人教B版 (2019)必修 第四册11.1.1 空间几何体与斜二测画法教学设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册11.1.1 空间几何体与斜二测画法教学设计，共12页。教案主要包含了教学重点，教学难点，方法提炼，知识点巩固，变式训练，自我检测等内容，欢迎下载使用。
11.1.1 空间几何体与斜二测画法本小节是《立体几何初步》的第一节课，包括两个部分的内容，空间几何体的概念和直观图的画法——斜二测画法，首先让学生观察现实世界中实物的图片，引导学生抽象出空间几何体的概念，继而引出画出空间几何体的直观图是学习好立体几何的必要条件。本节课主要介绍了最常用的，直观性好的斜二测画法，直观性好的斜二测画法。而水平放置的平面图形的直观图画法，是画空间几何体直观图的基础。教学的重点是斜二测画平面图形直观图的画法，即斜二测画法。教材给出了梯形、长方体、圆柱、球的直观图画法。教学时可以适当延伸，讨论三角形、正六边形、圆锥等的直观图的画法.考点教学目标核心素养认识空间几何体利用实物、计算机软件等观察空间图形直观想象、数学抽象斜二测画法掌握斜二测画法的步骤、能用斜二测画法画出一些简单的平面图形和空间图形的直观图、以及直观图的还原与计算直观想象，数学抽象，逻辑推理，数学运算【教学重点】空间几何体的概念、斜二测画法画平面、空间图形的直观图，直观图的还原与计算【教学难点】直观图的还原与计算引入：      问题1:空间几何体 生活中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑一个物体占有的空间的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.除了长方体外，我们以前还接触过的几何体还有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.问题2：斜二测画法例1.如图所示是梯形ABCD，下面用斜二测画法来作出这个梯形水平放置时的直观图.（1）在梯形ABCD上，以AB为x轴，A为原点，建立平面直角坐标系，如图所示。（2）（i）画轴和轴，使它们相交于点，而且；（ii）在轴上找出点，使得，在原图中过D点作AB的垂线，设垂足为E，连接DE，在新的图中上找出点，使得；（iii）在新的图中作平行于轴，而且使；（iv）在新的图中过作轴的平行线，使得.（3）在图中连接，擦去作图过程中的辅助线等，最后得到的四边形就是梯形的直观图.【方法提炼】一般地，用斜二测画法作出水平放置的平面图形的直观图时，步骤如下：（1）在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的轴和轴，使得它们正方向的夹角为（或）；（2）平面图形与x轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度为原来长度的不变; 平面图形与y轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度为原来长度的一半;（3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线.注：用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出其中与x轴与y轴平行（或重合）的线段.【知识点巩固】1.平行四边形的直观图可能是梯形.(×)提示　平行的线段在直观图中仍平行，故平行四边形的直观图仍是平行四边形.2.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x′Oy′时，∠x′Oy′必须为45°.(×)提示　∠x′Oy′是45°或135°.3.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是(　　)A.原来相交的仍相交  B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行  D.原来共点的仍共点解析　根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.答案　B【变式训练】用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图. 解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.【知识点巩固】1.如图所示为一个平面图形的直观图(A′D′∥B′C′)，则它的实际形状四边形ABCD为(　　) A.平行四边形    B.梯形C.菱形    D.矩形解析　因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.答案　D2.在斜二测画法中，原图形中两条相等的线段，直观图中对应的线段还相等吗？提示　如果两条相等线段平行，则直观图中仍平行且长度相等，若不平行则对应的线段长度不确定.3.矩形的直观图的面积与原图形面积有怎样的关系？提示　矩形直观图的面积是原图形面积的倍.例2.下面我们来画一个水平放置的长为4，宽为3，高为2的长方体的直观图.（1）首先，用上面的方法作出水平放置的长为4，宽为3的长方形的直观图ABCD（保留坐标轴，如下图所示）（2）过A作轴，使之垂直于轴，在轴上截取，过分别作的平行线，并使，然后连接；（3）擦去作图过程中的辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除），由此得到的就是所求长方体的直观图，如图所示.【方法提炼】一般地，用斜二测画法作立体图形直观图地步骤如下：（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直地x轴与y轴，作出水平平面上图形地直观图（保留轴与轴）（2）在立体图形中，过x轴与y轴地交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴过轴与轴的交点作z轴对应的轴，且轴垂直于轴；图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与轴平行（或重合）的线段，且长度不变，连接有关线段.（3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）.【变式训练】用斜二测画法画出正六棱锥的直观图.解　(1)画六棱锥P－ABCDEF的底面的直观图.①在正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在直线为x轴，取与AD垂直的对称轴MN为y轴，两轴相交于点O，建立直角坐标系(如图(1)所示).②画相应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.以O′为A′D′及M′N′的中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以点M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，则得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A′B′C′D′E′F′.(2)在直观图中画六棱锥的顶点.连接OP，以OP所在直线为z轴.过O′作与z轴对应的z′轴，在O′z′上取点P′，使O′P′＝OP.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′(如图(2)所示).(3)擦去x′轴、y′轴、z′轴，被面遮挡住的线段A′F′，E′F′，P′F′改成虚线，便得到正六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(如图(3)所示).需要注意的是，立体几何中的直观图，不都是用斜二测画法作出的。例如水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆，因此，圆柱与球的直观图分别如图所示.例3.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(　　) A.a2    B.2a2C.a2    D.2a2解析　由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·2a＝2a2.答案　B【方法提炼】由直观图还原平面图形关键有两点：(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′，y′轴平行的顶点可通过作x′轴、y′轴的平行线，变换确定其在xOy中的位置.若平面图形的面积为S原，用斜二测画法得到的直观图面积为S直，则S直＝S原.【变式训练】已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为(　　)A.a2    B.a2  C.a2    D.a2解析　直观图是边长为a的正三角形，所以S直＝a2，则S原＝2S直＝a2.答案　C【自我检测】1.关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是(　　)A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图可能不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析　用斜二测画法时保持平行性不变，但线段的长度、角度不确定.答案　B2.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为，则原梯形的面积为(　　) A.2    B.C.2    D.4解析　原梯形上、下两底长度与直观图中上、下两底的长度分别对应相等，但高不同.原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故原梯形面积是梯形O′A′B′C′面积的2倍，又梯形O′A′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4.答案　D3.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.解析　由四边形OPQR的直观图可知原四边形OPQR是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.答案　104.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.解析　由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝OA·OB＝6.答案　6 小结：1.通过从实际物体中抽象出空间几何体，画出空间几何体的直观图.2.用斜二测画法画直观图的关键是确定直观图中的顶点或其他关键点，因此应尽量把顶点或其他关键点放在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.3.将水平放置的平面图形的直观图还原成实际图形的过程，是画直观图的逆过程，即平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度变为原来的2倍.4.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间的关系为＝.5.斜二测画法保留了原图形的三个性质：①平行性不变，即原图形中平行的线在直观图中仍平行，②共点性不变，即在原图形中相交的直线仍相交，③平行于x轴或z轴的线段长度不变.