2023年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春旗中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春旗中考数学二模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春旗中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算|−3|−(−2)的最后结果是(    )
A. 1 B. −1 C. 5 D. −5
2. 下列运算正确的是(    )
A. x2+x2=x4 B. (xy2)2=xy4
C. y6÷y2=y3 D. −(x−y)2=−x2+2xy−y2
3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm=0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为(    )
A. 7×10−9m B. 0.7×10−9m C. 0.7×10−8m D. 7×10−8m
4. 已知不等式组x−1<02x≥−4，其解集在数轴上表示正确的是(    )
A. B. C. D.
5. 甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数，则下列说法中正确的是(    )

A. 甲和乙左视图相同，主视图相同 B. 甲和乙左视图不相同，主视图不同
C. 甲和乙左视图相同，主视图不同 D. 甲和乙左视图不相同，主视图相同
6. 函数y=1 x+1+(x−2)0的自变量x的取值范围是(    )
A. x≥−1 B. x>2 C. x>−1且x≠2 D. x≠−1且x≠2
7. 下列命题中真命题的个数是(    )
①在函数y=kx(k<0)中，当x1 ②三角形的内心到三边的距离相等；
③顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；
④平分弦的直径垂直于弦；
⑤对于任意实数m，关于x的方程x2+(m+3)x+m+2=0有两个不相等的实数根．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是(    )
A. 400x−450x−50=1 B. 450x−50−400x=1
C. 400x−450x+1=50 D. 450x+1−400x=5
9. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是(    )


A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为(    )


A. 43π−2 B. 43π C. 23π D. 23π−2
11. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3.①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于12EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于12CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为(    )

A. 5 24 B. 2 C. 3 24 D. 24
12. 如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为 3，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为(    )
A. 12
B. 3
C. 2 3
D. 3
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 分解因式：ax2+2ax+a=          ．
14. 若甲组数据1，2，3，4，5的方差是S甲2，乙组数据21，22，23，24，25的方差是S乙2，则S甲2 ______ S乙2(填“>”、“<”或“=”)．
15. 已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为______ ．
16. 如图，在平面直角坐标中，一次函数y=−4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上.若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是______ ．


17. 有这样一组数据a1，a2，a3，…an，满足以下规律：a1=12,a2=11−a1,a3=11−a2，…，an=11−an−1(n为正整数)，则a2025的值为______ (结果用数字表示)．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
18. 计算：6sin45°−|1− 2|− 8×(π−2021)0−(12)−2．
四、解答题（本大题共8小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
先化简，再求值：2m−6m2−9÷m−1m+3−1m−1，其中m=4．
20. (本小题6.0分)
某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号(分别用A，B，C依次表示这三种型号).小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是______；
(2)请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
21. (本小题6.0分)
一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米到达点Q，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．

22. (本小题7.0分)
如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG=DE，分别连接AE，AG，FG．

(1)求证：△BCE≌△FDE；
(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
23. (本小题7.0分)
市环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A，B，C，D，E五组，并将统计结果绘制了两幅不完整的统计图表．
组别
噪声声级x/dB
频数
A
55≤x<60
4
B
60≤x<65
10
C
65≤x<70
m
D
70≤x<75
8
E
75≤x<80
n
请解答下列问题：
(1)求m、n的值；
(2)在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是多少？
(3)若该市城区共有400个噪声测量点，请估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数．

24. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径．

25. (本小题10.0分)
某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件.A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=x2+20x+100，B城生产产品的每件成本为60万元．
(1)当A城生产多少件产品时，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？
(2)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件.C地需要90件，D地需要10件，在(1)的条件下，怎样调运可使A，B两城运费的和最小？
26. (本小题13.0分)
如图1，二次函数y=a(x+3)(x−4)的图象交坐标轴于点A，B(0,−2)，点P为x轴上一动点．

(1)求二次函数y=a(x+3)(x−4)的表达式；
(2)过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC.当OP=1时，求△ACQ的面积；
(3)如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．
①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；
②点E(2,−53)在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：|−3|−(−2)=3+2=5．
故选：C．
根据绝对值的性质以及有理数的减法法则计算即可；有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
本题考查了有理数的减法以及绝对值，掌握有理数减法法则是解答本题的关键．

2.【答案】D 
【解析】解：A、原式=2x2，不符合题意；
B、原式=x2y4，不符合题意；
C、原式=y4，不符合题意；
D、原式=−(x2−2xy+y2)=−x2+2xy−y2，符合题意．
故选：D．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：7nm=0.000000007m，
则7nm用科学记数法表示为7×10−9m.
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4.【答案】D 
【解析】解：由x−1<0得：x<1，
由2x≥−4，得：x≥−2，
则不等式组的解集为−2≤x<1，
故选：D．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：根据三视图的定义可知，甲、乙的主视图相同，左视图不同．
故选：D．
根据三视图的定义判断即可．
本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．

6.【答案】C 
【解析】解：由题意可得：x+1>0x−2≠0，
解得：x>−1且x≠2，
故选：C．
根据二次根式成立的条件，分式成立的条件，零指数幂的概念列不等式组求解．
本题考查分式成立的条件，二次根式成立的条件及零指数幂的概念，掌握分式的分母不能为零，二次根式的被开方数为非负数，a0=1(a≠0)是解题关键．

7.【答案】C 
【解析】解：①在函数y=kx(k<0)中，当x1 ②三角形的内心到三边的距离相等，是真命题；
③顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，是真命题；
④平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；故原命题是假命题；
⑤∵对于任意实数m，关于x的方程x2+(m+3)x+m+2=0的Δ=b2−4ac=(m+3)2−4(m+2)=(m−1)2≥0，
∴有两个实数根，故原命题是假命题，
∴真命题有②③两个，
故选：C．
由反比例函数性质、三角形内心性质、中点四边形、垂径定理推论、一元二次方程根的判别式等逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握反比例函数性质、三角形内心性质、中点四边形、垂径定理推论、一元二次方程根的判别式等知识．

8.【答案】B 
【解析】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产(x−50)台机器，
根据题意，得450x−50−400x=1．
故选：B．
设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产(x−50)台机器，根据“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，利用本题中“生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”这一个等量关系，进而得出分式方程是解题关键．

9.【答案】B 
【解析】解：根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴CF=AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选：B．
根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD=1，DF=AC是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2OA=2OB= 2AC=2 2，
∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，
∴BA′=AB，
∴BA′=2OB，
∴∠OA′B=30°，
∴∠A′BA=60°，
即旋转角为60°，
S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC′−S△ABC−S扇形CBC′，
=S扇形ABA′−S扇形CBC′，
=60⋅π⋅(2 2)2360−60⋅π⋅22360，
=43π−23π，
=23π.
故选C．
根据等腰直角三角形的性质求出AB，再根据旋转的性质可得A′B=AB，然后求出∠OA′B=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA=60°，即旋转角为60°，再根据S阴影=S扇形ABA′+S△A′BC′−S△ABC−S扇形CBC′=S扇形ABA′−S扇形CBC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．

11.【答案】A 
【解析】解：过O点作OH⊥AD于H点，MN交AD于K点，交BC于R点，如图，
由作法得AQ平分∠BAC，MN垂直平分CQ，
∴∠BAQ=∠DAQ=45°，QR=CR，
∵AD//BC，
∴∠BQA=∠DAQ=45°，GK⊥AD，
∴△ABQ、△AGK、△AOH都为等腰直角三角形，
∴BQ=AB=1，AG= 2AK，
∵BC=AD=3，
∴CQ=2，
∴QR=1，
∴AK=BR=2，
∴AG=2 2，
设AH=OH=x，
∵OH//AB，
∴△DOH∽△DBA，
∴OHAB=DHDA，即x1=3−x3，
解得x=34，
∴AO= 2OH=3 24，
∴OG=AG−AO=2 2−3 24=5 24．
故选：A．
过O点作OH⊥AD于H点，MN交AD于K点，交BC于R点，如图，由作法得AQ平分∠BAC，MN垂直平分CQ，先判断△ABQ、△AGK、△AOH都为等腰直角三角形，则BQ=AB=1，AG= 2AK，再计算出AK=2，所以AG=2 2，设AH=OH=x，接着证明△DOH∽△DBA，利用相似比可求出x，从而得到AO的长，然后计算AG−AO即可．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．

12.【答案】D 
【解析】解：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
∴PQ= CP2−CQ2= CP2−3，
当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最小值，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴CH=BC⋅sinB=2 3，
∴PQ的最小值为： (2 3)2−( 3)2=3，
故选：D．
连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理求出PQ，根据等边三角形的性质求出CH，根据垂线段最短解答即可．
本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

13.【答案】a(x+1)2 
【解析】解：ax2+2ax+a，
=a(x2+2x+1)
=a(x+1)2．
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意要分解彻底．

14.【答案】= 
【解析】解：把乙组数据都减去20得到：1，2，3，4，5，
新数据与甲组数据一样，
所以甲乙的方差相等．
故答案为：=．
把乙组数据都减去20得到1，2，3，4，5，根据方差的意义得到新数据与原数据的方差不变，从而可判断甲乙方差的大小关系．
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

15.【答案】48π 
【解析】解：设圆锥的母线长为R，
∵圆锥的底面圆半径为4，
∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，
∴120π×R180=8π，
解得：R=12，
∴圆锥的侧面展开图面积=120π×122360=48π，
故答案为：48π．
根据扇形弧长与圆锥的底面周长的关系求出扇形弧长，根据弧长公式求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

16.【答案】3 
【解析】解：作CN⊥y轴，垂足为N，作DM⊥x轴，垂足为M．
∵ABCD是正方形，
∴∠CBN=∠BAO=∠ADM，∠CNB=∠BOA=∠AMD=90°，BC=AB=AD，
∴△CNB≌△BOA≌△AMD(AAS)，
∴BN=OA=DM，CN=OB=AM．
∵一次函数y=−4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A(1,0)，B(0,4)，
∴C(4,5)，D(5,1)，
∵点D在反比例函数图象上，
∴k=5，
∵正方形ABCD向左平移n个单位，
∴顶点C平移后的坐标为C′(4−n,5)，
∵C′(4−n,5)在反比例函数图象上，
∴(4−n)×5=5，
解得n=3．
故答案为：3．
作CN⊥y轴，垂足为N，作DM⊥x轴，垂足为M.进而△CNB≌△BOA≌△AMD，得到BN=OA=DM，CN=OB=AM.根据一次函数y=−4x+4的解析式得到A、B坐标，通过线段线段转化可得点C、D坐标，利用点D和平移后的点C′都在反比例函数图象上列出(4−n)×5=5求出n即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标纵横之积是常数k．

17.【答案】−1 
【解析】解：∵a1=12，
∴a2=11−12=2，
a3=11−2=−1，
a4=11−(−1)=12，
…...，
依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，
∵2025÷3=675，
∴a2025为第675循环组的最后一个数，与a3相同，为−1．
故答案为：−1．
求出前几个数便不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用2015除以3，根据商和余数的情况确定答案即可．
本题考查数字变化规律探究，根据计算得到发现每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键．

18.【答案】解：原式=6× 22−( 2−1)−2 2×1−4
=3 2− 2+1−2 2−4
=−3． 
【解析】先分别化简绝对值，二次根式，负整数指数幂，零指数幂，代入特殊角三角函数，然后再计算．
本题考查实数的混合运算，理解a0=1(a≠0)，a−p=1ap(a≠0)，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

19.【答案】解：原式=2(m−3)(m+3)(m−3)⋅m+3m−1−1m−1
=2m−1−1m−1
=1m−1，
当m=4时，
原式=13． 
【解析】根据分式的加减运算法则以及分式的乘除运算法则进行化简，然后将m的值代入化简后的式子即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．

20.【答案】解：(1)13；
(2)列表如下：

A
B
C
A
(A,A)
(B,A)
(C,A)
B
(A,B)
(B,B)
(C,B)
C
(A,C)
(B,C)
(C,C)
由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，
∴小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为39=13． 
【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查用列表法或画树状图法求概率，掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题关键．
解：(1)小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是13．
故答案为：13；
(2)见答案．

21.【答案】解：延长BA交PQ于点C，

由题意得：BC⊥PC，PQ=5米，
设QC=x米，
∴PC=PQ+QC=(x+5)米，
在Rt△PCA中，∠P=30°，
∴AC=PC⋅tan30°= 33(x+5)米，
∵AB=3米，
∴CB=AC+AB=[ 33(x+5)+3]米，
在Rt△QCB中，∠CQB=45°，
∴CB=QC⋅tan45°=x(米)，
∴ 33(x+5)+3=x，
解得：x=7+4 3，
∴BC=7+4 3≈14(米)，
∴无人机飞行的高度约为14米． 
【解析】延长BA交PQ于点C，根据题意可得：BC⊥PC，PQ=5米，然后设QC=x米，则PC=(x+5)米，在Rt△PCA中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而求出BC的长，再在Rt△QCB中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB//AD，
∴∠C=∠EDF，
∵E为CD边的中点，
∴CE=DE，
在△BCE和△FDE中，
∠C=∠EDFCE=DE∠BEC=∠FED，
∴△BCE≌△FDE(ASA)．
(2)解：四边形AEFG是矩形，理由如下：
∵△BCE≌△FDE，
∴CE=DE，CB=DF，
∵CB=DA，
∴DF=DA，
∵DG=DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵CD//AB，
∴∠CEB=∠ABE，
∴∠CBE=∠CEB，
∴CE=CB=DA，
∵CE=DE，
∴DA=DE，
∵AF=2DA，GE=2DE，
∴AF=GE，
∴四边形AEFG是矩形． 
【解析】(1)由CB//AD，得∠C=∠EDF，由E为CD边的中点，CE=DE，而∠BEC=∠FED，即可证明△BCE≌△FDE；
(2)由△BCE≌△FDE，得CE=DE，CB=DF，而CB=DA，则DF=DA，因为DG=DE，所以四边形AEFG是平行四边形，再证明∠CBE=∠CEB，则CE=CB=DA，因为CE=DE，所以DA=DE，则AF=GE，所以四边形AEFG是矩形．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、矩形的判定等知识，证明∠CBE=∠CEB是解第(2)题的关键．

23.【答案】解：(1)样本容量为：10÷25%=40，
m=40×30%=12，
n=40−(4+10+12+8)=6．
(2)在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是：
360°×840=72°．
(3)400×4+10+240=260(个)．
答：估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数约为260个． 
【解析】(1)先由B组频数及其对应的百分比求出样本容量，再用样本容量乘以C这组对应的百分比求出m的值，继而根据5组的频数之和等于样本容量可得n的值；
(2)用360°乘以D组频数所占比例即可；
(3)用总个数乘以样本中噪声声级低于70dB的测量点的个数所占比例即可．
本题主要考查扇形统计图、用样本估计总体、频数(率)分布表，解题的关键是结合频数分布表和扇形统计图得出样本容量及样本估计总体．

24.【答案】(1)证明：连接OA，

∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠ADE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD=∠ADE，
∴OA//CE，
∴∠OAE=180°−∠AEC=90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线；
(2)解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠AEC=90°，
∴∠BAD=∠AEC=90°，
∵∠ODA=∠ADE，
∴△BDA∽△ADE，
∴BDAD=ABAE=42=2，
∴BD=2AD，
在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2，
∴42+AD2=(2AD)2，
解得：AD=4 33或AD=−4 33(舍去)，
∴BD=2AD=8 33，
∴⊙O的半径为4 33． 
【解析】(1)连接OA，根据垂直定义可得∠AEC=90°，再根据角平分线的定义可得∠ODA=∠ADE，然后利用等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ODA，从而可得∠OAD=∠ADE，进而可得OA//CE，最后利用平行线的性质可得∠OAE=90°，即可解答；
(2)根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAD=90°，从而可得∠BAD=∠AEC=90°，然后利用(1)的结论可证△BDA∽△ADE，从而利用相似三角形的性质可得BD=2AB，最后在Rt△ABD中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

25.【答案】解：(1)设当A城生产x件产品时，A，B两城生产这批产品的总成本的和为W万元，
则W=x2+20x+100+60(100−x)=x2−40x+6100=(x−20)2+5700，
∵1>0，
∴当x=20时，W有最小值，最小值为5700，
此时100−20=80，
∴当A城生产20件产品时，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700元；
(2)设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为(20−n)件；
从B城把该产品运往C地的产品数量为(90−n)件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为(10−20+n)件，运费的和为P(万元)，
由题意得：20−n≥010−20+n≥0，
解得10≤n≤20，
P=n+3(20−n)+(90−n)+2(10−20+n)
=n+60−3n+90−n+2n−20
=−n+130，
根据一次函数的性质可得：P随n的增大而减小，
∴当n=20时，P取得最小值，最小值为110，
∴从A城把该产品运往C地的产品数量为20件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为0件；从B城把该产品运往C地的产品数量为70件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为10件时，可使A，B两城运费的和最小． 
【解析】(1)设当A城生产x件产品时，A，B两城生产这批产品的总成本的和为W万元，根据总成本=A，B两城生产产品成本之和列出函数解析式，由函数的性质求最值；
(2)设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为(20−n)件；从B城把该产品运往C地的产品数量为(90−n)件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为(10−20+n)件，运费的和为P(万元)，先求出n的取值范围，再根据总运费=从A，B两城运往C，D两城的运费之和列出函数解析式，再根据函数的性质以及n的取值范围确定最小值时n的值．
本题考查二次函数和一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．

26.【答案】解：(1)把B(0,−2)代入y=a(x+3)(x−4)得，a=16，
∴二次函数的表达式为y=16(x+3)(x−4)；
(2)令y=16(x+3)(x−4)=0，得x=−3或4，
∴A(4,0)，
设直线AB为y=kx−2，代入A(4,0)得k=12，
∴y=12x−2，
∵OP=1，
∴Q(1,−32)，C(1,−2)，
∴QC=12，
∴S△ACQ=12×QC×PA=12×12×3=34；
(3)①过D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵∠OBP+∠OPB=90°，∠FPD+∠OPB=90°，
∴∠OBP=∠FPD，
∵∠BOP=∠PFD，PB=PD，
∴△BOP≌△PFD(AAS)，
∴PF=OB=2，OP=FD，
设OP=m，则OF=m+2，代入y=16(x+3)(x−4)得
16(m+2+3)(m+2−4)=−m，
∴m2+9m−10=0，
∴m=1或m=−10，
∴D(3,−1)或(−8,10)．

②连接ED，EB，
∵PE=PE，∠BPE=∠DPE，PB=PD，
∴△BPE≌△DPE(SAS)，
∴EB=ED，
由①知D(m+2,−m)，
∵B(0,−2)，E(2,−53)，
∴(2−0)2+(−53+2)2=(m+2−2)2+(−m+53)2，
∴3m2−5m−2=0，
∴m=−13或m=2，
∴点P的坐标为(−13,0)或(2,0)． 
【解析】(1)把B(0,−2)代入y=a(x+3)(x−4)求出a，即可得到二次函数的表达式；
(2)求出Q，C的坐标，算出QC的长度，利用S△ACQ=12×QC×PA求；
(3)①构造一线三等角的全等，建立方程求解；
②因为PE平分∠BPD，所以△BPE≌△DPE，得到EB=ED，建立方程求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，并与三角形全等，三角形面积，角平分线结合，渗透了方程和数形结合的思想，关键是如何将几何代数化．