广东省广州市海珠区南武教育集团联考2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份广东省广州市海珠区南武教育集团联考2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省广州市海珠区南武教育集团联考九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．将方程x2﹣4x﹣1＝0的左边变成平方的形式是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣4）2＝1 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣1）2＝4
3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（　　）

A．（1，3） B．（0，1） C．（0，﹣3） D．（2，1）
4．已知一元二次方程x2﹣4x+5＝0，则以下说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法判断根的情况
5．在平面直角坐标系中，将点M（0，﹣3）绕原点顺时针旋转90°后得到的点的坐标为（　　）
A．（0，﹣3） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，3）
6．如图，ABCDE是正五边形，该图形绕它的中心至少旋转（　　）可以跟自身重合．

A．60° B．120° C．75° D．72°
7．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（　　）
A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
8．关于x的方程x2+px+q＝0的两根同为负数，则（　　）
A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0 C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜0
9．在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y＝x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（　　）

A．b≤﹣2 B．b＜﹣2 C．b≥﹣2 D．b＞﹣2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．已知点（2，1）在抛物线y＝ax2上，则此函数的开口方向 　 　．
12．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的其中一个根是0，则a＝　 　．
13．在平面直角坐标系中，点P（﹣10，a）与点Q（b，b+1）关于原点对称，则a+b＝　 　．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣4
﹣3
﹣4
﹣7
﹣12
…
则该图象的对称轴是　 　．
15．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y≥0，则x的取值范围是　 　．

16．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，连接DC，则线段DC＝　 　cm．

三、解答题（本大共9小题，共72分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解方程：
（1）x2+2x﹣8＝0；
（2）2x2+3x+1＝0．
18．在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）线段AC与线段A1C1的位置关系是 　 　．

19．王师傅开了一家商店，七月份盈利2500元，九月份盈利3600元，且每个月盈利的平均增长率都相等，求每月盈利的平均增长率．
20．已知关于x的方程x2+5x﹣p2＝0．
（1）求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根为x1、x2，当x1+x2＝x1x2时，求p的值．
21．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△BCD的面积．

22．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的大小．

23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
24．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把
∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．
（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S的最小值．

25．已知：抛物线l1：y＝﹣x2+bx+3交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为直线x＝﹣1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．

（1）直接写出抛物线l1和抛物线l2的函数表达式；
（2）P为直线x＝1上一动点，连接PA，PC，当PA+PC距离最短时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．


参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．将方程x2﹣4x﹣1＝0的左边变成平方的形式是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣4）2＝1 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣1）2＝4
【分析】把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
解：把方程x2﹣4x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝1+4
配方得（x﹣2）2＝5．
故选：C．
3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（　　）

A．（1，3） B．（0，1） C．（0，﹣3） D．（2，1）
【分析】根据抛物线与x轴的两个交点坐标确定对称轴后即可确定顶点坐标．
解：观察图象发现图象与x轴交于点（1，0）和（3，0），
∴对称轴为x＝2，
∴顶点坐标为（2，1），
故选：D．
4．已知一元二次方程x2﹣4x+5＝0，则以下说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法判断根的情况
【分析】求出根的判别式的值，判断即可．
解：一元二次方程x2﹣4x+5＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，
∴Δ＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则方程没有实数根．
故选：B．
5．在平面直角坐标系中，将点M（0，﹣3）绕原点顺时针旋转90°后得到的点的坐标为（　　）
A．（0，﹣3） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，3）
【分析】根据旋转变换到现在作出图形，可得结论．
解：如图，M′（﹣3，0），

故选：C．
6．如图，ABCDE是正五边形，该图形绕它的中心至少旋转（　　）可以跟自身重合．

A．60° B．120° C．75° D．72°
【分析】根据题意，结合正五边形的性质的关系可得答案．
解：根据正五边形的性质，可以由一个基本图形绕中心O至少经过4次旋转而得到，
每次旋转的度数为360°除以5为72度，故该图形绕它的中心至少旋转72度可以跟自身重合．
故选：D．

7．将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（　　）
A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【分析】由抛物线平移不改变a的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
解：将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y＝（x﹣2）2+1．
故选：C．
8．关于x的方程x2+px+q＝0的两根同为负数，则（　　）
A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0 C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜0
【分析】由于只有方程△≥0、两根之积＞零、两根之和＜零时，方程x2+px+q＝0的两根才同为负数，由此得到关于p，q的不等式，然后确定它们的取值范围．
解：设x1，x2是该方程的两个负数根，
则有x1+x2＜0，x1x2＞0，
∵x1+x2＝﹣p，x1x2＝q
∴﹣p＜0，q＞0
∴p＞0，q＞0．
故选：A．
9．在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】令x＝0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
解：x＝0时，两个函数的函数值y＝b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y＝ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选：C．
10．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y＝x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（　　）

A．b≤﹣2 B．b＜﹣2 C．b≥﹣2 D．b＞﹣2
【分析】对称轴x＝﹣≤1时，二次函数y＝x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点．
解：抛物线y＝x2+bx+1与y轴的交点为（0，1），
∵C（2，1），
∴对称轴x＝﹣≤1时，二次函数y＝x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，
∴b≥﹣2．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．已知点（2，1）在抛物线y＝ax2上，则此函数的开口方向 　向上　．
【分析】根据点（2，1）在抛物线y＝ax2上，即可得到a的值，然后即可写出该函数的图象开口方向．
解：∵点（2，1）在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a×12，
解得a＝1，
∴该函数图象开口向上，
故答案为：向上．
12．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的其中一个根是0，则a＝　﹣2　．
【分析】把x＝0代入原方程得4﹣a2＝0，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值．
解：把x＝0代入方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0得4﹣a2＝0，解得a1＝2，a2＝﹣2，
因为a﹣2≠0，
所以a的值为﹣2．
故答案为﹣2．
13．在平面直角坐标系中，点P（﹣10，a）与点Q（b，b+1）关于原点对称，则a+b＝　﹣1　．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得b＝10，a＝﹣11，进而可得a+b的值．
解：∵点P（﹣10，a）与点Q（b，b+1）关于原点对称，
∴b＝10，a＝﹣b﹣1＝﹣11，
∴a+b＝﹣11+10＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣4
﹣3
﹣4
﹣7
﹣12
…
则该图象的对称轴是　直线x＝﹣2　．
【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴．
解：由表格可得，
该函数图象的对称轴为直线x＝＝﹣2，
故答案为：直线x＝﹣2．
15．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y≥0，则x的取值范围是　﹣3≤x≤1　．

【分析】根据抛物线的对称轴为x＝﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y≥0时，x的范围．
解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x＝﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y≥0时，x的取值范围是﹣3≤x≤1．
故填：﹣3≤x≤1．
16．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，连接DC，则线段DC＝　（2﹣2）　cm．

【分析】连接CE，延长DC交AB于H，先证明CH⊥AB，由直角三角形的性质可求解．
解：如图，连接CE，延长DC交AB于H，

∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，
∴∠ABD＝∠CBE＝60°，BC＝BE＝AC＝DE，∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△BCE是等边三角形，∠EDB＝45°，
∴CE＝BC，∠CEB＝60°，
∴CE＝DE，∠DEC＝30°，
∴∠EDC＝∠ECD＝75°，
∴∠BDH＝∠EDC﹣∠EDB＝30°，
∵∠BDH+∠DBA＝90°，
∴CH⊥AB，
又∵∠C＝90°，BC＝AC＝2cm，
∴AB＝AC＝4（cm），CH＝AH＝BH＝2（cm），
∵CH⊥AB，BH＝2cm，∠BDH＝30°，
∴DH＝BH＝2（cm），
∴DC＝DH﹣CH＝（2﹣2）（cm），
故答案为：（2﹣2）．
三、解答题（本大共9小题，共72分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解方程：
（1）x2+2x﹣8＝0；
（2）2x2+3x+1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2+2x﹣8＝0，
（x﹣2）（x+4）＝0，
∴x﹣2＝0或x+4＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣4；
（2）2x2+3x+1＝0，
（2x+1）（x+1）＝0，
则2x+1＝0或x+1＝0，
解得x1＝﹣，x2＝﹣1．
18．在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）线段AC与线段A1C1的位置关系是 　平行　．

【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）结合图形即可得出答案．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（2）由图知，线段AC与线段A1C1的位置关系是平行，
故答案为：平行．
19．王师傅开了一家商店，七月份盈利2500元，九月份盈利3600元，且每个月盈利的平均增长率都相等，求每月盈利的平均增长率．
【分析】设每月盈利的平均增长率为x，利用九月份的盈利＝七月份的盈利×（1+每月盈利的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每月盈利的平均增长率为20%．
解：设每月盈利的平均增长率为x，
依题意得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每月盈利的平均增长率为20%．
20．已知关于x的方程x2+5x﹣p2＝0．
（1）求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根为x1、x2，当x1+x2＝x1x2时，求p的值．
【分析】（1）求出根的判别式Δ＝25+4p2，根据判别式的意义即可得出无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系求出两根和与两根积，再代入x1+x2＝x1x2，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：Δ＝52﹣4（﹣p2）＝25+4p2，
∵无论p取何值时，总有p2≥0，
∴25+4p2＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：由题意可得x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣p2，
∵x1+x2＝x1x2，
∴﹣5＝﹣p2，
∴p＝±．
21．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△BCD的面积．

【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y＝a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）令y＝0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论．
解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得：a+4＝3，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴C（﹣1，0），D（3，0）；
∴CD＝4，
∴S△BCD＝CD×|yB|＝×4×3＝6．
22．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的大小．

【分析】（1）根据旋转的性质即可求出两点之间的距离
（2）由旋转可知：P′B＝PC＝10，PB＝8，P′B2＝P′P2+PB2，从而可知△P′PB为直角三角形，从而求出∠APB的大小
解：（1）由旋转的性质知AP′＝AP＝6，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△P′AP是等边三角形，
∴PP′＝6；
（2）∵P′B＝PC＝10，PB＝8，
∴P′B2＝P′P2+PB2，
∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB＝90°，
∴∠APB＝∠P′PB+∠P′PA＝90°+60°＝150°．
23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
【分析】（1）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）把y＝4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．
解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
＝（x﹣50）（﹣5x+550）
＝﹣5x2+800x﹣27500
∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；

（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500
＝﹣5（x﹣80）2+4500
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，
∴当x＝80时，y最大值＝4500；

（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，
解得x1＝70，x2＝90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，
解得x≥82．
∴82≤x≤90，
∵50≤x≤100，
∴销售单价应该控制在82元至90元之间．
24．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把
∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．
（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S的最小值．

【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA＝90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE＝CF；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM＝CN，DM＝DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM＝FN，就可得到BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝2；
（3）过点F作FG⊥AB，由题意可得S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，则可求S与x之间的函数解析式，根据二次函数最值的求法，可求S的最小值．
解：（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，
∴∠B＝∠C＝60°，BD＝CD，
∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝90°，
∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED＝180°，
∴∠AED＝90°，
∴∠DEB＝∠DFC，且∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．
∵∠A＝60°，
∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．
∵∠EDF＝120°，
∴∠MDE＝∠NDF．
在△MBD和△NCD中，
，
∴△MBD≌△NCD（AAS）
BM＝CN，DM＝DN．
在△EMD和△FND中，
，
∴△EMD≌△FND（ASA）
∴EM＝FN，
∴BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN
＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝2
（3）过点F作FG⊥AB，垂足为G，

∵BE＝x
∴AE＝4﹣x，CF＝2﹣x，
∴AF＝2+x，
∵S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，
∴S＝BC×AB×sin60°﹣AE×AF×sin60°﹣BE×BD×sin60°﹣CF×CD×sin60°
＝4﹣×（4﹣x）×（2+x）×﹣×x×2×﹣×（2﹣x）×2×
∴S＝（x﹣1）2+
∴当x＝1时，S最小值为
25．已知：抛物线l1：y＝﹣x2+bx+3交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为直线x＝﹣1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．

（1）直接写出抛物线l1和抛物线l2的函数表达式；
（2）P为直线x＝1上一动点，连接PA，PC，当PA+PC距离最短时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．
【分析】（1）由对称轴可求得b，可求得l1的解析式，令y＝0可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得l2的表达式；
（2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC交对称轴于点P，则点P为所求，即可求解．
（3）可分别设出M、N的坐标，可表示出MN，再根据函数的性质可求得MN的最大值．
解：（1）∵抛物线l1：y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，解得b＝2，
∴抛物线l1的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，可得﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，
∴A点坐标为（﹣1，0），
∵抛物线l2经过点A、E两点，
∴可设抛物线l2解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），
又∵抛物线l2交y轴于点D（0，），
∴＝﹣5a，解得a＝，
∴y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣2x，
∴抛物线l2的函数表达式为y＝x2﹣2x；

（2）如图，函数的对称轴为直线x＝1，
点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC交对称轴于点P，
则点P为所求，
设直线BC：y＝kx+3，
将点B的坐标代入直线BC，
得0＝3k+3，
解得k＝﹣1，
∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
故点P（1，2）；

（3）令y＝﹣x2+2x+3＝x2﹣2x，
解得：x＝﹣1或，
①当﹣1＜x≤时，MN＝（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x）＝﹣x2+4x+＝﹣（x﹣）2+，
∴当﹣1＜x≤时，x＝，MN有最大值；
②当＜x≤5时，MN＝（x2﹣2x）﹣（﹣x2+2x+3）＝x2﹣4x﹣＝（x﹣）2﹣，
∵当x＞时，MN随x的增大而增大，
∴当x＝5时，MN有最大值，×（5﹣）2﹣＝12；
综上可知，在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．