2023-2024学年福建省部分优质高中高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年福建省部分优质高中高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足z⋅(1+i)=3+2i，则z的实部为( )
A. 54B. 12C. 52D. −52
2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A. AB=DCB. AD+AB=AC
C. AB−AD=BDD. AD+CB=0
3.下列说法中错误的是( )
A. 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
4.已知向量a=(−1,−1)，b=(−1,1)，若(λa+b)⊥(μa+b)，则( )
A. λμ=−1B. λ+μ=−1C. λμ=1D. λ+μ=1
5.下列说法错误的是( )
A. |CD|=|DC|B. e1，e2是单位向量，则|e1|=|e2|
C. 若|AB|>|CD|，则AB>CDD. 两个相同的向量的模相等
6.已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线，若α∩β=l，α∩γ=a，β∩γ=b，l//γ，则下列结论正确的是( )
A. a与l相交B. b与l相交C. a//bD. a与β相交
7.第九届中国国际“互联网+”大学生创业大赛于2023年10月16日至21日在天津举办，天津市以此为契机，加快推进“5G+光网”双千兆城市建设.如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得∠ACB=60∘，∠ACD=105∘，∠ADC=30∘，∠ADB=60∘，则A，B两个基站的距离为( )
A. 10 6kmB. 30( 3−1)kmC. 15kmD. 10 5km
8.我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球(如图①)放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②)，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即12V球=πR2⋅R−13πR12⋅R=23πR3.现将椭圆x24+y29=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③)，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于( )
A. 32πB. 24πC. 18πD. 16π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z1，z2满足3z1+z2=−1−2i，z1+3z2=5+2i，则( )
A. z1=−1−iB. z2=2+i
C. z1−z2=−3+2iD. z1z2=−3−i5
10.下列说法中，正确的是( )
A. 向量e1=(2,−3),e2=(12,−34)能作为平面内所有向量的一个基底
B. 若a⋅b<0，则a与b的夹角是钝角
C. (AC+BO+OA)−(DC−DO−OB)=0
D. 若a⊥b，则a在b上的投影向量为0
11.六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色，无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则( )
A. 该正八面体结构的表面积为2 3m2
B. 该正八面体结构的体积为 2m3
C. 该正八面体结构的外接球表面积为2πm2
D. 该正八面体结构的内切球表面积为2πm23
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知e1，e2是两个不共线的向量，a=e1−4e2，b=ke1+2e2，若a与b共线，则k=______.
13.若向量AB,AC分别表示复数z1=2−i，z2=3+i，则|BC|=______.
14.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在复平面内，复数z对应的点的坐标为(m,−1)(m∈R)，且z−⋅(1+3i)为纯虚数(z−是z的共轭复数).
(1)求m的值；
(2)复数z2=a−iz在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
已知|a|= 2，|b|=1，a与b的夹角为45∘.
(1)求，a在b方向上的投影；
(2)求|a+2b|的值；
(3)若向量(2a−λb)与(λa−3b)的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinAcsB+bsinAcsA= 3acsC.
(1)求角C的大小；
(2)若a=3，且AB⋅AC=1，求△ABC的面积.
18.(本小题17分)
如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90∘，AD=a，BC=2a，∠DCB=60∘，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
19.(本小题17分)
十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔⋅德⋅费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于120∘时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120∘；当三角形有一内角大于或等于120∘时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且csA2csB=sin(C−π6)，点P为△ABC的费马点.
(1)求角B；
(2)若b2−(a−c)2=6，求PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC的值；
(3)若b=1，求|PA|+|PC|−|PB|的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，
由z⋅(1+i)=3+2i，得(a+bi)⋅(1+i)=(a−b)+(a+b)i=3+2i，
所以a−b=3a+b=2，解得a=52b=−12，
所以z的实部为52.
故选：C.
设z=a+bi(a,b∈R)，利用复数相等建立方程组，求解a、b即可．
本题考查了复数运算的应用问题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知AB−AD=DB，
所以下列结论中错误的是C.
故选：C.
应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题，这种问题只要代入验证即可，有的答案非常清晰比如A和D答案，B符合平行四边形法则．
数学思想在向量中体现的很好，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题．
3.【答案】C
【解析】解：由棱台的结构特征可知，A选项中说法正确；
由圆台的结构特征可知，B选项中说法正确；
直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥，
是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项中的说法错误；
在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，
只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项中说法正确．
故选：C.
由棱台圆台和旋转体的结构特征，圆柱母线的定义，对选项进行判断．
本题主要考查棱台的结构特征，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为a=(−1,−1)，b=(−1,1)，
所以λa+b=λ(−1,−1)+(−1,1)=(−λ−1,−λ+1)，
μa+b=μ(−1,−1)+(−1,1)=(−μ−1,−μ+1)，
又(λa+b)⊥(μa+b)，
所以(λa+b)⋅(μa+b)=0，
即(−λ−1)(−μ−1)+(−λ+1)(−μ+1)=0，
整理得λμ=−1.
故选：A.
首先表示λa+b，μa+b的坐标，依题意(λa+b)⋅(μa+b)=0，根据数量积的坐标表示计算可得．
本题考查向量垂直的性质、数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：对于A，|CD|=|DC|，故A正确；
对于B，e1，e2是单位向量，则|e1|=|e2|=1，故B正确；
对于C，若|AB|>|CD|，则AB,CD不能比较大小，故C错误；
对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确．
故选：C.
由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案．
本题考查的知识点：向量的定义，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，l//γ，l⊂平面α，α∩γ=a，则l//a，故A错误；
对于B，同理可得，l//b，故B错误；
对于C，由l//a且l//b，则a//b，故C正确；
对于D，由A知l//a，则a⊄平面β，l⊂平面β，则a//β，故D错误．
故选：C.
根据题意，由空间中直线与平面的关系即可结合选项逐一求解．
本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行的性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：在△ACD中，∠CAD=180∘−105∘−30∘=45∘，
由正弦定理得CDsin45∘=ADsin105∘，
因为sin105∘=sin(45∘+60∘)=sin45∘cs60∘+cs45∘sin60∘= 22(12+ 32)= 6+ 24，CD=20，
所以AD=sin105∘sin45∘⋅CD= 6+ 24 22⋅20=10( 3+1)，
在△BCD中，易知∠BCD=45∘，∠BDC=90∘，
所以∠CBD=45∘，所以BD=CD=20，
由余弦定理得AB= AD2+BD2−2×AD×BD×cs60∘= 600=10 6.
故选：A.
首先求得∠CAD=45∘，在△ACD中，运用正弦定理求得AD，进一步求得BD，由此在△ABD中利用余弦定理即可求解．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，
在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，
则当截面与顶点距离为h(0≤h≤3)时，小圆锥底面半径为r，
则h3=r2，∴r=23h，
故截面面积为：4π−49πh2，
把y=h代入x24+y29=1，
即x24+h29=1，
解得：x=±23 9−h2，
∴橄榄球形几何体的截面面积为πx2=4π−49πh2，
由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：
V=2(V圆柱−V圆锥)=2×(4π×3−13×4π×3)=16π.
故选：D.
构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积．
本题考查了类比推理的应用，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：∵3z1+z2=−1−2i，z1+3z2=5+2i，
∴z1=−1−i，z2=2+i，
∴所以z1−z2=−3−2i，z1z2=−1−i2+i=−(1+i)(2−i)5=−3−i5.
故选：ABD.
根据复数的四则运算求解即可．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】【分析】
A：判断e1与e2是否共线即可；B：根据向量数量积的定义和钝角的概念即可判断；C：根据向量加减法计算法则即可计算；D：根据投影向量的概念和计算方法即可求解判断．
本题考查了平面向量基本定理、向量的加减运算、向量的夹角以及投影向量的概念，属于基础题．
【解答】
解：对于A，∵e1 =4e2 ，∴e1 //e2 ，故这两个向量不能作为基底，故A错误；
对于B，a⋅b<0⇒cs⟨a,b⟩<0⇒⟨a,b⟩∈(π2,π],π不属于钝角，故B错误；
对于C，(AC+BO+OA)−(DC−DO−OB)=OA+AC+CD+DO+OB+BO=0，故C正确；
对于D，若a⊥b，则a在b上的投影向量为|a|csπ2⋅b|b|=0，故D正确．
故选：CD.
11.【答案】ACD
【解析】解：对A：由题知，各侧面均为边长为m的正三角形，
故该正八面体结构的表面积S=8× 34×m2=2 3m2，故A正确；
对B：连接AS，PS，则AS=PS= 22m,PS⊥底面ABCD，
故该正八面体结构的体积V=2×13×m2× 22m= 23m3，故B错误；
对C：底面中心S到各顶点的距离相等，故S为外接球球心，外接球半径R=PS= 22m，
故该正八面体结构的外接球表面积S′=π×( 2m)2=2πm2，故C正确；
对D：该正八面体结构的内切球半径r=3VS= 2m32 3m2= 2m2 3，
故内切球的表面积S′′=4π×( 2m22 3)2=2πm23，故D正确．
故选：ACD.
分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项．
本题考查了正八面体的结构特征和其外接球、内切球的表面积计算，属于中档题．
12.【答案】−12
【解析】解：由向量e1，e2不共线，得a≠0，
由向量a=e1−4e2与b=ke1+2e2共线，
得ke1+2e2=λ(e1−4e2),λ∈R，则k=λ2=−4λ，所以k=λ=−12.
故答案为：−12.
根据给定条件，利用共线向量定理求出k即得．
本题主要考查共线向量定理，属于基础题．
13.【答案】 5
【解析】解：因为BC=AC−AB，又向量AB,AC分别表示复数z1=2−i，z2=3+i，
所以BC表示复数z2−z1=1+2i，
所以|BC|=|1+2i|= 5.
故答案为： 5.
由复数减法的几何意义以及复数模的运算公式即可求解．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
14.【答案】4：3
【解析】解：圆锥的侧面积为S侧=12×2π3×12=π3，
设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π3×1，解得r=13；
所以圆锥的底面圆面积为S底=π×(13)2=π9，
所以圆锥的表面积为S表=S侧+S底=π3+π9=4π9，
所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为4π9：π3=4：3.
故答案为：4：3.
求出圆锥的侧面积和底面半径，再求圆锥的表面积，由此计算即可．
本题考查了圆锥的表面积与侧面积的计算问题，是基础题．
15.【答案】解：(1)由题意，复数z=m−i(m∈R)，
∴z−=m+i(m∈R)，
则z−⋅(1+3i)=(m+i)⋅(1+3i)=m−3+(3m+1)i，
∵z−⋅(1+3i)为纯虚数，∴m−3=03m+1≠0，解得m=3；
∴m的值为3；
(2)复数z2=a−i3−i=(a−i)(3+i)(3−i)(3+i)=3a+110+a−310i，
∵复数z2=a−iz在复平面对应的点在第一象限，
∴3a+110>0a−310>0，解得a>3.
∴实数a的取值范围为a>3.
【解析】(1)结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数z−⋅(1+3i)，由已知条件可求得实数m的值；
(2)利用复数的除法求z2，再结合复数的几何意义求解．
本题考查了复数的运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
16.【答案】解：(1)a在b方向上的投影为|a|cs45∘= 2× 22=1；
(2)a⋅b= 2×1× 22=1，
|a+2b|2=a2+4a⋅b+4b2=2+4+4=10，
则|a+2b|= 10；
(3)向量(2a−λb)与(λa−3b)的夹角是锐角，
可得(2a−λb)⋅(λa−3b)>0，且(2a−λb)与(λa−3b)不共线，
即为2λa2+3λb2−(6+λ2)a⋅b>0，
即有7λ−(6+λ2)>0，解得1<λ<6，
由(2a−λb)与(λa−3b)共线，可得2⋅(−3)=−λ⋅λ，
解得λ=± 6，
则实数λ的取值范围为(1, 6)∪( 6,6).
【解析】(1)由向量投影概念可得结果；
(2)运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值；
(3)由题意可得(2a−λb)⋅(λa−3b)>0，且(2a−λb)与(λa−3b)不共线，计算即可得到所求范围．
本题考查向量的数量积的定义和性质，以及向量的投影和夹角为锐角的等价条件，考查运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为asinAcsB+bsinAcsA= 3acsC，
根据正弦定理得sinAsinAcsB+sinAsinBcsA= 3sinAcsC，
∵sinA≠0，
∴sinAcsB+sinBcsA= 3csC，
即sin(A+B)= 3csC，
即sinC= 3csC.
∵csC≠0，
∴tanC= 3.
因为0所以C=π3.
(2)因为AB⋅AC=1，
即bccsA=1.
因为a2=b2+c2−2bccsA，
所以b2+c2=9+2bccsA=11①，
因为c2=a2+b2−2abcsC，
所以b2−c2=2abcsC−a2=2×3×b×csπ3−32=3b−9②，
联立①②可得2b2−3b−2=0，
解得b=2(负舍)，
故△ABC的面积为12absinC=12×3×2× 32=3 32.
【解析】(1)利用正弦定理进行边化角，结合两角和与差的正弦公式得到sinC= 3csC，则有tanC= 3，则得到角C的大小；
(2)根据向量数量积的定义得到bccsA=1，结合余弦定理得到b2+c2=11，b2−c2=3b−9，联立解得b的值，再利用三角形面积公式即可得到答案．
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：在梯形ABCD中，∠ABC=90∘，AD//BC，且AD=a，BC=2a，∠DCB=60∘，
∴CD=BC−ADcs60∘=2a,AB=CDsin60∘= 3a，
∴DD′=AA′−2AD=2BC−2AD=2a，
∴DO=12DD′=a.
∵以l为轴将梯形ABCD旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，
且圆柱高为 3a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a，
∴圆柱的侧面积S1=2π⋅2a⋅ 3a=4 3πa2，
圆锥的侧面积S2=π⋅a⋅2a=2πa2，
圆柱的底面积S3=π(2a)2=4πa2，
圆锥的底面积S4=πa2，
∴组合体上底面积S5=S3−S4=3πa2，
∴旋转体的表面积S=S1+S2+S3+S5=(4 3+9)πa2.
又由题意知，形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，
圆柱的体积V1=π(2a)2⋅ 3a=4 3πa3，
圆锥的体积V2=13πa2⋅ 3a= 33πa3，
∴旋转体的体积V=V1−V2=4 3πa3− 33πa3=11 33πa3.
【解析】本题考查了旋转体的理解与应用，圆锥与圆柱结构特征的应用，圆锥与圆柱的表面积公式以及体积公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．先判断出以l为轴将梯形ABCD旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，分析圆锥与圆锥的基本量，然后利用圆锥和圆柱的表面积公式以及体积公式求解即可．
19.【答案】解(1)∵csA2csB=sin(C−π6)= 32sinC−12csC，
∴csA= 3csBsinC−csBcsC，
∴cs[π−(B+C)]= 3csBsinC−csBcsC，
∴−(csBcsC−sinBsinC)= 3csBsinC−csBcsC，
又sinC>0，∴sinB= 3csB，
.∴tanB= 3，B是三角形ABC内角，∴B=60∘，
(2)∵B=60∘，∴csB=a2+c2−b22ac=12，
∴a2+c2−b2=ac，又b2−(a−c)2=b2−(a2+c2)+2ac=6，∴ac=6，
设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，
∵B=60∘，∴三角形ABC的三个角均小于120∘，
∴根据题意可得∠APB=∠BPC=∠APC=120∘，
又S△ApB+S△BPC+S△APC=S△ABC，
∴12xy⋅ 32+12yz⋅ 32+12xz⋅ 32=12ac⋅ 32，
∴xy+yz+xz=ac=6，
∴PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC=xy⋅(−12)+yz⋅(−12)+xz⋅(−12)=−12(xy+yz+xz)=−3.
(3)由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，
∴12xy⋅ 32+12yz⋅ 32+12xz⋅ 32=12ac⋅ 32，
∴xy+yz+xz=ac，
由余弦定理可得b2=x2+z2−2xzcs120∘=x2+z2+xz①，
同理可得c2=x2+y2+xy②，a2=z2+y2+yz③，
①②③相加得a2+b2+c2=2x2+2y2+2z2+xy+xz+yz=2x2+2y2+2z2+ac，
又a2+c2−b2=ac，b=1，所以x2+y2+z2=1，
∵B=60∘，∠APB=120∘，∴∠ABP+∠CBP=60∘，∠ABP+∠BAP=60∘，
所以∠BAP=∠CBP，又∠APB=∠BPC=120∘，
故△ABP∽△BCP，所以xy=yz⇒y2=zx，
故x2+xz+z2=1，即(x+z)2−xz=1，
∴xz=(x+z)2−1≤(x+z)24，
∴x+z≤ 43，当且仅当x=z时等号成立，
又x+z>b=1，所以1∴|PA|+|PC|−|PB|=x+z−y=x+z− xz=x+z− (x+z)2−1，
令x+z=t，则1由于函数y=t,y= t2−1均为(1, 43]上的单调递增函数．
∴y=t+ t2−1为(1, 43]上的单调递增函数，
∴y=t+ t2−1∈(1, 3],进而|PA|+|PC|−|PB|=1t+ t2−1∈[ 33,1).
即|PA|+|PC|−|PB|的取值范围是[ 33,1).
【解析】(1)根据三角恒等变换及同角三角函数的关系求解；
(2)根据余弦定理以及等面积法可得xy+yz+xz=aw=6，即可根据数量积的定义求解，
(3)根据余弦定理，结合(2)的结论可得x2+y2+z2=1，进而根据三角形相似可得y2=zx，由基本不等式以及三角形边角关系可得1本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了向量的数量积运算，考查了转化思想及函数思想，属于中档题．