福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期开学抽测数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期开学抽测数学试卷（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟；总分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（ ）
A.B.C.D.
2.数学符号的使用对数学的发展影响深远，“”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”，便于不等式的表示，则命题：，，的否定为（ ）
A.，，B.，，
C.，，D.，，
3.已知下列表格表示的是函数，则的值为（ ）
A.B.C.0D.1
4.在罗贯中所著的《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一，东汉建安十三年（公元208年），曹操率二十万众顺江而下，周瑜、程普各自督领一万五千精兵，与刘备军一起逆江而上，相遇赤壁，最后用火攻大败曹军.第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事俱备，只欠东风”，你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.某校高一5班有学生50人，为迎接国庆节的到来，班级组织了两个活动，其中活动参与的人数有30人，活动参与的人数有25人，由于个人原因有5人两个活动都没有参与，则该班仅参与一个活动的人数为（ ）
A.40B.35C.30D.25
6.函数，若，则，，的大小关系是（ ）
A.B.
C.D.
7.如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值为（ ）
A.B.C.D.
8.某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（ ）
A.924万元B.976万元C.1109万元D.1231万元
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数，则（ ）
A.的最大值为2
B.函数的图象关于点对称
C.直线是函数图象的一条对称轴
D.函数在区间上单调递增
10.德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，且满足：①任意，；②；③，则（ ）
A.在上单调递增B.的图象关于点对称
C.当时，D.当时，
11.设，当时，规定，如，.则下列选项正确的是（ ）
A.（，）
B.
C.设函数的值域为，则的子集个数为512
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则________.
13.为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，那么高一（1）班总共有学生人数为________.
14.已知不是常数函数，且满足：，.
①请写出函数的一个解析式________；
②将你写出的解析式得到新的函数，若，则实数的值为________.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若正实数，满足，求的最小值.
16.（15分）已知函数（，）.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）讨论函数在上的单调性，并加以证明.
17.（15分）已知函数.请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.
条件①：；条件②：.
（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分）.
（1）求实数的值；
（2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明；
（3）设函数，指出函数在区间上的零点个数，并说明理由.
18.（17分）设函数，，.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）若，，使成立，求实数的取值范围；
（3）求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过的最大整数，如，）.（参考数据：，）.
19.（17分）有如下条件：
①对，，2，，均有；
②对，，2，，均有；
③对，，2，3，；若，则均有；
④对，，2，3，；若，则均有.
（1）设函数，，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；
（2）设，比较函数，，值的大小，并说明理由；
（3）设函数，满足条件②，求证：的最大值.（注：导数法不予计分）
2023~2024学年第二学期福建省部分优质高中高一年级入学质量抽测
数学试卷参考答案
阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
注意：全部选对的得6分，第9题选对其中一个选项得2分，第10、11题选对其中一个选项得3分。有错选的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.313.35
14.（答案不唯一，形如，，是周期为的奇函数均可）；0或2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本题满分13分，第一小题6分，第二小题7分）
解：（1）因为关于的不等式的解集为，
所以，是方程的两根，
由韦达定理得，解得，；
（2）由（1）得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以取得最小值.
16.（本题满分15分，第一小题6分，第二小题9分）
解：（1）为奇函数，理由如下：
的定义域为，
又，故为奇函数；
（2）当时，单调递减，
当时，单调递增，
，，且，
则，
因为，，且，所以，，
当时，，即，
故单调递减，
当时，，即，
故单调递增
17.（本题满分15分，第一小题5分，第二小题5分，第三小题5分）
解：（1）令，解得，所以函数的定义域为，
若选①：因为，即为奇函数，
则，
整理得，
注意到对任意上式均成立，可得，解得；
若选②：因为，即为偶函数，
则，
整理得，
注意到对任意上式均成立，可得，解得.
（2）若选①：则，可得，
可知函数在区间上单调递减，证明如下：
对任意，，且，
则，
因为，则，，，
可得，即，
所以函数在区间上单调递减；
若选②：则，可得，
可知函数在区间上单调递减，证明如下：
对任意，，且，
则，
因为，则，，
可得，即，
所以函数在区间上单调递减.
（3）若选①：则，则，
由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增，
可知在内单调递减，
又因为为奇函数，则在内单调递减，
且在内单调递减，可知在内单调递减，
结合，，
可知在内有且仅有一个零点；
若选②：则，则，
由（2）可知在内单调递减，且在定义域内单调递增，
可知在内单调递减，
又因为为偶函数，则在内单调递增，
且在内单调递增，可知在内单调递增，
结合，，
可知在内有且仅有一个零点.
18.（本题满分17分，第一小题5分，第二小题6分，第三小题6分）
解：（1）令，，解得，，
又，得的单调增区间是和；
令，，解得，，
又，得的单调减区间是和.
函数在上的单调增区间是和，单调减区间是和；
（2）若，，使成立，
则，，的值域应为的值域的子集.
由（1）知，在单调递减，
的值域为，
，当时，令，
则，开口方向向上，对称轴是，，
当时，在单调递减，不符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，
，即，解得，
所以；
（3）由（1）知在上是减函数，易知在上是增函数，
所以在上是减函数，
又，，
根据零点存在性定理知在上有唯一零点，
当时，，，
所以，
即在上无零点，
综上，在上有且只有一个零点.
，
，
，
.
19.（本题满分17分，第一小题8分，第二小题4分，第三小题5分）
解：（1）选①④ 理由：
由在上递增，故①满足，②不满足；
由，且，则，，，
故，，，且，显然，故③错；
由于，则，
当，则，故，
此时与的距离比与的距离小，且、在两侧，故；
当，则，易知：；
综上，，故④对.
所以，满足①④.
（2）由，则，
而在上递减，在上递增，
所以，
故.
（3）由题意，已知函数在给定区间内递减，
由在恒成立，
当时，的增长率比大，故随增大变小；
当时，递增，递减，故随增大变小；
综上，上且递减，而时，
显然，使在上递减，
所以在上递减，则最大值，得证.
0
1
2
3
0
2
1
4
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年产值
278
309
344
383
427
475
528
588
655
729
811
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
B
B
B
A
C
C
题号
9
10
11
答案
AB
BCD
BD