高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.1 空间几何体与斜二测画法导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.1 空间几何体与斜二测画法导学案，共10页。

美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．
思考：在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？
知识点1 空间几何体
如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体．
1．我们以前接触过的几何体有哪些？
[提示] 正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等．
知识点2 直观图与斜二测画法
1．直观图
立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图．为了使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图．
2．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)在平面图形上取互相x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°)．
(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．
平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半．
(3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线．
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．( )
(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．( )
(3)斜二测画法中，平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．( )
(4)斜二测坐标系取的角可能是135°．( )
[提示] 斜二测画法中，平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
知识点3 立体图形及圆的直观图
1．用斜二测画法作立体图形直观图的步骤
(1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴)．
(2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴．
图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．连接有关线段．
(3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除)．
2．水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆．
[拓展]
正等测画法
(1)正等测画法一般用于画圆柱、圆锥、圆台、球等．
(2)正等测画法的规则如下：
①在已知图形中取相互垂直的轴Ox，Oy，画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝120°(或60°)，它们确定的平面表示水平面．
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
③平行于x轴或y轴的线段，在直观图中长度都不变．
3．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
C [由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图的画法，知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm．]
类型1 水平放置的平面图形的直观图
【例1】 按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
[解] (1)在图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H．
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°．
(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝eq \f(1,2)OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝eq \f(1,2)GA，H′D′＝eq \f(1,2)HD．
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
① ② ③
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
eq \O([跟进训练])
1．如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图．
[解] 画法：
(1)以AB边所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，两轴相交于点O(如图①)，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°(如图②)．
(2)在图②中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝eq \f(1,2)AE，B′C′＝eq \f(1,2)BC；在y′轴上截取O′D′＝eq \f(1,2)OD．
(3)连接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
① ② ③
类型2 画空间几何体的直观图
【例2】 用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．
[思路探究] eq \x(画轴)→eq \x(画底面)→eq \x(画侧棱)→eq \x(成图)
[解] (1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．
(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF．
(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长．
(4)成图：顺次连线A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示．
简单几何体直观图的画法步骤
(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．
(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．
(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．
(4)连线成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
eq \O([跟进训练])
2．画出正四棱锥(底面是正方形，侧面是有一个公共顶点且全等的等腰三角形的棱锥)的直观图．
[解] (1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①所示．
① ②
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD．
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到此四棱锥的直观图(如图②)．
类型3 直观图的还原和计算问题
1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？
[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．
2．若尝试与发现1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
[提示] 由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝10．
3．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？
[提示] 原三角形面积为S＝eq \f(1,2)a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a′＝a，h′＝eq \f(1,2)h·sin 45°＝eq \f(\r(2),4)h，S′＝eq \f(1,2)a′·h′＝eq \f(1,2)a·eq \f(\r(2),4)h＝eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)a·h＝eq \f(\r(2),4)S．
【例3】 如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．
[思路探究] 由直观图还原平面图形的关键：
(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度扩大为原来的2倍．
(2)对于相邻两边不与x′，y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．
[解] ①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
③连接AB，BC，得△ABC．
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．
[母题探究]如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是 ．
菱形 [如图所示，在原图形OABC中，应有OA綉BC，OD＝2O′D′＝2×2eq \r(2)＝4eq \r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，
所以OC＝eq \r(OD2＋CD2)
＝eq \r((4\r(2))2＋22)＝6(cm)，
所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]
如何将直观图还原为平面图形？直观图与原图形面积之间有什么关系？
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′．利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
B [根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．]
2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )
C [正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y轴的边长为1.5 cm．]
3．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
C [如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．
]
4．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为 (填具体形状)，其面积为 cm2．
矩形 8 [由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2)．]
5．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为 ．
eq \f(\r(2),2) [画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为eq \f(\r(2),2)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．斜二测画法中的建系原则是什么？
[提示] 在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称轴所在直线为坐标轴、图形的对称中心为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等，即使尽量多的点或线落在坐标轴上．
2．斜二测画法中的“斜”和“二测”各指什么？
[提示] (1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°．
(2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
3．直观图中有哪些“变”与“不变”？
[提示] (1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变．
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)．
(3)有些线段的度量关系会发生变化．这种变化，目的是使图形富有立体感．
1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)
2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点)
1．通过学习斜二测画法的步骤，培养直观想象的核心素养．
2．借助斜二测画法，画出直观图，培养数学抽象的核心素养．