专题04 函数解答题（3类题型 理科）-十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）

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TOC \ "1-1" \h \u 题型一：函数概念及其性质 PAGEREF _Tc7254 \h 1
题型二：函数的零点问题2
题型三：函数的应用3
题型一：函数概念及其性质
1．(2020江苏高考·第19题)已知关于的函数与在区间上恒有．
(1)若，求的表达式；
(2)若，求的取值范围；
(3)若
求证：．
2．(2014高考数学上海理科·第20题)设常数，函数．
(1)若，求函数的反函数；
(2)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
3．(2014高考数学广东理科·第21题)设函数，其中，
(1)求函数的定义域；(用区间表示)
(2)讨论在上的单调性；
(3)若，求上满足条件的的集合(用区间表示)．
4．(2015高考数学浙江理科·第18题)(本题满分15分)已知函数，记是在区间上的最大值．
(1)证明：当时，；
(2)当，满足，求的最大值．
5．(2015高考数学上海理科·第23题) 对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为，设单调递增，，；
(1)验证是以为余弦周期的余弦周期函数；
(2)设，证明对任意，存在，使得；
(3)证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有．
6．(2017年高考数学上海(文理科)·第21题)设定义在上的函数满足:对于任意的、,当时,都有．
(1)若,求的取值范围;
(2)若为周期函数,证明:是常值函数;
(3)设恒大于零,是定义在上、恒大于零的周期函数,是的最大值．函数．证明:“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”．
7．(2016高考数学浙江理科·第18题)(本题满分15分)已知，函数，其中．
(Ⅰ)求使得等式成立的的取值范围；
(Ⅱ)(ⅰ)求的最小值；
(ⅱ)求在区间上的最大值．
8．已知，函数．
(1)当时，解不等式；
(2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
(3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．
题型二：函数的零点问题
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第22题)已知，函数，其中e=2．71828…为自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数在上有唯一零点；
(Ⅱ)记x0为函数在上的零点，证明：
(ⅰ)；
(ⅱ)．
2．(2019·上海·第18题)已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时，有零点，求的范围.
3．(2016高考数学江苏文理科·第19题)已知函数．
(1)设，．
① 求方程的根；
② 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
(2)若，，函数有且只有1个零点，求的值．
题型三：函数的应用
1．(2020江苏高考·第17题)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上、桥与平行，为铅垂线(在上)．经测量，左侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式．已知点到的距离为米．
(1)求桥的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为米，其中在上(不包括端点)．桥墩每米造价(万元)、桥墩每米造价(万元)()．问为多少米时，桥墩与的总造价最低?
2．(2018年高考数学上海·第19题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：
，
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
3．(2015高考数学上海理科·第20题)(本题满分14分)本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分
如图，、、三地有直道相通，千米，千米，千米，现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为(单位：千米)．甲的路线是，速度是千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时．乙到达地后在原地等待，设时，乙到达地．
(1)求与的值；
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离为千米．
当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过？说明理由．