十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（理科）专题22导数解答题（理科）（Word版附解析）

这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（理科）专题22导数解答题（理科）（Word版附解析），共136页。试卷主要包含了 已知函数， 已知函数，，其中， 设函数,曲线在点处的切线，已知函数， 设函数等内容，欢迎下载使用。
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—导数解答题
目录
题型一：导数的概念及几何意义 1
题型二：导数与函数的单调性 13
题型三：导数与函数的极值、最值 23
题型四：导数与函数零点问题 55
题型五：导数与不等式的证明 79
题型六：导数与其他知识的交汇题型 93
题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题 105
题型八：导数的综合应用 121


题型一：导数的概念及几何意义
1．(2020北京高考·第19题) 已知函数．
(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程；
(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)．
【解析】(Ⅰ)因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程：，即．
(Ⅱ)显然，
因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，所以，
不妨设时，结果一样，则，
所以，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，
也是最小值为．
2．(2018年高考数学天津（理）·第20题) (本小题满分14分)已知函数，，其中．
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明
；
(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．
【答案】(1)解：由已知，，则．令 ，解得．
由，可知当变化时，的变化情况如下表：









↘
极小值
↗
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
(2)证明：由可得曲线在点处的切线斜率为，
由可得曲线在点处的切线斜率为因为这两条切线平行，故有，即．两边取以为底的对数，得，所以．
(3)证明：曲线在点处的切线，
曲线在点处的切线，
要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．
只需证明当时，存在，使得与重合．
即只需证明当时，方程组 有解，
由①得，代入②，得
因此只需证明当时，关于的方程③存在实数解．
设函数，既要证明当时，函数存在零点．
，可知当时，；当时，单调递减，又
，故存在唯一的，且，使得，
即，由此可得在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值．
因为，故，所以
．
下面证明存在实数，使得．
由(1)可得，，当时，有
，
所以存在实数，使得．
因此，当时，存在，使得．
所以当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．
3．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第21题) 已知函数．
(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a取值范围．
【答案】(1)(2)
解析：(1)，，．
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为;
(2)解法一：,
，且．
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立．
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞)．
解法二：等价于
,
令,上述不等式等价于,
显然为单调增函数，∴又等价于，即，
令,则
在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞)．
解法二：等价于
,
令,上述不等式等价于,
显然为单调增函数，∴又等价于，即，
令,则
在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，+∞)内存在“S点”．
解析：(1)函数f(x)=x，g(x)=x2+2x-2，则f′(x)=1，g′(x)=2x+2．
由f(x)= g(x)且f′(x)= g′(x)，得
，此方程组无解，因此，f(x)与g(x)不存在“S”点．
(2)函数，，则，，
设x0为f(x)与g(x)的“S”点，由f(x0)与g(x0)且f′(x0)与g′(x0)，得
，即，(*)
解得，即，则，
当时，，满足方程组(*)，即为f(x)与g(x)的“S”点．
因此，a的值为．
(3)对任意a>0，设，
因为，，且h(x)的图象是不间断的，
所以存在，使得，令，则b>0．
函数，，则，，
由f(x)= g(x)且f′(x)= g′(x)，得
，即(**)，
此时满足方程组(**)，即是函数f(x)与g(x)在区间(0，1)内的一个“S点”．
因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，+∞)内存在“S点”．


题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题
1．(2023年全国甲卷理科·第21题)已知函数
(1)当时，讨论单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析．
(2)
解析：(1)


令,则
则
当
当,即．
当,即．
所以在上单调递增,在上单调递减
(2)设
设

所以．
若,
即在上单调递减,所以．
所以当,符合题意．
若
当,所以．
．
所以,使得,即,使得．
当,即当单调递增．
所以当,不合题意．
综上,的取值范围为．
2．(2014高考数学浙江理科·第22题) 已知函数
(1)若在上的最大值和最小值分别记为，求；
(2)设若对恒成立，求的取值范围．
【答案】解析：(I)因为，所以，由于，
(i)当时，有，故，此时在上是增函数，因此，，
(ii)当时，若，，在上是增函数，，若，，在上是减函数，所以，，由于，因此，当时，，当时，，
(iii)当时，有，故，此时在上是减函数，因此，，故，综上；
(II)令，则，，因为，对恒成立，即对恒成立，所以由(I)知，
(i)当时，在上是增函数，在上的最大值是，最小值是，则，且，矛盾；
(ii)当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，从而且，令，则，在上是增函数，故，因此，
(iii)当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，
(iv)当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，综上的取值范围．
3．(2014高考数学陕西理科·第23题) 设函数，其中是的导函数．
⑴，求的表达式；
⑵若恒成立，求实数的取值范围；
⑶设，比较与的大小，并加以证明．
【答案】(1)；(2)；(3)详见解析．
解析：由题设得，()．
⑴由已知，，，
，…，可得．
下面用数学归纳法证明．
①当时，，结论成立．
②假设当时结论成立，即．
那么当时，
，
即结论成立．
由①②可知，结论对成立．
⑵已知恒成立，即恒成立．
设()，
则，
当时，(仅当，时等号成立)，
∴在上单调递增，又
∴在上恒成立，
∴时，恒成立(仅当时等号成立)，
当时，对恒有，∴在上单调递减，
∴．
即时，存在，使，故知不恒成立，
综上可知，的取值范围是．
⑶由题设知，
，
比较结果为．
证明如下：
证法一 上述不等式等价于，
在⑵中取，可得，．令，，则．
下面用数学归纳法证明．
①当时，，结论成立．
②假设当时结论成立，即．
那么当时，，
即结论成立．
由①②可知，结论对成立．
证法二 上述不等式等价于，
在⑵中取，可得，．
令，，则．
故有，
，
…
，
O
n
x
y
1
2
3

…

上述各式相加可得，
结论得证．
证法三 如图，是由曲线，及轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和，
∴，
结论得证．
4．(2014高考数学福建理科·第20题) (本小题满分14分)
已知函数(为常数)的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为．
(1)求的值及函数的极值；
(2)证明：当时，；
(3)证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有．
【答案】解析： (I)由得．
又，得．所以得．
令得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值．
(II)令，则．
由(I)得，故在上单调递增，又，
因此，当时，，即．
(III) 解法一：①若，则．又由(II)知，当时，．
所以当时，．
取，当时，恒有．
②若，令，要使不等式成立，只要成立．
而要使成立，则只要，只要成立．
令，则，
所以当时，，在内单调递增．
取，所以在内单调递增．
又．
易知，，，所以．
即存在，当时，恒有．
综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有．
解法二：对任意给定的正数，取．
由(II)知，当时，，所以．
当时，．
因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有．
解法三：首先证明当时，恒有．
证明如下：
令，则．
由(II)知，当时，．
从而，在单调递减
所以，即．
取，当时，有．
因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有．
5．(2014高考数学北京理科·第18题) 已知,
(1)求证：
(2)在上恒成立，求a的最大值与b的最小值
【答案】解析：(Ⅰ)由得
．
因为在区间上所以在区间上单调递减．
从而．
(Ⅱ)当时,“”等价于“”；“”等价于“”．
令,则．
当时,对任意恒成立．
当时,因为对任意,,所以在区间上单调递减．从而对任意恒成立．
当时,存在惟一的使得．
与在区间上的情况如下：







-

↗

↘
因为在区间上是增函数,所以．进一步,“对任意恒成立”当且仅当即．
综上所述,当且仅当时,对任意恒成立；当且仅当时,对任意恒成立．
所以,若对任意恒成立,则的最大值为,的最小值为．
6．(2015高考数学新课标2理科·第21题) (本题满分12分)设函数．
(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；
(Ⅱ)若对于任意，都有，求的取值范围．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)．
解析：(Ⅰ)．
若，则当时，，；当时，，．
若，则当时，，；当时，，．
所以，在单调递减，在单调递增．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．
7．(2015高考数学山东理科·第21题) 设函数，其中．
(Ⅰ)讨论函数极值点的个数，并说明理由；
(Ⅱ)若成立，求的取值范围．
【答案】(Ⅰ)当 时，函数在上有唯一极值点；
当时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有两个极值点；
(Ⅱ)的取值范围是．
分析：(Ⅰ)先求，令
通过对 的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数 的单调区间；(Ⅱ)根据(1)的结果这一特殊性，通过对参数的讨论确定的取值范围．
解析：函数的定义域为

令，
(1)当 时， ， 在上恒成立
所以，函数在上单调递增无极值；
(2)当 时，
①当时， ，
所以，，函数在上单调递增无极值；
②当 时，
设方程的两根为
因为
所以，
由可得：
所以，当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；
当时， ，函数单调递增；
因此函数有两个极值点．
(3)当 时，
由可得：
当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；
因此函数有一个极值点．
综上：
当 时，函数在上有唯一极值点；
当时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有两个极值点；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
(1)当时，函数在上单调递增，
因为
所以，时， ，符合题意；
(2)当 时，由 ，得
所以，函数在上单调递增，
又，所以，时， ，符合题意；
(3)当 时，由 ，可得
所以 时，函数 单调递减；
又
所以，当时， 不符合题意；
(4)当时，设
因为时，
所以 在 上单调递增，
因此当时，
即：
可得：
当 时，
此时， 不合题意．
综上所述，的取值范围是
8．(2015高考数学北京理科·第18题) (本小题13分)已知函数．
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)求证：当时，；
(Ⅲ)设实数使得对恒成立，求的最大值．
【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)证明见解析，(Ⅲ)的最大值为2．
分析：利用导数的几何意义，求出函数在处的函数值及导数值，再用直线方程的点斜式写出直线方程；第二步要证明不等式在成立，可用作差法构造函数，利用导数研究函数在区间(0，1)上的单调性，由于，在(0，1)上为增函数，则，问题得证；第三步与第二步方法类似，构造函数研究函数单调性，但需要对参数作讨论，首先符合题意，其次当时，不满足题意舍去，得出的最大值为2．
解析：(Ⅰ)，曲线在点处的切线方程为；
(Ⅱ)当时，，即不等式，对成立，设，则，当时，，故在(0，1)上为增函数，则，因此对，成立；
(Ⅲ)使成立，，等价于，；，
当时，，函数在(0，1)上位增函数，，符合题意；
当时，令，





-
0
+


极小值

，显然不成立，
综上所述可知：的最大值为2．
9．(2016高考数学四川理科·第21题)设函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立，(为自然对数的底数)
【答案】【官方解答】
(1)令
当时，，则
所以在单调递减；
当时，
综上所述当时，在单调递减；
当时，在单调递减；在单调递增
(2)令，
则，而当时，，所以在区间单调递增，
又由，有，从而当时，
当时，
故当在区间内恒成立。必有
当时，，由(1)有，
所以此时故当在区间内不恒成立
当时，，令
当时，
因此，所以当时，，即恒成立
综上，．
【民间解析】函数的定义域为，
(1)令
当时，，则
所以在单调递减；
当时，，则
所以在单调递减；
当时，
综上所述当时，在单调递减；
当时， 在单调递减；在单调递增
(2)令，且

当时，恒成立，在为减函数，
所以不成立
当时，
时，，所以存在，
，，则在单调递减
所以时，，所以不满足
当时，

所以在单调递增，所以
所以在单调递增，所以，满足题意
所以的取值为
(2)法二：要使在区间内恒成立，
即在区间内恒成立
令，且
要使在区间内恒成立，只需保证在单调递增
在内恒成立
由

当 时，，设
则，易知是为增函数，
所以时，，所以在单调递增
所以，当时，
所以当时，在在单调递增，所以
所以要使在区间内恒成立，的取值为．
10．(2016高考数学山东理科·第20题)(本小题满分13分)已知．
(I)讨论的单调性；
(II)当时，证明对于任意的成立．
【答案】【解析】(Ⅰ)的定义域为；．
当， 时，，单调递增；时，，单调递减．
当时，．
(1)，，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
(2)时，，在内，，单调递增；
(3)时，，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减．
综上所述，
当时，函数在内单调递增，在内单调递减；
当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；
当时，在内单调递增；
当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，时，
，，
令，．
则，由可得，当且仅当时取得等号．
又，设，则在单调递减，
因为=-10,所以在上存在使得时，时，,
所以函数在上单调递增；在上单调递减，
由于,因此,当且仅当时取等号，
所以即对任意的恒成立．
11．(2015高考数学福建理科·第20题)已知函数，
(Ⅰ)证明：当；
(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对
(Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)．
解析：解法一：(1)令则有
当 ,所以在上单调递减；
故当时，即当时，．
(2)令则有
当 ,所以在上单调递增,
故对任意正实数均满足题意．
当时，令得．
取对任意恒有,所以在上单调递增, ,即．
综上，当时，总存在,使得对任意的恒有．
(3)当时，由(1)知，对于故，
，
令，则有
故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t不存在．
当时，由(2)知存在,使得对任意的任意的恒有．
此时,
令，则有
故当时，,在上单调递增，故,即,记与中较小的为，
则当，故满足题意的t不存在．
当，由(1)知，，
令，则有
当时，,所以在上单调递减，故,
故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意．
综上，．
解法二：(1)(2)同解法一．
(3)当时，由(1)知，对于，
故，
令，
从而得到当时，恒有,所以满足题意的t不存在．
当时，取
由(2)知存在,使得．
此时,
令，此时 ,
记与中较小的为，则当，
故满足题意的t不存在．
当，由(1)知，，
令，则有
当时，,所以在上单调递减，故,
故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意．
综上，．

题型八：导数的综合应用
1．(2014高考数学课标2理科·第21题) (本小题满分12分)
已知函数=．
(Ⅰ)讨论的单调性；
(Ⅱ)设，当时，, 求的最大值；
(Ⅲ)已知，估计ln2的近似值(精确到0．001)
【答案】解析：
(Ⅰ)，等号仅当时成立
所以在上单调递增．
(Ⅱ)



当时，，等号仅当时成立，所以在上单调递增，而，故．
当时，若满足，即时，，而，故，．
综上的最大值为2．
(Ⅲ)由(2)知，
当时，，得
当时，
，得
所以
2．(2014高考数学湖北理科·第22题) 为圆周率，为自然对数的底数．
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；
(Ⅲ)将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)详见解析．
解析：(1)函数的定义域为．因为，所以．
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减．
故的单调递增区间为；单调递减区间为．
(2)因为，所以，，即，．
于是根据函数在定义域上单调递增，可得，
，故这6个数中最大数在与之中，最小数在与之中．
由及(1)的结论，得，即．
由，得，所以．由，得，所以
．综上6个数中最大的数是，最小的数是．
(3)由(2)知，，；又由(2)知，，得．
故只需比较与和与的大小．
由(1)知，当时，，即．
在上式中，令，又．则，从而，
即得 ①
由①得，，
即，所以，又由①得，，即，
所以．
综上可得，，即个数从小到大排序为：．
3．(2014高考数学江苏·第19题) 已知函数，其中e是自然对数的底数．
(1)证明：是R上的偶函数；
(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知正数满足：存在，使得成立． 试比较与的大小，并证明你的结论．
【答案】(2) ；(3) 当时，，当时，，当时，．
解析：(1) 因为对任意，都有，
所以是R上的偶函数．
(2) 解法一：由条件知上恒成立．
令，则，所以对于任意成立．
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立．
因此实数m的取值范围是．
解法二：考虑不等式两边同乘，则不等式转化为在上恒成立．
令，则问题可简化为：在上恒成立．
构造函数，由图象易得当时不符合题意．
当时，或解得．
综上可知，实数的取值范围为．
(3)解法一： 令函数，则．
当时，，，又，故，
所以是上的单调增函数，
因此在上的最小值是．
由于存在，使成立，当且仅当最小值，
故，即．
令函数，则，令，得．
当时，，故是上的单调减函数．
当时，，故是上的单调增函数．
所以在上的最小值时．
注意到，所以当时，．
当时，，所以对任意的成立．
①当时，，即，从而；
②当时，；
③当时，，即，故．
综上所述，当时，，当时，，当时，．
解法二：要比较与的大小，由于，那么，
故只要比较与的大小．
令，那么．
当时，；当时，．
所以在区间上，为增函数；在区间上，为减函数．
又，，则，；
那么当时，，，；
当时，，，．
综上所述，当时，；当时，；当时，．
4．(2015高考数学江苏文理·第17题) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为．如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和2．5千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系．假设曲线符合函数(其中为常数)模型．
(1)求的值；
(2)设公路与曲线相切于点,的横坐标为．
①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．






O
C



【答案】(1)(2)①定义域为，②千米
分析(1)由题意得函数过点，列方程组就可解出a，b的值(2)①求公路l长度的函数解析式，就是求出直线l与x,y轴交点，再利用两点间距离公式计算即可，关键是利用导数几何意义求出直线l方程，再根据M，N为C的两个端点的限制条件得定义域为②对函数解析式解析式根式内部分单独求导求最值，注意列表说明函数变化趋势．
解析：(1)由题意知，点，的坐标分别为，．
将其分别代入，得，解得．
(2)①由(1)知，()，则点的坐标为，
设在点处的切线交，轴分别于，点，，
则的方程为，由此得，．
故，．
②设，则．令，解得．
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，
此时．
答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．
5．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第21题)已知函数f(x)=sin2xsin2x．
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
(2)证明：；
(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
【答案】(1)当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增．(2)证明见解析；(3)证明见解析．
解析：(1)由函数的解析式可得：，则：

，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增
(2)注意到，
故函数是周期为的函数，
结合(1)的结论，计算可得：，
，，
据此可得：，，
即．
(3)结合(2)的结论有：




．
6．(2020天津高考·第20题)已知函数，为的导函数．
(Ⅰ)当时，
(i)求曲线在点处的切线方程；
(ii)求函数的单调区间和极值；
(Ⅱ)当时，求证：对任意的，且，有．
【答案】(Ⅰ)(i)；(ii)的极小值为，无极大值；(Ⅱ)证明见解析．
【解析】(Ⅰ)(i)当时，，．可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
(ii)依题意，．
从而可得，整理可得：，
令，解得．当变化时，的变化情况如下表：









单调递减
极小值
单调递增

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
的极小值为，无极大值．
(Ⅱ)证明：由，得．
对任意的，且，令，则



． ①
令．
当时，，
由此可得在单调递增，所以当时，，即．
因为，，，
所以
． ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得．
所以，当时，任意的，且，有
．
7．(2019·浙江·第22题)已知实数，设函数，．
(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；
(Ⅱ)对任意均有，求的取值范围．
注：为自然对数的底数．
【答案】【意图】本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满分15分。
【解析】(Ⅰ)当时，，

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为
(Ⅱ)由，得
当时，，等价于
令，则
设，
则
(ⅰ)当时，
则
记，
则

列表讨论：



1




0



单调递减
极小值
单调递增
(1)

当时，
令，
则，
故在上单调递增，，
由得
，，
由知对任意，，，
即对任意，均有，
综上所述，所求的的取值范围是．
8．(2019·天津·理·第20题)设函数为的导函数．
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)当时，证明；
(Ⅲ)设为函数在区间内的零点，其中，证明．
【答案】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．满分14分．
(Ⅰ)解：由已知，有．
因此，当时，有，得，则单调递减；
当时，有，得，则单调递增．
所以，的单调递增区间为，
的单调递减区间为．
(Ⅱ)证明：记．依题意及(Ⅰ)，有，
从而．当时，，故
．
因此，在区间上单调递减，进而．
所以，当时，．
(Ⅲ)证明：依题意，，即．记，则，
且．
由及(Ⅰ)，得．由(Ⅱ)知，当时，，所以在上为减函数，因此．又由(Ⅱ)知，，故．
所以，．