福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试题试题（Word版附解析）

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2023~2024学年第二学期福建省部分优质高中高一年级期中质量检测
数 学 试 卷
（考试时间：120分钟；总分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知复数z满足z⋅1+i=3+2i，则z的实部为（ ）
A．54 B．12 C．52 D．−52
2．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．AB=DC B．AD+AB=AC C．AB−AD=BD D．AD+CB=0
3．下列说法中错误的是（ ）
A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
4．已知向量a=−1,−1，b=−1,1，若λa+b⊥μa+b，则（ ）
A．λμ=−1 B．λ+μ=−1 C．λμ=1 D．λ+μ=1
5．下列说法错误的是（ ）
A．CD=DC B．e1，e2是单位向量，则e1=e2
C．若AB>CD，则AB>CD D．两个相同的向量的模相等
6．已知α,β,γ为三个不同的平面，a,b,l为三条不同的直线，若α∩β=l，α∩γ=a，β∩γ=b，l//γ，则下列结论正确的是（ ）
A．a与l相交 B．b与l相交 C．a//b D．a与β相交
7．第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于2024年2月18日至21日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D．已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得∠ACB=60°，∠ACD=105°，∠ADC=30°，∠ADB=60°，则A，B两个基站的距离为（ ）
A．106km B．303−1km C．15km D．105km
8．我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积12V1相等，即12V1=πR2⋅R−13πR2⋅R=23πR3．某粮仓如图3所示，其对应的立体图形是由双曲线x24−y29=1和直线y=3及y=−3围成的封闭图形绕y轴旋转一周后所得到的几何体（如图4），类比上述方法，运用祖暅原理可求得该几何的体积等于（ ）
A．40π B．32π C．24π D．16π
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知复数z1，z2满足3z1+z2=−1−2i，z1+3z2=5+2i，则（ ）
A．z1=−1−i B．z2=2+i C．z1−z2=−3+2i D．z1z2=−3−i5
10．下列说法正确的是（ ）
A．AC+BO+OA−DC−DO−OB=0
B．若a⋅b<0，则a与b的夹角是钝角
C．向量e1=2,−3,e2=12,−34能作为平面内所有向量的一个基底
D．若a⊥b，则a在b上的投影向量为0
11．六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）
A．该正八面体结构的表面积为23m2 B．该正八面体结构的体积为2m3
C．该正八面体结构的外接球表面积为2πm2 D．该正八面体结构的内切球表面积为2πm23
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知e1，e2是两个不共线的向量，a→=e1−4e2，b→=ke1+2e2，若a与b共线，则k= ．
13．若向量AB,AC分别表示复数z1=2−i, z2=3+i，则BC= ．
14．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在复平面内，复数z对应的点的坐标为m,−1 (m∈R)，且z⋅(1+3i)为纯虚数（z是z的共轭复数）.
(1)求m的值；
(2)复数z2=a−iz在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
16．（15分）已知a=2,b=1,a与b的夹角为45∘.
(1)求a在b方向上的投影向量;
(2)求a+2b的值;
(3)若向量2a−λb与λa−3b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
17．（15分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且asinAcsB+bsinAcsA=3acsC．
(1)求角C的大小；
(2)若a=3，且AB⋅AC=1，求△ABC的面积．
18．（17分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴旋转一周得到一个旋转体．
(1)求此旋转体的表面积．
(2)求此旋转体的体积．
19．（17分）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且csA2csB=sinC−π6，
点P为△ABC的费马点．
(1)求角B；
(2)若b2−(a−c)2=6，求PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC的值；
(3)若b=1，求|PA|+|PC|−|PB|的取值范围.2023~2024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级期中质量检测
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