福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测数学试卷（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟；总分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点是平行四边形的对角线的交点，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 对下面图形的表示恰当的是（ ）．

A. B. C. D.
3. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
4. 在直角坐标系中，已知，，若，恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，若，，与夹角为，则＝（ ）
A. 6B.
C. 3D.
6. 窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，是中间正方形的两个相邻的顶点，是外框正八边形上的一点，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下面给出的关系式中，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为，则
D. 若与方向相反，则在上投影向量的坐标是
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A. 若，则为的重心
B. 若为内心，则
C. 若，为的外心，则
D. 若为的垂心，，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量满足，且，则向量夹角的余弦值为__________.
13. 在中，，点为与的交点，，则______．
14. 在中，，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且，，则BD的长度的最大值是__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，．
（1）求满足实数m，n的值；
（2）若，求实数k的值．
16. 在中，角的对边分别为．
（1）求的值；
（2）求边上的高．
17. 设是不共线的两个向量.
（1）若，，，求证：A，B，C三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值.
18. 一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向.

（1）若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值；
（2）当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
19. 在中，对应的边分别为，
（1）求；
（2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Luis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为，借助于三维分式型柯西不等式：当且仅当时等号成立.求的最小值.