专题14 范围问题与最值问题（讲义）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

专题14 范围问题与最值问题
【基础知识】
1．已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则；
2．已知P是双曲线C：一点，F是该椭圆焦点，则；双曲线C的焦点弦的最小值为
【知识拓展】
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
【方法技巧】
求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．
【常用方法】
1．当题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决．
2．利用圆锥曲线的定义、几何意义等转化为平面图形中的范围问题，然后利用平面几何中的定理、性质等进行求解．
例1、抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例2、（2023·青海·校联考模拟预测）已知为抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值是（ ）
A．5B．4C．3D．2
1、以知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。
2．（2024·广东广州·执信中学校考模拟预测）过双曲线的右支上一点，分别向⊙和⊙作切线，切点分别为，则的最小值为 .

【常用方法】
指构建所求式子的不等关系，通过不等式变形或不等式的求解确定范围的方法．解决问题的关键如下：
(1)构建所求式子的不等关系，可根据已知条件中的不等式(组)建立不等关系或根据题意建立不等关系．一般通过以下几何条件建立不等关系：三角形两边之和大于第三边、直角三角形斜边大于直角边、点的横(纵)坐标大小比较、直线的斜率、圆锥曲线中线段长的范围等．
(2)求范围，利用不等式的性质或解不等式求解所要求的式子的范围．
例4．（2020届湖南省衡阳市高三一模）已知，分别是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，则“直线与双曲线的一支有两个交点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例6、（2022·三明一中模拟预测）已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N．当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
例7、（2023·四川泸州·统考二模）已知椭圆C：的焦点，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点F的直线l与C交于A，B两点，过点F与l垂直的直线与C交于M，N两点，求的取值范围．
1．（2022·全国·模拟预测）已知是双曲线上任意一点，，是双曲线的左、右顶点，设直线，的斜率分别为，，若恒成立，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3、（2022·全国甲（理）T）20. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
4．（2024·广东广州·广东实验中学校考二模）已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围．
【常用方法】求解范围问题的常见求法
(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系求解．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．
(3)利用几何条件构造不等关系．
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围．
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
例8、（2022·湖北武汉·二模）已知抛物线，点为上一点，且到的准线的距离等于其到坐标原点的距离．
(1)求的方程；
(2)设为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长交于两点，求四边形面积的最小值．
例9、（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆C：的右焦点为，左顶点为A．过点F且不与x轴重合的直线l与C交于P，Q两点（P在x轴上方），直线AP交直线：于点M．当P的横坐标为时，.
(1)求C的标准方程；
(2)若，求的值．
1．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为．当时，.
(1)求双曲线的方程；
(2)若的外心为，求的取值范围．
2．（2023·上海嘉定·统考一模）已知焦点在轴上的椭圆，椭圆的左，右焦点分别为，，现将横轴的正半轴沿逆时针方向旋转，旋转后的直线与椭圆的交点为，设旋转角为，，.
(1)若的取值范围为，求关于的函数解析式，并写出在的最值；
(2)记，若，且椭圆的离心率为，求的取值范围．