2021-2022学年广东省广州市南武教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省广州市南武教育集团八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列各式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D. 以上都不对

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列各组数中，以、、为边的三角形是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 在▱中，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列命题的逆命题是假命题的是(    )

A. 两直线平行，同位角相等 B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 菱形的四条边相等 D. 正方形的四个角都是直角

7. 如图，▱中，对角线、交于点，点是的中点．若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(    )

A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分

9. 如图所示，数轴上点所表示的数为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 若二次根式有意义，则自变量的取值范围是______．
12. 在▱中，，，则▱的周长为______．
13. 如图，在中，，点是的中点，且，则 ______ ．

14. 如图，，，，则 ______ ．

15. 如图，在▱中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点，则的面积是______．

16. 如图，在中，，，，分别为，上的点，，，分别为，的中点，若，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 已知，，求下列各式的值：
    ；
    ．
19. 如图，每个小正方形的边长都为．
    求的周长．
    求的大小．

20. 已知：如图，，为▱对角线上的两点，且，连接，，求证：．

21. 如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为米的大树被折断，树的顶部落在离树根米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断即求的长度？

22. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求矩形的面积．

23. 如图所示，在矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，点、的速度都是．
    连接，当运动时间为秒时，求线段的长．
    连接、，在运动过程中，当运动时间为多少秒时，．

24. 如图，平行四边形中，于，，交延长线于求证：．

如图，平行四边形中，、是两条对角线，求证：．

如图，是的中线，已知：，，求：的长度．
 

25. 如图，在正方形中，点在边上，点在正方形外部，且满足，，连接，，取的中点，连接，，交于点．
    依题意补全图形；
    求证：；
    设，若点沿着线段从点运动到点，则在该运动过程中，线段所扫过的面积为多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，不是二次根式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，
，
以、、为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，，，
，
以、、为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，，，
，
以、、为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
D.，，，
，
以、、为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据正方形的面积与边长的平方的关系得，图中面积为和的正方形的边长是和；
解图中直角三角形得正方形的边长：，所以正方形的面积为．
故选：．
要求正方形的面积，则要知它的边长，而正方形的边长是直角三角形的一斜边，利用另外两正方形的面积可求得该直角三角形的两条直角边，再用勾股定理可解．
此题考查了正方形的面积公式与勾股定理，比较简单．
 

5.【答案】 

【解析】解：在▱中，，，
．
故选：．
由在▱中，，，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、两直线平行，同位角相等的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，逆命题为真命题；
B、平行四边形的对角线互相平分的逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，逆命题为真命题；
C、菱形的四条边相等的逆命题为“四条边相等的四边形是菱形”，逆命题为真命题；
D、正方形的四个角都是直角的逆命题为“四个角都是直角的四边形是正方形”，逆命题为假命题；
故选：．
先写出各命题的逆命题，然后再判断真假即可．
本题考查了命题与定理的知识，注意掌握逆命题的书写方法，及真假命题的判断，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
点是的中点，，
．
故选B．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，又由点是的中点，易得是的中位线，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意平行四边形的对角线互相平分．
 

8.【答案】 

【解析】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：．
矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定的值．
此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，与交于点．
点与关于对称，
，
最小．
正方形的面积为，
．
又是等边三角形，
．
故所求最小值为．
故选B．
由于点与关于对称，所以连接，与的交点即为点．此时最小，而是等边的边，，由正方形的面积为，可求出的长，从而得出结果．
此题主要考查了轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
▱的周长，
故答案为：．
根据平行四边形的周长解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：，点是的中点，
，
故答案为：．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：．
故答案为：
在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理即可求出的长．
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
∽，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据相似得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案．
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接、，如图，，
，，
，
点、分别为、的中点，
为的中位线，为的中位线，
，，，，
，
，
为等腰直角三角形，
．
故答案为．
取的中点，连接、，如图，先判断为的中位线，为的中位线得到，，，再证明，则，然后根据为等腰直角三角形确定的长．
本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了等腰直角三角形的性质．
 

17.【答案】解：；


． 

【解析】根据合并同类二次根式的方法可以解答本题；
根据平方差公式可以解答本题．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
 

18.【答案】解：，，
，


；
，，
，，



． 

【解析】根据，，可以计算出的值，从而可以计算出所求式子的值；
根据，，可以得到和的值，从而可以计算出所求式子的值．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是求出、的值，注意平方差公式的应用．
 

19.【答案】解：由勾股定理得：，，，
所以的周长为；

，，，
，，
，
是直角三角形，
即． 

【解析】先根据勾股定理求出、、的长，再求出的周长即可；
根据、、的长度得出，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能灵活运算勾股定理及勾股定理的逆定理进行计算是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
在和中，，
≌．
． 

【解析】证明≌，即可得出结论．
本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：米，
米，
米，，，
，
解得，
即这棵树在离地面米处被折断． 

【解析】由题意得，在直角三角形中，运用勾股定理列式计算即可解答．
此题主要考查了勾股定理的应用，培养学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，
，
，
． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论；
由菱形的性质和勾股定理求出，再由矩形面积公式列式计算即可．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：设点、运动的时间为，则，
在矩形中，，，
，，
当是，则
，

过作于，
则四边形是矩形，
，，
，
在中，
，
答：当运动时间为秒时，线段的长为；
设秒后，，

，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形为菱形，
，
即，
解得：．
答：当时，． 

【解析】过作于，在中，根据勾股定理即可求出；
时，四边形为菱形，可得，即，解之即可求出结论．
本题考查了菱形、矩形的判定与性质、勾股定理．解决此题注意结合方程的思想解题．
 

24.【答案】证明：于，于，
，
在平行四边形中，，，
，
，
，
；                       
证明：作于，交延长线于，如图所示：
在和中，根据勾股定理得：，
同理：，
由得，，，
；             
解：延长至，使得，连接，，如图所示：
是的中线，
，
四边形为平行四边形，
，，
由得：，
，
．
 

【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．
由全等三角形的判定证明，即可得出结论；
作于，于，在和中，由勾股定理得，同理：，由，，即可得出结论；
延长至，使，连接，，由是的中线，证明四边形为平行四边形，得出，，由得：，即可求出．
 

25.【答案】解：依题意补全图形，如图所示．


证明：连接，如图所示．

四边形是正方形，
，，
，
，，
，
．
在中，点是中点，
．
，，，
≌，
．

在点沿着线段从点运动到点的过程中，线段所扫过的图形为四边形．
，，
，
四边形为梯形．
，
，，
．
故答案为：． 

【解析】依照题意补全图形即可；
连接，只要证明≌即可．
找出所扫过的图形为四边形根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出，由此得出四边形为梯形，再由，可算出线段、、的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题，属于中考压轴题．