十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题20 三角函数及解法解答题（理科）-3

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题型五：与三角形周长、面积有关问题
（2023年全国乙卷理科·第18题）
在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
（2021年新高考全国Ⅱ卷·第18题）
在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（2020年高考课标Ⅱ卷理科·第17题）
中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
（2022高考北京卷·第16题）
在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
（2022年浙江省高考数学试题·第18题）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
（2022新高考全国II卷·第18题）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
（2022年高考全国乙卷数学（理）·第17题）
记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
（2014高考数学浙江理科·第18题）
在中，内角所对的边分别为.已知，
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
（2015高考数学浙江理科·第16题）
在中，内角 ，， 所对的边分别为， ，，已知 ，= .
（1）求的值；
（2）若的面积为3，求 的值.
（2015高考数学新课标2理科·第17题）
中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
（2015高考数学山东理科·第16题）
设.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.
（2017年高考数学新课标1卷理科·第17题）
△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为
(1)求;
(2)若求△ABC的周长.
（2017年高考数学上海（文理科）·第18题）
设，.
(1)求函数的单调增区间；
(2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积.
（2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题）
的内角的对边分别为，已知，．
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积．
（2017年高考数学课标2卷理科·第17题）
的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，面积为2，求．
（2017年高考数学北京理科·第15题）
在中，．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
（2016高考数学浙江理科·第16题）
在中，内角所对的边分别为，已知．
（1）证明：；
（2）若的面积，求角的大小．
（2016高考数学课标1卷理科·第17题）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周长.
（2019·全国Ⅲ·理·第18题）
的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
题型六：三角函数的建模应用
（2014高考数学湖北理科·第17题）
某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系：，.
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
（2019·上海·第19题）
如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，，，，.
（1）求的长度；
（2）若，求到海岸线的最短距离（精确到）.
（2014高考数学上海理科·第21题）
如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.
（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？
（2019·江苏·第18题）
如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
（2018年高考数学江苏卷·第17题）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
题型七：结构不良型试题
（2023年北京卷·第17题）
设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（2020年新高考全国1卷（山东）·第17题）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（2021高考北京·第16题）
在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
（2020北京高考·第17题）
在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．