x=36，37，38，39，40．
∴有5种购买方案；
(3)W=15x+5(120−x)=10x+600，
∵10>0，
∴W随x的增大而增大，
当x=36时，W最小=10×36+600=960(元)，
∴120−36=84．
答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于x的一次函数关系式．
(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；
(2)根据题意列不等式组解答即可；
(3)求出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．年龄(岁)
18
19
20
21
人数
5
4
1
2
被减数
4
3
3+5
减数
3
3+5
4
3+5
4
3
差
4− 3
−1− 3
3−4
−5
3+1
5
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