十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题22 导数解答题（理科）-3

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（2022年浙江省高考数学试题·第22题）
设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
（2014高考数学大纲理科·第22题）
函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，证明：.
（2015高考数学广东理科·第19题）
设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．
（2017年高考数学天津理科·第20题）
设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，函数，求证：；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.
（2021年高考浙江卷·第22题）
设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
（2021年新高考全国Ⅱ卷·第22题）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
（2021年新高考Ⅰ卷·第22题）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
（2022新高考全国II卷·第22题）
已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
（2021年高考全国乙卷理科·第20题）
设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
题型六：导数与其他知识的交汇题型
（2022新高考全国I卷·第22题）
已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
（2015高考数学湖南理科·第23题）
已知，函数，记为的从小到大的第个极值点，证明：
（1）数列是等比数列
（2）若，则对一切，恒成立.
（2015高考数学湖北理科·第22题）
已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与的大小；
（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．
（2015高考数学广东理科·第21题）
数列满足，
(1)求的值；
(2)求数列前项和；
(3)令，，证明：数列的前项和满足．
（2023年天津卷·第20题）
已知函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)求证：当时，；
(3)证明：．
（2023年新课标全国Ⅰ卷·第19题）
已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
（2018年高考数学江苏卷·第19题）
记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值；
（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．