福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期入学质量抽测数学试卷(含答案)

这是一份福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期入学质量抽测数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．数学符号的使用对数学的发展影响深远,“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中,表达等式关系,英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”,便于不等式的表示,则命题,,的否定为( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
3．已知下列表格表示的是函数,则的值为( )
A.B.C.0D.1
4．《红楼梦》,《西游记》,《水浒传》,《三国演义》为我国四大名著,其中罗贯中所著《三国演义》中经典的战役赤壁之战是中国历史上以弱胜强的著名战役之一,东汉建安十三年(公元208年),曹操率二十万众顺江而下,周瑜,程普各自督领一万五千精兵,与刘备军一起逆江而上,相遇赤壁,最后用火攻大败曹军.第49回“欲破曹公,宜用火攻;万事俱备,只欠东风”,你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．某校高一6班有学生50人,为迎接国庆节的到来,班级组织了两个活动,其中活动参与的人数有30人,B活动参与的人数有25人,由于个人原因有5人两个活动都没有参与,则该班仅参与一个活动的人数为( )
A.40B.35C.30D.25
6．函数,若,则,,的大小关系是( ).
A.B.
C.D.
7．如图直角坐标系中,角,角的终边分别交单位圆于A,B两点,若B点的纵坐标为,且满足,则的值为( )
A.B.C.D.
8．某企业从2011年开始实施新政策后,年产值逐年增加,下表给出了该企业2011年至2021年的年产值(万元).为了描述该企业年产值(万元)与新政策实施年数(年)的关系,现有以下三种函数模型:,（,且）,（,且）,选出你认为最符合实际的函数模型,预测该企业2024年的年产值约为( )(附:)
A.924万元B.976万元C.1109万元D.1231万元
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.的最大值为2
B.函数的图象关于点对称
C.直线是函数图象的一条对称轴
D.函数在区间上单调递增
10．德国数学家康托尔是集合论的创立者,为现代数学的发展作出了重要贡献.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集,定义了区间上的函数,且满足:①任意,;
②;
③,则( )
A.在上单调递增B.的图象关于点对称
C.当时,D.当时,
11．设,当时,规定,如,.则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.设函数的值域为M,则M的子集个数为
D.
三、填空题
12．已知,,则________.
13．为丰富学生课余生活,拓宽学生视野,某校积极开展社团活动,高一(1)班参加社团的学生有21人,参加B社团的学生有18人,两个社团都参加的有7人,另外还有3个人既不参加A社团也不参加B社团,那么高一(1)班总共有学生人数为________.
14．已知不是常数函数,且满足:.
①请写出函数的一个解析式________;
②将你写出的解析式得到新的函数,若,则实数a的值为________.
四、解答题
15．已知关于x的不等式的解集为.
（1）求实数m,n的值;
（2）若正实数a,b满足,求的最小值.
16．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性,并说明理由;
（2）讨论函数在上的单调性,并加以证明.
17．已知函数.请从条件①,条件②这两个条件中选择一个作为已知,解答下面的问题.
条件①:;
条件②:.
（1）求实数k的值;
（2）设函数,判断函数在区间上的单调性,并给出证明;
（3）设函数,指出函数在区间上的零点个数,并说明理由.
18．设函数,,.
（1）求函数在上的单调区间;
（2）若,,使成立,求实数a的取值范围;
（3）求证:函数在上有且只有一个零点,并求(表示不超过x的最大整数,如,).
参考数据:,.
19．有如下条件:
①对,,2,,均有;
②对,,2,,均有;
③对,,2,3,;若,则均有;
④对,,2,3,;若,则均有.
（1）设函数,,请写出该函数满足的所有条件序号,并充分说明理由;
（2）设,比较函数,,值的大小,并说明理由;
（3）设函数,满足条件②,求证:t的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：.
故选:B.
2．答案：D
解析：因为全称量词命题的否定为存在量词命题,
所以命题,,的否定为,,.
故选:D.
3．答案：B
解析：依题意,,,所以.
故选:B
4．答案：B
解析：易知:“东风”是“打败曹操”的必要不充分条件.
故选:B
5．答案：B
解析：依题意参加A,B两项活动的有人,
则仅参与一个活动的人数为人.
故选:B
6．答案：A
解析：因为,所以,所以,
所以,又,
所以.
故选:A
7．答案：C
解析：由B点的纵坐标为,即,则,故,
,即,
又,则有,故,
.
故选:C.
8．答案：C
解析：由表中数据可知该企业年产值y(万元)随着新政策实施年数x(年)的增加而增加,
结合2012年比2011年增加31万元,2021年比2020年增加82万元,
可知越往后的年份比上一年增加的产值越多,即y的增长速度越来越快,
结合三种函数模型:,(,且),（,且）,
可知(,且)为最符合实际的函数模型;
则,故,
故预测该企业2024年的年产值约为,则(万元),
即预测该企业2024年的年产值约为1109万元,
故选:C
9．答案：AB
解析：函数,
对于选项A,,A正确;
对于选项B和C,将代入函数的解析式,得,函数的图象关于点对称,B正确,C错误;
对于选项D,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,D不正确;
故选:AB.
10．答案：BCD
解析：由②得,即,
得,而,得,
,故A错误;
由③可知,,即,
则的图象关于点对称,故B正确;
由②得,则,
由③得,即,
由,得,故C正确;
由,得,则,
任意,,
当时,,即,
,即,则,故D正确.
故选:BCD.
11．答案：BD
解析：对于A中,例如,则,,
可得,所以A错误;
对于B中,由,,
所以,所以,所以B正确;
对于C中,因为,可得,
当时,,
当时,,
当时,,
当时,,
当时,,
当时,,
若,则且,
所以且,即且,
所以,不符合题意,即,
同理,
若,则与其中一个为,另一个为,或其中一个为,另一个为,
不妨令,则,
此时,,
则,,所以,,
又,显然不符合题意;
再令,则,
此时,,
则,,所以,,
又,不妨令,,此时满足;
即函数的值域为,
所以集合M的子集个数为,所以C错误;
对于D中,设,
若,可得,所以,,
则,
所以的周期为,
又当时,可得,此时;
,此时;
,此时;
,此时,
所以,结合周期为,即恒为0,
即,
所以,所以D正确.
故选:BD.
12．答案：3
解析：因为,,所以,
故.
故答案为:3
13．答案：35
解析：由题意,
高一(1)班参加社团的学生有21人,参加B社团的学生有18人,两个社团都参加的有7人,
只参加A社团的学生有(人),
只参加B社团的学生有(人),
另外还有3个人既不参加A社团也不参加B社团,
高一(1)班总共有学生人数为:(人)
故答案为:35.
14．答案：(答案不唯一,形如,是周期为的奇函数均可),0或2
解析：由,可知函数为奇函数,
由,即,
可知,函数是周期函数,周期为,
函数的一个解析式为;
设,定义域为R,
且,
所以函数也是奇函数,
则,
则,由题意可知,,
解得:或.
故答案为:(答案不唯一,形如,是周期为的奇函数均可);0或2
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）因为关于x的不等式的解集为,
所以是方程的两根,
由韦达定理得,解得;
（2）由（1）得,
则,
当且仅当,即时取等号,
所以取得最小值.
16．答案：（1）为奇函数,理由见解析
（2）当时,单调递减,
当时,单调递增,理由见解析
解析：（1）为奇函数,理由如下:
的定义域为R,
又,
故为奇函数;
（2）当时,单调递减,
当时,单调递增,
,且,
则
,
因为,,且,所以,,
当时,,即,
故单调递减,
当时,,即,
故单调递增,
17．答案：（1）答案见解析
（2）在区间上单调递减,证明见解析
（3）在内有且仅有一个零点,理由见解析
解析：（1）令,解得,所以函数的定义域为,
若选①:因为,即为奇函数,
则,
整理得,
注意到对任意上式均成立,可得,解得;
若选②:因为,即为偶函数,
则,
整理得,
注意到对任意上式均成立,可得,解得.
（2）若选①:则,可得,
可知函数在区间上单调递减,证明如下:
对任意,且,
则,
因为,则,
可得,即,
所以函数在区间上单调递减;
若选②:则,可得,
可知函数在区间上单调递减,证明如下:
对任意,且,
则,
因为,则,
可得,即,
所以函数在区间上单调递减.
（3）若选①:则,则,
由（2）可知在内单调递减,且在定义域内单调递增,
可知在内单调递减,
又因为为奇函数,则在内单调递减,
且在内单调递减,可知在内单调递减,
结合,,
可知在内有且仅有一个零点;
若选②:则,则,
由（2）可知在内单调递减,且在定义域内单调递增,
可知在内单调递减,
又因为为偶函数,则在内单调递增,
且在内单调递增,可知在内单调递增,
结合,,
可知在内有且仅有一个零点.
18．答案：（1）单调增区间是和;单调减区间是和
（2）
（3）证明见解析,
解析：（1）令,,解得,,
又,得的单调增区间是和;
令,,解得,,
又,得的单调减区间是和.
函数在上的单调增区间是和,单调减区间是和;
（2）若,,使成立,
则,,的值域应为的值域的子集.
由（1）知,在单调递减,
的值域为,
,当时,令,
则,开口方向向上,对称轴是,,
当时,在单调递减,不符合题意;
当时,在单调递减,在单调递增,
,即,解得,
所以;
（3）由（1）知在上是减函数,易知在上是增函数,
所以在上是减函数,,
又,,
根据零点存在性定理知在上有唯一零点,
当时,,,
所以,
即在上无零点,
综上,在上有且只有一个零点.
,
,
,
.
19．答案：（1）选①④,理由见解析
（2）,理由见解析
（3）证明见解析
解析：（1）选①④理由:
由在上单调递增,故①满足,②不满足;
由,且,则,,,
故,,,且,
显然,故③错;
由于,则,
当,则,故,
此时与的距离比与的距离小,且,在两侧,
故;
当,则,则:;
综上,,故④对.
所以,满足①④.;
（2）由,则,
而时,在上单调递减,在上递增,
所以,
故.
（3）由题意知,已知函数在给定区间内递减,
在恒成立,
当时,的增长率比大,故随着x增大,变小;
当时,递增,递减,故随x增大,变小;
综上,在上且递减,而在上,,
显然,使在上递减,
所以在上递减,则最大值,得证.
x
0
1
2
3
y
0
2
1
4
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年产值
278
309
344
383
427
475
528
588
655
729
811