十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题22 导数解答题（理科）-2

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(2023年北京卷·第20题)
设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
(2023年新课标全国Ⅱ卷·第22题)
（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
(2021高考北京·第19题)
已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第21题)
已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第21题)
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
(2018年高考数学北京（理）·第18题)
设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
(2014高考数学山东理科·第20题)
设函数（k为常数，e＝2．718 28…是自然对数的底数）．
（1）当时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数在（0,2）内存在两个极值点，求k的取值范围．
(2014高考数学湖南理科·第22题)
已知常数,函数.
(1)讨论在区间上的单调性;
(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.
(2014高考数学安徽理科·第18题)
设函数，其中
（1）讨论在其定义域上的单调性；
（2）当时，求取得最大值和最小值时的的值.
(2015高考数学安徽理科·第21题)
设函数.
（Ⅰ）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（Ⅱ）记，求函数在上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求满足时的最大值.
(2017年高考数学浙江文理科·第20题)
已知函数
（I）求的导函数
（II）求在区间上的取值范围
(2017年高考数学山东理科·第20题)
已知函数，，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第21题)
已知函数．
（1）若，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．
(2017年高考数学江苏文理科·第20题)
已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b²>3a;
（3）若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围．
(2017年高考数学北京理科·第19题)
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第21题)
已知函数且．
(1)求 ；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且．
(2016高考数学天津理科·第20题)
设函数x∈R，其中a,b∈R.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
（Ⅲ）设a＞0,函数g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于.
(2023年全国乙卷理科·第21题)
已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
(2019·北京·理·第19题)
已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
题型四：导数与函数零点问题
(2022年高考全国甲卷数学（理）·第21题)
已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第21题)
已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求的值.
(2014高考数学四川理科·第21题)
已知函数，其中，为自然对数的底数.
（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围
(2014高考数学辽宁理科·第21题)
已知函数，.
证明：（1）存在唯一，使；
（2）存在唯一，使，且对（1）中的.
(2015高考数学新课标1理科·第21题)
已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．
(2015高考数学天津理科·第20题)
已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
（Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证：
(2015高考数学四川理科·第21题)
已知函数，其中.
（1）设是的导函数，讨论的单调性；
（2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.
(2015高考数学江苏文理·第19题)
已知函数．
(1)试讨论的单调性；
(2)若（实数是与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值．
(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第21题)
已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第21题)
已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：.
(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第21题)
设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
(2022年高考全国乙卷数学(理)·第21题)
已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
(2019·全国Ⅰ·理·第20题)
已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
(2019·江苏·第19题)
设函数，为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．