2024年中考考前押题数学必刷卷（苏州卷）（含答案解析）

这是一份2024年中考考前押题数学必刷卷（苏州卷）（含答案解析），共30页。试卷主要包含了如图，因式分解等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟试卷满分：130分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．2024的倒数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．12024D．-12024
2．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
3．刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字42000000用科学记数法表示为（ ）
A．4.2×107B．4.2×106C．0.42×108D．4200×104
4．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．60x-60(1+25%)x=30B．60(1+25%)x-60x=3
C．60×(1+25%)x-60x=30D．60x-60×(1+25%)x=30
5．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BDC的值为（ ）
A．35B．45C．34D．54
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在第一象限内，AO＝AB，P，Q分别是OA，AB的中点，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象过点P，连接OQ，若S△OPQ＝3，则k的值为（ ）
A．1.5B．2C．3D．6
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，O为坐标原点，点A的坐标是（﹣1，2），点B的纵坐标是113，则点B的横坐标是（ ）
A．2B．73C．3D．103
8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②cs∠ABE=45；③当0＜t≤5时，y=45t2；④当t=294秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②④B．②③C．①③④D．②④
第Ⅱ卷
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．函数y=x+2x的自变量x的取值范围是 ．
10．因式分解：4m2n﹣4n3＝ ．
11．如图，小明骑自行车从甲地到乙地，折线表示小明途中行程s（km）与所花时间t（h）之间的函数关系．出发后5小时，小明离甲地 千米．
12．一组数据有5个自然数：4、5、5、x、y，这组数据的中位数为4，唯一的众数是5，那么，所有满足条件的x、y中，x+y的最大值是 ．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是 ．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+k＝0恰有一个根小于0，则k的取值范围是 ．
15．校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为4米，台阶AC的坡度为1：3（即AB：BC＝1：3），且B、C、E三点在同一条直线上．根据以上条件求出树DE的高度为 米．（测倾器的高度忽略不计）．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是BC上的一点，AC＝DC，AB⊥AE，且AE＝AB，连接DE交AC的延长线于点F，ACCF=32，则BDCD= ．
三．解答题（共11小题，满分82分）
17．（5分）计算：(12)-2-27+2sin60°-|2-3|．
18．（6分）解不等式组：x-3(x-2)＞42x-13≤x+12．
19．（6分）先化简，再求值：1-x-2yx+y÷x2-4xy+4y2x2-y2，其中x＝﹣2，y=12．
20．（6分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
21．（8分）某学校为了了解学生的睡眠情况，随机抽取了部分学生，对他们每天的睡眠时间进行了调查，将睡眠时间分为五个小组，A：6.5≤t＜7，B：7≤t＜7.5，C：7.5≤t＜8，D：8≤t＜8.5，E：8.5≤t＜9，其中，t表示学生的睡眠时间（单位：h），并将每天睡眠时长结果绘制成如下两幅不完整的扇形统计图和条形统计图．
根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为 ；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）补全条形统计图；
（4）如果该校共有学生1000人，请你估计“平均每天睡眠时间不少于8小时”的学生大约有多少人．
22．（8分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
23．（8分）某商场购进甲、乙两种商品共130个，这两种球的进价和售价如表所示：
（1）若该商场销售完甲、乙两种商品可获利1700元，求甲、乙两种商品分别需购进多少个？
（2）经调研，商场决定购进乙商品的数量不超过甲商品的1.5倍，求该商场购进甲商品多少个时，才能使甲、乙两种商品全部销售完所获利润最大，最大利润为多少元？
24．（7分）“鸭翼”是指设计在飞机前部的水平翼，又称为前翼，因早期鸭式飞机的前翼很像鸭子的蹼而得名，除了增加升力，它还有利于保持飞机的飞行稳定性和可控性．小慧在学习过锐角三角函数的相关知识后，想利用所学知识制作出一个简易飞机模型．该模型的鸭翼部分如图所示，已知AB＝35cm，CE＝30cm，且∠DAB＝45°，∠CBE＝70°，请帮助小慧计算出CD的长度．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin70°≈0.94．cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
25．（8分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣2，3），点B的横坐标为6．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出满足k1x+b-k2x＞0的x的取值范围；
（3）连接OA，OB，点P在直线AB上，且S△AOP=14S△BOP，求点P的坐标．
26．（10分）已知AB为⊙O的直径，点C和点D为⊙O上的动点（两点在AB的异侧且都不与A、B重合），连接CD与AB交于点E，连接AC，BC．
（1）如图1，若AB＝10，AD=52π，求∠DCB的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，若BC＝6，求DE的长度；
（3）如图2，若AB＝4，∠DCB＝60°，且对任意的点C，弦CD上都有一点F满足BC＝2DF，连接BF，求线段BF的最小值．
27．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）直线y＝kx（k＞0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
甲商品
乙商品
进价（元/个）
80
100
售价（元/个）
90
115
参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．C
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数解答即可。
【解答】解：2024的倒数是12024；故选：C．
【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键。
2．C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
3．A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：42000000＝4.2×107．故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。
4．C
【分析】设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则原计划每天绿化的面积x1+25%万平方米，
依题意得：60x1+25%-60x=30，即60×(1+25%)x-60x=30．故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
5．A
【分析】由圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，求出sin∠BAC即可解决问题．
【解答】解：∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB=AC2+BC2=42+32=5，∴sin∠BAC=BCAB=35，
∵∠BAC＝∠BDC，∴sin∠BDC＝sin∠BAC=35．故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，锐角的正弦值，掌握圆周角定理，三角函数定义是解题的关键．
6．C
【分析】作AD⊥x轴于D，PE⊥x轴于E，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分即可求得△AOD的面积为6，然后通过证得△POE∽△AOD，由相似三角形的性质即可求得S△POE=14S△AOD=32，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k＝3．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，PE⊥x轴于E，
∵AO＝AB，∴OD＝BD，
∵P，Q分别是OA，AB的中点，∴S△AOB＝2S△AOQ，S△AOQ＝2S△POQ＝6，∴S△AOB＝12，∴S△AOD=12S△AOB＝6，
∵PE∥AD，∴△POE∽△AOD，∴S△POES△AOD=（OPOA）2=14，∴S△POE=14S△AOD=32，
∵函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象过点P，∴S△POE=12|k|，∴|k|＝3，
∵k＞0，∴k＝3，故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
7．B
【分析】过点A作AD⊥x轴，过点B作BE⊥AD交DA的延长线于点E，证明△ABE∽△OAD求出BE即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴，过点B作BE⊥AD交DA的延长线于点E，如图：
∵DE=113，AD＝2，
∴AE=53，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAO＝90°＝∠E＝∠ADO，
∴∠DAO＝∠EBA，
∴△ABE∽△OAD，
∴BEAD=AEOA，即BE2=531，
解得BE=103，
∴点B的横坐标为103-1=73，
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造三角形相似是解题关键．
8．A
【分析】图（2）中，点M坐标为（5，10），此时点P用5秒运动到点E处，△BPQ的面积为10cm2．根据运动的速度都是1cm/秒可得BE＝5cm，那么高AB＝CD＝4cm；根据勾股定理可得AE长3cm；点N的坐标为（7，10），此时点P运动到N，用时2秒，那么DE长2cm，则AD＝5cm，所以①正确；cs∠ABE=ABBE=45，故②正确；当0＜t≤5时，点P在BE上，用t表示出△BPQ的面积，看③是否正确；t=294秒时，点P在CD上，Q已经停止在点C处，画出相关图形，判断△ABE和△QBP是否相似即可得到④是否正确．
【解答】解：∵点M坐标为（5，10），
∴点P用5秒运动到点E处，△BPQ的面积为10cm2．
∵点P、Q的运动速度都是1cm/秒．
∴BE＝BQ＝5（cm）．
∵△BPQ的面积为10cm2，
∴AB＝CD=2×105=4（cm）．
∴AE=BE2-AB2=3（cm）．
∵点N的坐标为（7，10），
∴点P从一开始运动到N，共用时7秒．
∴点P从点E运动到点D用时2秒．
∴ED＝2cm．
∴AD＝AE+DE＝5cm．
∴AD＝BE＝5cm．
故①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°＝∠ABC＝∠C＝90°．
∴cs∠ABE=ABBE=45.
故②正确；
当0＜t≤5时，点P在BE上．
作PM⊥BC于点M．
∴∠BMP＝90°．
∴AB∥PM．
∴∠BPM＝∠ABE．
∴cs∠BPM＝∠csABE=45．
由题意得：BP＝BQ＝tcm，
∴PM＝BP×cs∠BPM=45t．
∴S△BPQ=12BQ•PM=12t•45t=25t2．
故③错误；
t=294秒时，点P在CD上，Q已经停止运动，在点C处．
∴点P运动的路程为294（cm）．
∴DP=294-5﹣2=14（cm）．
∴PQ＝4-14=154（cm）．
∵AEAB=34，PQBQ=154：5=34，
∴AEAB=PQBQ．
∴△ABE∽△QBP．
故④正确．
故选：A．
【点评】本题综合考查了动点问题的函数图象．得到拐点表示的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：csA=∠A的邻边斜边；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9． x≥﹣2且x≠0
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+2≥0且x≠0，
解得：x≥﹣2且x≠0．
故答案为：x≥﹣2且x≠0．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
10． 4n（m+n）（m﹣n）
【分析】先提取公因式4n，再运用平方差公式继续分解．
【解答】解：4m2n﹣4n3
＝4n（m2﹣n2）
＝4n（m+n）（m﹣n）．
故答案为：4n（m+n）（m﹣n）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．30
【分析】根据P点的坐标即可得到结论．
【解答】解：∵P（5，30），∴出发后5小时，他离甲地30km．故答案为：30．
【点评】本题考查了一次函数的应用，能够正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题关键．
12．5
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：∵唯一的众数是5，中位数为4，
∴x，y不相等且x＜4，y＜4．
∴x、y的取值为0，1，2，3，
∴x+y的最大值为2+3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．根据条件推出x与y的最大值是解此题的关键．
题干唯一的众数是5，等于3的话，3也是众数
13． 30
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
14． k＜﹣3
【分析】根据方程的解即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵x2﹣（k+4）x+3+k＝0，
∴（x﹣1）[x﹣（k+3）]＝0，
解得：x＝1或x＝k+3．
∵关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3+k＝0恰有一个根小于0，
∴k+3＜0，
∴k＜﹣3．
故答案为：k＜﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
15．12
【分析】根据AC的坡比得出∠ACB＝30°，在Rt△ABC中，根据边角关系可求出AC，在Rt△ACD中，可求出AD，Rt△ADF中，求出DF即可．
【解答】解：∵台阶AC的坡度为1：3（即AB：BC＝1：3），
∴∠ACB＝30°，
在Rt△ABC中，AB＝4米，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝8（米），
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
在Rt△ACD中，AC＝8米，∠CAD＝30°+30°＝60°，
∴AD＝2AC＝16（米），
在Rt△ADF中，DF=12AD＝8（米），
∴DE＝8+4＝12（米），
即树高为12米，
故答案为：12．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．
16． 43
【分析】在DC上截取CG＝CF，连接AG，设AC＝3x，CF＝2x，先证明△ACG≌△DCF（SAS），再证明△EAF≌△ABG（AAS），从而推出BD＝4x，即可求解．
【解答】解：在DC上截取CG＝CF，连接AG，
∵ACCF=32，
设AC＝3x，CF＝2x，
∵AC＝DC，
∴CD＝3x，
∵CG＝CF，
∴CG＝2x，
∵∠ACB＝90°，
在Rt△ACG和Rt△DCF中，
AC=CD∠ACD=∠DCFCG=CF，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴∠CAG＝∠CDF，
∵∠AGB＝∠CAG+90°，∠EFA＝90°+∠CDF，
∴∠AGB＝∠EFA，
∵AB⊥AE，
∴∠EAB＝90°，
∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠CAD＝45°，
∴∠EAF+∠BAD＝45°，
∵∠ADC＝45°＝∠ABC+∠BAD，
∴∠EAF＝∠ABC，
在△EAF和△ABG中，
∠EAF=∠ABC∠EFA=∠AGBAE=AB，
∴△EAF≌△ABG（AAS），
∴BG＝AF＝5x，
∵GD＝3x﹣2x＝x，
∴BD＝4x，
∴BDCD=43；
方法二：过点A作GP∥CB，过点E作EH⊥AF交于点H，过点E作EG⊥GP交于点G，过点B作BP⊥GP交于点P，
∵ACCF=32，
设AC＝3x，CF＝2x，
∵AC＝DC，
∴CD＝2x，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB＝90°，
∴∠GAE+∠PAB＝90°，
∵∠GAE+∠GEA＝90°，
∴∠PAB＝∠GEA，
∵AB＝AE，
∴△AEG≌△BAP（AAS），
∴BP＝AG，
∵AC＝BP＝2x，
∴AG＝EH＝2x，
∵∠DCF＝∠H＝90°，CF＝BH，∠CFD＝∠EFH，
∴△DCF≌△EHF（ASA），
∴FH＝CF＝2x，
∴GE＝AP＝7x，
∴BC＝7x，
∴BD＝4x，
∴BDCD=43；
故答案为43．
【点评】本题考查等腰直角三角形，通过截长线段构造全等三角形，利用全等三角形的性质进行边角转化是解题的关键．
三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．2-3
【分析】先把60°的正弦值代入，然后根据混合运算法则，先算乘方和开方，再算乘，最后算加减即可．
【解答】解：原式=4-33+2×32-(2-3)
=4-33+3-2+3
=4-2+3+3-33
=2-3
【点评】本题主要考查了实数的有关运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值和绝对值的性质．
18．x＜1
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：x-3(x-2)＞4①2x-13≤x+12②，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组解集为x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
19．
【分析】原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1-x-2yx+y•(x+y)(x-y)(x-2y)2=1-x-yx-2y=-yx-2y，
当x＝﹣2，y=12时，原式=16．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．
【分析】（1）证明△ABE≌△ACD（ASA），可得出结论；
（2）由三角形内角和可求出答案．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
∠ABD=∠ACDAB=AC∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD；
（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键．
21．
【分析】（1）从两个统计图可知，D组的学生人数是30人，占调查人数的30%，由频率=频数总数即可求出调查人数，
（2）求出A组、B组的人数所占的百分比，进而确定m、n的值；
（3）求出C组人数，即可补全条形统计图；
（4）求出样本中“平均每天睡眠时间不少于8小时”的学生所占的百分比，估计总体中“平均每天睡眠时间不少于8小时”的学生所占的百分比，由频率=频数总数进行计算即可．
【解答】解：（1）调查人数为：30÷30%＝100（人），
故答案为：100；
（2）20÷100×100%＝20%，即m＝20，
25÷100×100%＝25%，即n＝25，
故答案为：20，25；
（3）样本中C组人数为：100﹣20﹣25﹣30﹣5＝20（人），
补全条形统计图如下：
（4）1000×30+5100=350（人），
答：该校共有学生1000人“平均每天睡眠时间不少于8小时”的学生大约有350人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数据之间的关系是正确解答的前提，掌握频率=频数总数是正确解答的关键．
22．
【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果，然后利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵一共有4个编号的小球，编号为2的有一个，
∴P（任意摸出1个球，这个球的编号是2）=14；
（2）画树状图如下：
一共有16个等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2的情况出现了2次，
∴P（第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大2）=216=18．
【点评】本题考查概率公式，列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
23．
【分析】（1）设甲种商品需购进x个，乙种商品需购进y个，根据某商场购进甲、乙两种商品共130个，销售完甲、乙两种商品可获利1700元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该商场购进甲商品m个，则购进乙商品（130﹣m）个，根据商场决定购进乙商品的数量不超过甲商品的1.5倍，列出一元一次不等式，解得m≥52，再设全部销售完所获利润为w元，由题意得出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种商品需购进x个，乙种商品需购进y个，
由题意得：x+y=130(90-80)x+(115-100)y=1700，
解得：x=50y=80，
答：甲种商品需购进50个，乙种商品需购进80个；
（2）设该商场购进甲商品m个，则购进乙商品（130﹣m）个，
由题意得：130﹣m≤1.5m，
解得：m≥52，
设全部销售完所获利润为w元，
由题意得：w＝（90﹣80）m+（115﹣100）（130﹣m）＝﹣5m+1950，
∵﹣5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝52时，w有最大值＝﹣5×52+1950＝1690，
答：该商场购进甲商品52个时，才能使甲、乙两种商品全部销售完所获利润最大，最大利润为1690元．
【点评】本题考查的二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
24．
【分析】过点D作DF⊥AE，垂足为F，根据题意可得：DF＝CE＝30cm，EF＝CD，然后分别在Rt△ADF和Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出AF和BE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AE，垂足为F，
由题意得：DF＝CE＝30cm，EF＝CD，
在Rt△ADF中，∠A＝45°，
∴AF=DFtan45°=30（cm），
在Rt△CBE中，∠CBE＝70°，
∴BE=CEtan70°≈302.75=12011（cm），
∵AB＝35cm，
∴CD＝EF＝AB+BE﹣AF＝35+12011-30≈15.9（cm），
∴CD的长度约为15.9cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的稳定性，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，可求反比例函数解析式，可求点B坐标，将点A、点B坐标代入一次函数解析式，可求解；
（2）利用图象可直接求解；
（3）根据S△AOP=14S△BOP，求得点P的横坐标，再根据一次函数解析式可得答案．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A（﹣2，3），
∴k2＝﹣2×3＝﹣6，3＝﹣2k1+b①，
∴反比例函数解析式为y=-6x，
∵点B的横坐标为6，
∴点B（6，﹣1），
∴﹣1＝6k1+b②，
①﹣②得：k1=-12，
∴b＝2，
∴一次函数解析式为y=-12x+2；
（2）由图象可得：当x＜﹣2或0＜x＜6时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即k1x+b-k2x＞0；
（3）当x＝0时，y＝2，
∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO=12×2×2+12×2×6＝8，
S△AOC=12×2×2＝2，
分两种情况：
①如图1，当P在线段AB上时，
∵S△AOP=14S△BOP，
∴S△AOP=15×8=85，S△POC＝2-85=25，
∴12×2×|xP|=25，
∴xP=-25，
∴点P的坐标为（-25，115）；
②如图2，当点P在线段BA的延长线上时，
∵S△AOP=14S△BOP，
∴S△AOP=13×8=83，S△POC＝2+83=143，
∴12×2×|xP|=143，
∴xP=-143，
∴点P的坐标为（-143，133）；
综上所述，点P的坐标为（-25，115）或（-143，133）．
【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
26．
【分析】（1）连接OD，根据AD=52π，求出∠AOD的度数，再求出∠ACD=12∠AOD=45°，根据∠ACB＝90°，求出结果即可；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，根据勾股定理求出AC＝8，根据三角函数求出BG＝3.6，根据勾股定理再求出CG＝4.8，求出OG＝1.4，证明△DOE∽△CGE，得出CGOD=GEOE，求出OE=57，根据勾股定理求出最后结果即可；
（3）连接AD，AF，DO，证明△ADF∽△ABC，得出∠AFD＝∠ACB＝90°，从而得出点F在以AD为直径的圆上，设点M为AD的中点，连接BM，交⊙M于点H，当点F在点H处时，BF最小，过点M作MN⊥AB于点N，根据勾股定理及含30°直角三角形的性质，求出BM=13，即可求出结果．
【解答】解：（1）连接OD，如图所示：
∵AB＝10，
∴OA＝OB＝OD＝5，
∵AD=52π，
∴∠AOD的度数为：180°×52π5π=90°，
∴∠ACD=12∠AOD=45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°．
（2）过点C作CG⊥AB于点G，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC=AB2-BC2=8，
∴cs∠CBG=BCAB=BGBC，
∴610=BG6，
解得：BG＝3.6，
∴CG=BC2-BG2=4.8，
∴OG＝5﹣3.6＝1.4，
∵∠AOD＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣90°＝90°，
∵CG⊥AB，
∴∠CGE＝90°，
∴∠DOE＝∠CGE，
∵∠OED＝∠CEG，
∴△DOE∽△CGE，
∴CGOD=GEOE，
∴4.85=1.4-OEOE，
解得：OE=57，
∴DE=OD2+OE2=52+(57)2=2527．
（3）连接AD，AF，DO，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DCB＝60°，
∴∠DCA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝60°，
∵AO＝DO，
∴△AOD为等边三角形，
∴AD=AO=12AB=2，
∵BC＝2DF，
∴ADAB=DFBC=12，
∵AC=AC，
∴∠ADC＝∠ABC，
即∠ADF＝∠ABC，
∴△ADF∽△ABC，
∴∠AFD＝∠ACB＝90°，
∴点F在以AD为直径的圆上，设点M为AD的中点，连接BM，交⊙M于点H，当点F在点H处时，BF最小，过点M作MN⊥AB于点N，如图所示：
∵△AOD为等边三角形，∴∠OAD＝60°，
∵∠ANM＝90°，∴∠AMN＝90°﹣60°＝30°，
∵AM=12AD=1，∴AN=12AM=12，
∴MN=AM2-AN2=32，BN=AB-AN=4-12=312，
∴BM=BN2-MN2=13，
∵MH＝AM＝1，∴BH=13-1，
∴BF的最小值为13-1．
【点评】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，三角形相似的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角函数的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定，说明点F的运动轨迹，找出使BF取最小值时，点F的位置．
27．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先研究△ABC，可得出AB＝6，BC＝42，∠ABC＝45°；若△OBH与△ABC相似，则分两种情况：①当∠HOB＝∠CAB时；②当∠HOB＝∠ACB时，再根据相似三角形的性质求解即可；
（3）①当点Q在点P的左侧时，证明△QME∽△ENP，则PNME=EMQM=PEQE=tan∠EQP＝tan∠OCA=OAOC=12，进而求解；②当点Q在点P的右侧时，同理可解．
【解答】解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：4a-2b+c=016a+4b+c=0c=4，
解得a=12b=1c=4，
∴抛物线的表达式为y=-12x2+x+4；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：4m+n=0n=4，
解得m=-1n=4，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4；
（2）由题意可知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），
∴AB＝6，BC＝42，∠ABC＝45°；直线AC的解析式为：y＝2x+4；
若△OBH与△ABC相似，则分两种情况：
①当∠HOB＝∠CAB时，△OBH∽△ABC，
此时OH∥AC，
∴k＝2；
②当∠HOB＝∠ACB时，△OBH∽△CBA，
∴OB：BC＝BH：AB，即4：42=BH：6，
解得BH＝32，
设点H的坐标为（m，﹣m+4），
∴（m﹣4）2+（﹣m+4）2＝（32）2，
解得m＝1或7（舍去），
∴H（1，3），
∴k＝3，
综上，k的值为2或3．
（3）存在，理由：
设点P的坐标为（m，-12m2+m+4）、点Q的坐标为（t，﹣t+4），
①当点Q在点P的左侧时，
如图2，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，
由题意得：∠PEQ＝90°，
∴∠PEN+∠QEM＝90°，
∵∠EQM+∠QEM＝90°，
∴∠PEN＝∠EQM，
∴∠QME＝∠ENP＝90°，
∴△QME∽△ENP，
∴PNME=EMQM=PEQE=tan∠EQP＝tan∠OCA=OAOC=12，
则PN=-12m2+m+4，ME＝1﹣t，EN＝m﹣1，QM＝﹣t+4，
∴-12m2+m+41-t=m-1-t+4=12，
解得m＝±13（舍去负值），
当m=13时，-12m2+m+4=213-52，
∴点P的坐标为（13，213-52）．
②当点Q在点P的右侧时，
分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M，
则MQ＝t﹣1，ME＝t﹣4，NE=-12m2+m+4，PN＝m﹣1，
同理可得：△QME∽△ENP，
∴MQEN=MEPN=EQPE=2，
∴t-1-12m2+m+4=t-4m-1=2，
解得m＝±7（舍去负值），
∴m=7，
∴点P的坐标为（7，27+12），
∴点P的坐标为（7，27+12）或（13，213-52）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系。