2024年甘肃省武威市凉州区武威五中联片教研九年级中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共30分）
1. -2的绝对值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．
2. 下列表述正确的是（ ）
A. 单项式ab的系数是0，次数是2B. 的系数是，次数是3
C. 是一次二项式D. 的项是，3a，1
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用单项式的次数与系数以及多项式的特点分别分析得出答案．
【详解】解：A．单项式ab的系数是1，次数是2，故此选项不合题意；
B．的系数是，次数是5，故此选项不合题意；
C．x−1是一次二项式，故此选项符合题意；
D．的项是，3a，−1，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了多项式和单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键．
3. 如图，直线，点C、A分别在、上，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B，连接若°，则∠1的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由作图得为等腰三角形，可求出，由得，从而可得结论．
【详解】解：由作图得，，
∴为等腰三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出是解答本题的关键．
4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：已知，且，
当添加，根据能判断，选项A不符合题意；
当添加，根据能判断，选项B不符合题意；
当添加，根据能判断，选项D不符合题意；
如果添加，不能根据判断，选项C符合题意；
故选：C．
5. 若函数和函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式组之间的内在联系及数形结合思想是解决本题的关键．
【详解】解：观察函数图象得两条直线交点为，
关于的不等式可转化为，而的解集用函数图象表示是指函数图像在函数图象上方的部分对应的的范围，
当时，函数图象在函数图象上方，
关于的不等式的解集为，
故选：D．
【点睛】利用函数图象，写出直线在直线上方的部分图象所对应的自变量的取值范围即可．
6. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据绕点O按逆时针方向旋转后得到，可得，然后根据，可以求出的度数．
【详解】∵绕点O按逆时针方向旋转后得到，
∴，
又∵
∴，
故选D．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，能从图形中准确的找出旋转角是关键．
7. 如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据由勾股定理、垂径定理求出的长是解题的关键．
过O作于H，由垂径定理得到，由勾股定理求出，当C和H重合时，的最小值是，当是圆直径时，的值最大是，即可得到的取值范围．
【详解】解：过O作于H，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴当C和H重合时，的最小值是4，的最小值是，
当是圆直径时，的值最大是，
∴的取值范围是．
故选：D．
8. 如图，，则的长为（ ）

A. B. 5C. 6D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形判定及性质，解题的关键是熟悉相似三角形的性质．根据相似三角形的判定及性质即可求．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴即，
∴．
故选：C．
9. 如果一个正九边形的边长为，那么这个正九边形的半径是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意画出图形，经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C，连接OA，则在直角△OAC中，可求得∠AOC=20°，OC是边心距，OA即半径，利用解直角三角即可求解．
【详解】解：如图所示，设O为正九边形外接圆圆心，过O作OC⊥AB于C，
则OC即为正九边形的边心距，连接OA，
∵此多边形是正九边形，
∴，OA=OB，
∴∠AOC=∠AOB=×40°=20°，
∵AB=a，
∴AC=a，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆，解决本题的关键是构造直角三角形，利用圆内接正多边形的性质及直角三角形中三角函数的定义解答．
10. 如图是由5个大小相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三视图，根据左视图是从左面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两层，共2列，从左边数，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小正方形，即看到的图形如下：
，
故选：C．
二、填空题（共24分）
11. 计算：|﹣2|=___．
【答案】2
【解析】
【分析】根据一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，即可求解
【详解】∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2
故答案为：2
12. 如果与的和是单项式， 则________ ．
【答案】5
【解析】
【分析】两个单项式，所含的字母相同，相同字母的指数也相同，则称这两个单项式是同类项，据此转化为解二元一次方程组，解得，再将其代入多项式中计算即可．
【详解】解：∵与的和是单项式，
∴与是同类项，
∴，
解得：．
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查同类项的定义，合并同类项，涉及简单二元一次方程组解法，代数式求值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13. 若是方程x+ay＝3的一个解，则a的值为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、一元一次方程，掌握理解二元一次方程的解的定义（一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解）是解题关键．
14. 若分式的值为0，则x的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．根据分式的值为零的条件即可求出x的值．
【详解】解：由题意可知：且，
解得且．
故答案为：．
15. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．
【答案】7
【解析】
【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得．由已知易得，在Rt△AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案．
【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以，
所以，
所以∠BEC=∠CEA=90°，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
因此的长为7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得即可．
16. 如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则____________________ ．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，分当点P在线段延长线上时，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，当点P在线段延长线上时，连接，
∵点C为半圆上的四等分点，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在线段上时，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点P在线段延长线上时，
∵，
∴，
设，则
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或，
故答案为：或或．
17. 将矩形的边向折叠，使点B恰好落在边上，记为点 ，将边向着 折叠，使点D恰好落在 上， 记为点 ．两次折痕分别为， 若 ，两次落点的距离，则矩形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质等知识点；先根据矩形的性质可得，设，从而可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，由此可得，最后根据可求出的值，从而可得、的值，据此利用矩形的面积公式即可得．
【详解】解：四边形是矩形，
，
设，则，
由折叠的性质得：，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，即，
解得，
，
，
解得，
，
则矩形纸片的面积为，
故答案为：．
18. 如图，是反比例函数在第一象限图象上一点，连接，过作轴，截取（在右侧），连接，交反比例函数的图象于点．则的面积为 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数解析式，勾股定理，平移求点坐标．要求的面积，可以转化为的面积减去的面积，关键是求出点和点的坐标，具体见详解．
【详解】将代入得，
，
所在直线为：
由可得
．
故答案为：5．
三、计算题（共8分）
19. （1）计算：
（2）解方程： ．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，以及实数的运算，
（1）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：（1）
（2），
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
四、作图题（共6分）
20. 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，2)、B(－3，0)、C(0，0)．
(1)以A为中心将△ABC顺时钟旋转90°得△A1B1C1，请画出△AB1C1，并写现点C1的坐标；
(2)以C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A2B2C2，使放大前后位似比为1︰2，请画出图形，并求出△A2B2C2的面积；
(3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【答案】(1)画图见解析，（-3,1）(2)画图见解析，12；(3)（2，2）或（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）
【解析】
【分析】(1)把点C和点B分别绕点A顺时针旋转90°得到C1和B1，顺次连接，坐标观察即可；
(2)连接AC延长到A2使A2C＝2AC，延长BC到B2，使B2C＝2BC，点C2的对应点为C，顺次连接各点即可，△A2B2C的面积＝×底边×高．
(3)根据平行四边形的对边平行且相等，分AB、BC、AC是对角线三种情况分别写出即可．
【详解】解：(1)如图所示，△AB1C1即为所作, C1的坐标为（-3,1）
(2)如图所示△A2B2C即为所作，
由图中可知B2C为6，A2纵坐标为﹣4，
所以B2C2上的高为4，
故S＝×6×4＝12；
(3)当AC为对角线时，点D坐标为D1（2，2）；
当AB为对角线时，点D坐标为D2（﹣4，2）；
当BC为对角线时，点D坐标为D3（﹣2，﹣2）．
【点睛】本题考查了网格作图和平行四边形的性质，解题关键是熟练运用旋转、平移、位似等性质，进行图形变换．
五、解答题（共52分）
21. 如图，在△ABC与△DEF中，如果AB=DE，BE=CF，∠ABC=∠DEF；求证：AC∥DF．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据三角形的全等判定及平行线的判定定理进行求解即可.
【详解】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
在和中，
，
∴，
∴，
∴AC∥DF.
【点睛】本题主要考查了三角形的全等判定及平行线的判定，熟练掌握相关判定定理及证明方法是解决本题的关键.
22. 如图，在中，，是对角线上的点，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质、平行线的性质，由SAS证得△ADF≌△CBE，则对应边相等：AF=CE．
【详解】解：证明：如图，在▱ABCD中，AD∥CB，AD=CB，
∴∠ADF=∠CBE，
∵BE=DF，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．此题是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明．
23. 如图，在中，是直径，且交圆于，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、弧与圆心角关系．
连接，根据平行线的性质得出，，再根据等边对等角得出，然后根据等量代换得出，最后根据弧与圆心角关系即可得证．
【详解】证明：连接，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
．
24. 如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接，
（1）求证:是等边三角形．
（2）当时，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形判定与性质、旋转的性质、勾股定理的知识点，掌握旋转的性质是解题关键．
（1）根据旋转的性质可得，即可求证；
（2）由旋转得，推出；结合是等边三角形可得，，根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵将绕点C按顺时针方向旋转得，
∴，
∴是等边三角形
【小问2详解】
解：∵将绕点C按顺时针方向旋转得，
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴
25. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2
【解析】
【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值．
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m，
由题意得 ，
化简，得，解得：，
当时，（舍去），
当时，，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
26. 某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网路安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图：
分析数据：
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：_______，_______，_________；
（2）已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
（3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加校际比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
【答案】（1）83，85，70
（2）200人 （3）
【解析】
【分析】（1）根据平均数，中位数与众数的含义分别求解即可；
（2）由500乘以得分为所占的百分比即可得到答案；
（3）记甲组满分同学为A，乙组满分的两位同学分别为B，C，再利用列表的方法得到所有的等可能的情况有6种，符合条件的有4种，从而可得答案．
【小问1详解】
解：甲组的平均数为：（分），
乙组10个数据分别为：70，70，70，70，80，90，90，90，100，100，
排在第5个，第6个分别为：80，90，
所以中位数（分），
而70出现的次数最多，所以众数（分），
故答案为：83，85，70；
【小问2详解】
由题意得：（人），
所以八年级网络安全意识非常强的人数一共有200人．
【小问3详解】
记甲组满分的同学为A，乙组满分的两位同学分别为B，C，
列表如下：
所以所有等可能的情况有6种，符合条件的有4种，
所以抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为
【点睛】本题考查的是频数直方图，折线图，平均数，众数，中位数的含义，利用样本估计总体，利用列表或画树状图求解简单随机事件的概率，熟练的掌握统计与概率的基础知识是解本题的关键．
27. 如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，
（1）求抛物线的解析式；
（2）当x为何取值范围时，y随x的增大而增大？
（3）点P是抛物线的对称轴上一动点，若是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）当时，y随x的增大而增大
（3）点P的坐标是或或或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及到直角三角形的性质，函数的增减性，熟悉函数图像的性质是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）利用函数图象的对称轴，得出x的取值范围；
（3）分类讨论，设P点坐标为，当为斜边时，列出等式即求解，当或为斜边时列出等式求解即可，
【小问1详解】
抛物线的图象与x轴交于，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
抛物线的解析式为：，
即，
抛物线的对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大．
【小问3详解】
抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，
坐标为，
抛物线对称轴为直线，
设P点坐标为，由点P、B、C的坐标得
，，，
当为斜边时，
则，
解得：，
当为斜边时，
，
解得：，
当为斜边时，
解得：
综上所述：点P的坐标是或或或平均数
中位数
众数
甲组
a
80
80
乙组
83
b
c
A
B
C
A
A，B
A，C
B
B，A
B，C
C
C，A
C，B