专题12 定点问题（讲义）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题

这是一份专题12 定点问题（讲义）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题，文件包含专题12定点问题讲义原卷版docx、专题12定点问题讲义教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

专题12 定点问题
在解析几何中，动直线或动曲线不论如何变化总是经过某定点，探求这个定点的坐标，称为“定点问题”．定点问题的主要考查形式有①圆锥曲线中的直线过定点问题；②圆锥曲线中的圆过定点问题；
一、圆锥曲线中定点问题的解题策略：
1．参数法：
①动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t，由题设条件将t用k表示为t=mk，得y=k(x+m)，故动直线过定点(−m,0)．
②动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
2．特殊法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
二、方法总结—平移齐次解决定点问题
1、平移齐次法概念
在圆锥曲线的综合问题中,如果一条直线l与曲线交于A,B两点﹐点是曲线上一点，且或为定值,则直线l必过定点．在求该定点．如图﹐需要将坐标原点平移至点P处,在新坐标系下求解,这种先平移坐标系﹐再构建齐次关系,最后用韦达定理表示斜率关系的方法,叫做平移齐次法．
2、平移齐次解决定点问题的步骤如下．
(1)将坐标系平移到以点为原点处;
(2)在新坐标系下写出曲线与直线的方程:曲线，直线；
(3)将曲线方程作齐次化处理,并写成关于的二次方程的形式: ;
(4)设，，用韦达定理表示斜率和或斜率积: ;
(5)得到直线在新坐标系中过的定点；
(6)将定点转化为原坐标系中的点．
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
例1、（2023·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
(1)若的面积为，求直线的方程；
(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点．
例2、如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左､右顶点，，离心率.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
例3、如图所示，设椭圆M：的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥OP．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；
(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点．
例4、（2023·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过轴上一点的直线与椭圆交于两点，过分别作直线的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标．
例5、（2023·江西九江·统考一模）已知过点P(2,0)的直线l与抛物线E:y2=2px(p>0)交于A,B两点，过线段AB的中点M作直线MN⊥y轴，垂足为N，且PM⊥PN.
(1)求抛物线E的方程；
(2)若C为E上异于点A,B的任意一点，且直线AC,BC与直线x=−2交于点D,R，证明：以DR为直径的圆过定点．
例6、（2023·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆M：的切线l(直线l的斜率存在且不为零)与椭圆相交于两点，求证：以为直径的圆是否经过坐标原点．
例7、（2021·上海·高三专题练习）如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12，过F1的直线交椭圆于A､B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
例8、（2023·四川宜宾·校考模拟预测）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．
例9、（2024上·湖北孝感·高二应城市第一高级中学校联考期末）动点G到点的距离比到直线的距离小2.
(1)求G的轨迹的方程；
(2)设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为，的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值．若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由．
例10、（2024·四川·校联考模拟预测）已知定点，定直线，动点在曲线上．
(1)设曲线的离心率为，点到直线的距离为，求证：；
(2)设过定点的动直线与曲线相交于两点，过点与直线垂直的直线与相交于点，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．